黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

数学系1302班第五组

07樊萌

12韩鸿林

19兰星

21李鸿燕

45王堃

51武相伶

54许小亭

57杨莉

69赵志阳

1

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设

fx在a,b上有界,对a,b做分割,T

ax

0

x

1

x

n

b,其中

令M

i

sup



f



x



,xx

i



,m

i

inffx,xx

i

,x

i

x

i1

x

i

,sm

i



x

i

x

i1



i1

n

SM

i

x

i

x

i1

,若有

i1

n

则称

fx在a,b上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

0,作my

0

,y

1

y

n

M,其中y

i

y

i1

,M,m分别为

fx在E上的上界和下界,

令E

i





x,y

i1

f



x



y

i



,i1,2,n若limy

i1

mE

i

存在,则

fx勒贝格可积.

0

i1

n

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记f

f

xmaxfx,0，

xminfx,0,则有fx

fx

fx

,若

E

fxdx,f

E

_xdx不同时为,则

fx在

E上的积分确定且



E

fxdxfxdxfxdx.

EE

4、简单函数的勒贝格积分定义:设fx是可测集

E

上的非负简单函数,于是有对

E

的划分

E

i

,i1,2n,fx在E

i

上的取值为c

i

,则fxc

i



E

i

,定义

fx的勒贝格积分为

i1

n

fxdmcmE,若f



x



dm

,则称

fx在

E

上勒贝格可积.

ii

E

i1

n

E

5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取

E

上的非负简单函数列f

n

x,对任意的xE,f

n

x都

收敛于

fx,则

fx在

E

上勒贝格可积其积分为

limf

n

xdmfxdm.

n

EE

对一般的函数由于fx

fx

fx

,则



E

fxdmfxdmfxdm.

EE2

若左端的两个积分值都有限时,称

fx在

E

上勒贝格可积.

勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数

不一定黎曼可积.

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在a,b上的

fx黎曼可积的必要条件是

fx在a,b上有界.

注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.

㈡黎曼可积的充分必要条件

1、设

fx是定义在a,b上的有界函数,则

fx黎曼可积的充分必要条件为

fx在a,b上的

黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设

fx在a,b上有界,T

ax

0

x

1

x

n

b为对a,b的任一分割,其中令

M

i

supfx,xx

i

,m

i

inffx,xx

i

,x

i

x

i1

x

i

,sm

i



x

i

x

i1



,

i1

n

SM

i

x

i

x

i1

,i1,2,n有

i1

n

bbSdxsdx.

aa

2、设

fx是定义在a,b上的有界函数,则

fx黎曼可积的充分必要条件为

0

,总存在某

一分割T,使得

w

i

x

i





w

i

M

i

m

i

.

i1

n

3、设

fx是定义在a,b上的有界函数,则

fx黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某

一分割T,使得

STsT

成立.

4、定义在a,b上的函数

fx黎曼可积的充分必要条件为

fx在a,b上的一切间断点构成一

个零测度集.

注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.3

勒贝格可积条件

1、设

fx是定义在可测集

E

上的有界函数,则

fx在

E

上勒贝格可积的充要条件为

0

,

总存在

E

的某一分割D,使得

w

i

mE

i



.

i

2、设

fx是定义在可测集

E

上的有界函数,则

fx在

E

上勒贝格可积的充要条件为

fx在

E

上勒贝格可测.

3、设

fx在a,b上的黎曼反常积分存在,则

fx在a,b上勒贝格可积的充要条件为fx在

a,b上的黎曼反常积分存在,且有

f



x



dmfxdx.

a,ba

b

4、设f

n

x为

E

上的可测函数列,f

n

x在

E

上的极限函数几乎处处存在,且f

n

xdxM,则

E

fx在

E

上勒贝格可积.

5、设

fx是是定义在可测集

E

上的连续函数,则

fx在

E

上勒贝格可积的充要条件为

fx

在

E

上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较

黎曼积分的性质

1、（线性性）若

fx,

gx是定义在a,b上黎曼可积函数,则

fxgx,fxgx,fxgx也在a,b上黎曼可积.

