约当标准型

A的特征多项式det(I

A)(1)2(2)有两重根

1和单特征值32，凡是在adj

siA中的公因子则必然和

经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式,

特别指出，如果nn维矩阵A由下式给出

01

001

A

0001

012n1

并且其特征值1,2,n互异，作非奇异线性变换XP~，则化A为对

角线标准型矩阵

补充:

s

i

1~1

1~1

1

siPAP1PsiAP1

padjs|Ap

idetsi

A

(s1)(s2)

(s1)(s2)

(s1)2

p

1

(s1)2(s2)

(s1)(s2)

(s1)pi

det

si

A可以相

消。

P1AP

其中，P为范德蒙德（Vandermond矩阵。即

1111

补充：

设约当块数为q和q个mi（约当块的阶数）。A矩阵惟一决定的约当型矩阵

式

J1

J

Jq

设变换矩阵P与J具有同样阶数组的分块矩阵型

Jq

令P[P1P2Pq]

即，Pi是n

mi阶矩阵APPJ

J1

A[P1P2Pq][P1P2Pq]

J2

根据分块矩阵的乘法规则，有

[AP1AP2Apq][P1J1P2J2PqJq]

上式实际上是q个等式，即ApjPi

J

i,j1,2,,q

将nmi阶矩阵Q写成列向量形式，于是有

也可写成

(iIA)Pi10

(iIA)Pi2Pi1

(i1A)PimiPimi1

顺序解以上方程组就可以确定pi的mi个列向量。这些列向量中只有

第一个Pi1是对应于i的特征向量，而其余的mi1个向量Pi2,，Pimi,称

之为对应特征值i的广义特征向量，可由上式递推解出

设矩阵A的重特征值为1，代入式(ilA)Pi10中，即由

(11A)Pn0

可求出A的对应于1的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就是该特

征值对应的约当块数，或表示为

11nrank11A

降秩数11就是对应1的线性无关特征向量个数，或者是对应1的约当块块数。

换句话说，矩阵A的特征值分组1,2,q中，有12a11。

P[Pi1Pi2Pimq]

APi1Pi2Pimi][Pi1Pi2

即

Pimi]

Api1iPi1

APi2Pi1iPi2

APmiPm1

iPm

将式中计算P12的式子，

(11A)P12P11

两端同时乘以(JA),(1IA)2p12(1IA)p110

2

该方程线性无关的解的个数是nrank1IA，但这个数目中包括pn的个数,即11。所

以，解出线性无关的列向量P12的个数，

2

12rank11Arank11A

也就是对应1的大于或等于2阶约当块的块数。

例将已知矩阵A化为约当型

2i10

021

002

A

3

2

解：先求A的特征多项式，因为A矩阵是对角分块矩阵，所以特征多

项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即

(sIA)(SI3A)(sjA)(shA3)(s2)6

将特征值2代入式.1nrank」A，求约当型中的约当块数。

010

001

000

11nrank2IA6rank1=6-3=3

1—

2

21

0

1

2

1

2

由此，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。

2

然后，将2代入12rank1IArank1IA求出约当型中大于等于2

阶的块数

010

000

2000

123rank2IA3rank312

1200

00

0

所以，由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。再将将2

代入.13rank11A2rank11A3，求出约当型中大于等

于3阶的块数|131rank2IA3101

所以，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块，一个2阶块,一个3

阶块，即

210

021

10

JP1AP

02

21

02

2

设i是系统的一个特征值，若存在一个n维非零向量pi，满足

APiiPi

或

(ilA)Pi0

则称Pi为系统相对于特征值i的特征向量。

例如：系统矩阵为

01

A

23

试求其特征值和一组特征向量。

其特征值为共轭复数对

1j，21j,其对应的特征向量也是复

解：由系统的特征方程

2P

21P22

下面确定将A矩阵化为约当标准型的变换矩阵P

由JP1AP

得APPJ

P115书例设A

系统的特征值为

11,22

设对于特征值2的特征向量Pl,P2分别为

P11P21

P12

P2P22

(ilA)Pi0(i1,2)

得到

（1l

A)P

I

1

2

(21

A)P22

2

Pl

p21

P22

P110

P12

取P11

1P211，得

P12

1,P22

皿1

「121，P

2

P21

P22

1,

1

P21

0

1

2

则有P11P12

数向量，P1,P21,变换阵和它的逆矩阵都是复数

1j1j

矩阵，即

P

111jj

1jj

变换后的结果A也是复数矩阵，即

〜1

AP1AP