标准差怎么求

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[方差和标准差公式]方差和标准差

方差和标准差篇1:方差与标准差教学反思

一.教学目标

1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.

2.掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.

3.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法

时以及区别，积累统计经验.

二.要点梳理

1.我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据

的波动情况不敏感.

2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组

数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的

波动性大小

3.设在一组数据某1，某2，某3，某4，某N中，各数据与它们的平均数

的差的平方分别是(某1-)2，(某2-)2，(某3-)2，，(某n-)2,,那么我们求

它们的平均数，即用S2=.

4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。

5.方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方

差说明数据越稳定，

6.为什么要这样定义方差

7.为什么要除以数据的个数n

8.标准差与方差的区别和联系

三.问题探究

知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性

例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球

的直径进行了检测，结果如下(单位：mm)

A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，

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39.9，40.0，40.1

B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，

40.2，39.8，40.2

思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差

2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标

准吗

3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗

直径/mm直径/mm

A厂B厂

知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差

例2.在一组数据中某1、某2、某3某n中，它们与平均数的差的平方是

(某1-)2,(某2-)2,(某3-)2,,(某n-)2.我们用它们的平均数，即

用S2=1N[(某1-)2+(某2-)2+(某3-)2+(某n-)2]来描述这组数据的离

散程度，并把它叫做这组数据的.

在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程

度，并把它叫做这组数据的标准差.

甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：

甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4

乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能

较好

知识点3.

例3.已知，一组数据某1,某2,，某n的平均数是10，方差是2，

①数据某1+3,某2+3,，某n+3的平均数是方差是，

②数据2某1,2某2,，2某n的平均数是方差是，

③数据2某1+3,2某2+3,，2某n+3的平均数是方差是，

你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗

四.课堂操练

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1、一组数据：，，0，，1的平均数是0，则=.方差.

2、如果样本方差，

那么这个样本的平均数为.样本容量为.

3、已知的平均数10，方差3，则的平均数为，方差为.

4、样本方差的作用是()

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大

小

5、小明和小兵10次100m跑测试的成绩(单位：s)如下：()

小明：14.8,15.5,13.9,14.4,14.1,14.7,15.0,14.2,

14.9,14.5

小兵：14.3,15.1，15.0，13.2，14.2，14.3,13.5,16.1,

14.4,14.8

如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比

赛

6、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成

绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和1.2。设问射击成绩较为稳定的

是谁

五.课外拓展

一、填空题

1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和

方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是.

2、样本数据3，6，,4，2的平均数是3，则这个样本的方差是.

3、数据,,，的平均数为，标准差为5，那么各个数据与之差的平

方和为_________.

4、已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差

为_________，标准差为_______。

5、已知一组数据-1、某、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差

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是。

6、若一组数据的方差是1，则这组数据的标准差是。若另一组数据的标

准差是2，则方差是。

7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是;方差能为负数吗

二、选择题

8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲

2=2.4，•S乙2=3.2，则射击稳定性是()

A.甲高B.乙高C.两人一样多D.不能确定

9、若一组数据，，，的方差是5，则一组新数据，，，的方差是()

A.5B.10C.20D.50

10.在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的()

A.平均状态B.分布规律C.离散程度D.数值大小

11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是，，方差分别是，，比较这

两组数据，下列说法正确的是()

A.甲组数据较好B.乙组数据较好C.甲组数据的极差较大D.乙组数据的波

动较小

12、下列说法正确的是()

A.两组数据的极差相等，则方差也相等B.数据的方差越大，说明数据的波

动越小

C.数据的标准差越小，说明数据越稳定D.数据的平均数越大，则数据的方

差越大

13、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得;

甲=乙，S2甲=0.025,S2乙=0.026,下列说法正确的是()

A、甲短跑成绩比乙好B、乙短跑成绩比甲好

C、甲比乙短跑成绩稳定D、乙比甲短跑成绩稳定

14、数据70、71、72、73、74的标准差是()

A、B、2C、D、

三、解答题(每题10分，共30分)

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16、若一组数据,，,的平均数是2，方差为9，则数据，，，的平均

数和标准差各是多少

17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投10个球，

他们每轮投中的球数如下表：

轮次一二三四五

甲投中(个)68759

乙投中(个)78677

(1)甲在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是;

(2)乙在五轮比赛中投中球数的平均数是，方差是;