注fx

gxdxfxdxgxdx,但gxfxdxfxdxgxdx.

aaaaaa

bbbbbb

2、（区域可加性）设有界函数

fx在a,c,c,b上都黎曼可积,则

fx在a,b上也黎曼可积,

且有

fxdxfxdxfxdx

.

aac

bcb

3、（单调性）若

fx,

gx是定义在a,b上黎曼可积,且fxgx,则

4

fxdxgxdx.

aa

bb

4、（可积必绝对可积）若

fx在a,b上黎曼可积,则fx在a,b上也黎曼可积,且有

fxdxfxdx

.

aa

bb

注其逆命题不成立.

5、若

fx在a,b上黎曼可积,则在a,b的任意内闭子区间,a,b上也黎曼可积.且其积

分值不会超过在a,b上的积分值.

6、若

fx是a,b上非负且连续的函数,若有f



x



dx0,则

fx在a,b上恒等于零.

0

1

7、若

fx,

gx是a,b上的黎曼可积函数,则Mmaxfx,gx,mminfx,gx在

a,b上也黎曼可积.

8、若

fx在a,b上黎曼可积,

勒贝格积分的性质

1、（有限可加性）设fx是有界可测集E上的可积函数,EE

K

,E

K

等均可测且两两互不

k1

n

11

在a,b上有定义且有界,则也在a,b上黎曼可积.

fxfx

相交,则有

fxdx

E

fxdx

E

1

fxdx

E

2

fxdx.

E

n

2、对于给定的可测函数

fx,

fx与fx的可积性相同且

fxdx

E

fxdx.

E

3、(单调性)若

fx,

gx在E上勒贝格可积,且fxgx几乎处处成立,则

fxdx

E

gxdx.

E

4、

fx是

E

上的非负可积函数,则

fx在

E

上是几乎处处有限的.

5、fx是E上的非负可测函数,若

fx在

E

上几乎处处等于0,则fxdx0.

E

6、(零测集上的积分)若mE0,则fxdx0.

E5

7、

fx是

E

上的勒贝格可积函数,

fx0

在

E

上几乎处处成立,则fxdx0.

E

8、设fx在E上可测,若存在非负函数gx在可测集E上勒贝格可积,fxgx几乎处处成

立,则fx在可测集E上勒贝格可积.

9、fx在可测集E上勒贝格可积,A是

E

的可测子集,则

fx在A上也勒贝格可积.且其积分

值不会超过在E上的积分值.

10、设

fx在

E

上可测,则fxdx0的充要条件是fx0在

E

上几乎处处成立.

E

11、设

fx,gx均在

E

上勒贝格可积,则Mmaxfx,gx,mminfx,gx也

在

E

上勒贝格可积.

12、若

fx与gx在

E

上几乎处处相等,则gx也可积,且

fxdx

E

gxdx.

E

13、设fx在可测集E上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设fx为可测集E上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数gx,使得

gx导函数在E

上几乎处处等于

fx.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列f

n

x在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数

fx也在I上连续.

⒉（可积性）若函数列f

n

x在区间I上一致收敛,且每一项都连续,

limfxdxlimfxdx.

a

n

n

n

n

a

bb

⒊（可微性）设f

n

x为定义在a,b上的函数列,若x

0



a,b

为f

n

x的收敛点,且f

n

x的每一

项在a,b上都有连续的导数,f

n

x

在a,b上一致收敛,则

dd

limf

n

xlimf

n

x.

nndxdx



⒋有界收敛定理设f

n

x是定义在a,b上的黎曼可积函数.

⑴f

n

x

Mn1,2,x

a,b

.6

⑵

fx是定义在a,b上的黎曼可积函数.且limf

n

x

fx

.则有

n

limf

n

xdxfxdx.

n

aa

bb

与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集E上的可测函数列f

n

x满足如下条件:

0f

1

xf

2

x,limf

n

xfx,则f

n

x的积分序列收敛于

fx的积分

n

fxd

xlim

E

n



f

n

xdx

.

E

⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列f

n

x满足如下条件:

⑴f

n

x的极限存在,limf

n

x

fx

.

n

⑵存在可积函数

gx使得f

n

x

gx

,

xE,n

那么

fx可积,有

fxdx

E

lim

n



f

n

xdx.

E

⒊设mE,E上的可测函数列f

n

x满足如下条件:

⑴f

n

x

gx

,

xE,n

,

gx可积.

⑵f

n

x依测度收敛于

fx,那么

fx可积,有

fxdx

E



lim

n



f

n

xdx.

E

⒋设f

n

x是a,b上的增函数列,且有f

n

x在a,b上收敛,则

n1

d

d

f

n

x

f

n

x.

dx

n1n1

dx

7