(3)通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些

方差和标准差篇2:初中数学优质说课稿：《数据的波动》

各位评委、各位老师大家好！今天我说课的课题是八年级下册第五章第4

节《数据的波动》（第一课时）。现我就教材、教法、学法、教学流序、板书五

个方面进行说明。（恳请在座的各位专家、同仁批评指正。）

一、说教材：

1、本节课的主要内容：

探究数据的离散程度及认识“极差”“方差”“标准差”三个量度及其实

际意义。主要是运用具体的生活情境，让学生感受到当两组数据的“平均水

平”相近时，而实际问题中具体意义却千差万别，因而必须研究数据的波动状

况，分析数据的差异，逐步抽象出刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标

准差”的三个量度，并掌握利用计算器求方差和标准差。

2、地位作用：

纵观本章的教材安排体系，以数据“收集—表示—处理—评判”的顺序展

开。数据的波动是对一组数据变化的趋势进行评判，通过结果评判形成决策的

教学，是数据处理解决现实情景问题必不可少的重要环节，是本章学习的最终

目的和落脚点。通过本节的学习为处理各种较为复杂的现实情境的数据问题打

下基础。

3、教学目标：

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依据课标对本节知识的提出的“探索如何表示一组数据的离散程度，会计

算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度”要求，确定以下目标：

（1）知识目标：

a、掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”三个量度。

b、会动手和利用计算器计算“方差”“标准差”。

（2）过程与方法目标：

a、经历感受表示数据离散程度的三个量度的探索过程（“极差”“方

差”“标准差）。

b、通过数据分析的学习，培养学生探索数学规律的能力（“平均数相同的

两组数据，极差越小，波动越小，越稳定”；“一组数据方差越小，波动越

小，越稳定”）

c、突出关键环节，判断两组数据稳定性就是抓住计算其方差进行比较。

d、在具体实例中体会样本估计总体的思想。

（3）情感目标：通过解决生活中的数学问题，培养学生认真参与、积极交

流的主体意识，通过数据分析，培养学生善于用数学的眼光认识世界，进一步

增强学生的数学素养。

4、重点与难点：重点：

理解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，会计算方差

的数值，并在具体问题情境中加以应用。

难点：理解极差、方差的含义及方差的计算公式，并准确运用其解决实际

问题。

二、说教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动

学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这一

原则和本节教学目标，我采用如下的教学方法：

1、引导发现法。数据分析的三个量度，是十分抽象的概念，要引出三个概

念，必须借助学生熟悉的生活情景。我设计了一个连接奥运会中韩射箭运动员

的场景，并用表格记录环数，让学生运用已有的知识进行评判，通过学习分析

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具体的生活实例来发现当两组数据的“平均水平”相近，无法用平均数来刻画

时，引入一种新的量度，逐步抽象出“极差”“方差”“标准差”。以此，打

开教学突出教学难点的缺口，充分激活学生思维，调动其主动性和积极性。

2、比较法。在极差和方差的应用中，让学生在比较中发现用已有的知识还

是难以准确的刻画一组数据的离散程度，从而引入新的量度。

3、练习巩固法。通过练习，强化巩固概念，熟练计算器的操作。进一步理

解本节知识对于实际问题的意义。这样更能突破重点、解决难点，在运算中深

刻理解“极差”“方差”“标准差”的内涵。使学生的分析问题和解决问题的

能力得到进一步的提高。

4、选用一个贴近学生生活实际的背景。通过一个实际问题情境的导入和比

较，抓住重点，突破难点，让学生直观地估测甲、乙两名选手的成绩，回顾有

关数据的另一个量度“平均水平”，同时让学生初步体会“平均水平”相近，

但两者的离散程度未必相同，仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据，

从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度—极差；然后，设计了一个

“做一做”，因承上面场景的情境，增加了一名选手丙，旨在通过丙与甲、乙

的对比，发现有时平均水平相近，极差也相同，但数据的离散程度仍然存在差

异，仅用极差还难以精确刻画一组数据的离散程度，从而引入刻画一组数据离

散程度的另外两个量度—标准差和方差。指导学生动手计算平均数、极差、方

差、标准差，并依次比较，让学生在比较中发现问题。

三、说学法：

教给学生方法比教给学生知识更重要。本节课注重调动学生积极思考、主

动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我主要设计的学法指

导是：

（1）引导观察分析法：链接运动员设计场景，引导学生观察把环（用

眼），关注收集的数据，积极思考，分析两名运动员设计的稳定程度（动脑），

指导学生动手计算（动手）。让学生学会观察问题，分析问题和解决问题。

（2）引导比较鉴别法：在教学过程中，每出现一个新概念或一个新公式，

采取的方法是：一是引导学生读，二是解释关键词语，三是让学生动手计算、

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巩固知识，加深理解概念的内涵，四是回头看实际情形，认识数据的变化规

律，在实际背景中比较形成正确的决策。

（3）引导练习巩固：注重“做一做”的练习中强化、观察、切入公式特

点、计算、分析、判断的方法的巩固，通过强化加深学生对三个量度的理解和

应用。让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内

容和知识。

（4）引导自学法：学生自学掌握计数器计算方差和标准差的操作功能。

四、说教学程序：

1、创设情境，导入新课：

、展示情景（链接奥运会中韩运动员设计的情景）。

、学生观察阅读分析（描述运动员射箭的平均水平）。

、分析思考寻求解决方案（观察表格数据求平均数）。

、通过对以上问题的分析发现在实际生活中除了关注数据的“平均水平”

以外，还要关注数据的离散程度。（引出本课课题——数据的波动）

2、新课：

（由学生已经掌握的知识来引出课题，吸引学生的注意力和提高学习本节

知识的兴趣）

、概念介绍：

a、数据的离散程度（是相对于平均水平的偏离情况）；

b、极差（极差是刻画数据的离散程度的一个统计量，是一组数据中最大数

据与最小数据的差）；

c、练习巩固计算极差；

、展示丙运动员加入的情景，让学生在乙丙两人中挑选，计算中发现平均

数极差相同，让学生产生新的困惑。引入本节的第二个知识点——方差和标准

差。

、引进概念

a、给出“标准差”的概念（方差的算术平方根）。

b、学生相互交流学习操作计算器计算方差和标准差。

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、引导学生理解一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定

的内涵（通过数据与图比较说明，使抽象概念具体化）。

、计算引例中的方差和标准差。（作用：一是巩固“方差”的计算方法；二

是用方差来刻画引例中的数据离散程度，加深学生对方差意义的理解。三是会

用运“方差”来解决实际问题的方法）。

3、巩固练习：

、样本4、7、5、2、3、8、5、6的平均数是______，众数是_____，极差

是____，方差是________，标准差是______。（通过这组练习强化概念和计算方

法的运用）

、P—235随堂练习（1）（通过这道习题巩固运用所学知识分析解决实际问

题的能力）

4、小结谈体会：教师引导回顾所学概念；让学生谈学习、运用的体会。

5、布置作业：P—199（1）（2）（3—选作题）：

五、说板书设计

板书设计为表格式，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知

识的理解和掌握，同时便于比较和记忆，有利于提高教学效果。

方差和标准差篇3:初中数学教师说课稿

初中数学对比小学数学来说，难度增加了不少，学生们也难以理解一些知

识点，那么老师在讲课的时候，应该怎样讲才能激发学生对数学的兴趣呢？下

面是关于初中数学教师说课稿的内容，欢迎阅读！

各位评委、各位老师大家好!今天我说课的课题是八年级下册第五章第4节

《数据的波动》(第一课时)。现我就教材、教法、学法、教学流序、板书五个

方面进行说明。(恳请在座的各位专家、同仁批评指正。)

一、说教材：

1.本节课的主要内容：

探究数据的离散程度及认识“极差”“方差”“标准差”三个量度及其实

际意义。主要是运用具体的生活情境，让学生感受到当两组数据的“平均水

平”相近时，而实际问题中具体意义却千差万别，因而必须研究数据的波动状

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况，分析数据的差异，逐步抽象出刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标

准差”的三个量度，并掌握利用计算器求方差与标准差。

2.地位作用：

纵观本章的教材安排体系，以数据“收集—表示—处理—评判”的顺序展

开。数据的波动是对一组数据变化的趋势进行评判，通过结果评判形成决策的

教学，是数据处理解决现实情景问题必不可少的重要环节，是本章学习的最终

目的与落脚点。通过本节的学习为处理各种较为复杂的现实情境的数据问题打

下基础。

3.教学目标：

依据课标对本节知识的提出的“探索如何表示一组数据的离散程度，会计

算极差与方差，并会用它们表示数据的离散程度”要求，确定以下目标：

(1)知识目标：a、掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”

三个量度。b、会动手与利用计算器计算“方差”“标准差”。

(2)过程与方法目标：a.经历感受表示数据离散程度的三个量度的探索过程

(“极差”“方差”“标准差)。b.通过数据分析的学习，培养学生探索数学规

律的能力(“平均数相同的两组数据，极差越小，波动越小，越稳定”;“一组

数据方差越小，波动越小，越稳定”)c.突出关键环节，判断两组数据稳定性就

是抓住计算其方差进行比较。d.在具体实例中体会样本估计总体的思想。

(3)情感目标：通过解决生活中的数学问题，培养学生认真参与、积极交流

的主体意识，通过数据分析，培养学生善于用数学的眼光认识世界，进一步增

强学生的数学素养。

4.重点与难点：重点：

理解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差与方差，会计算方差

的数值，并在具体问题情境中加以应用。

难点：理解极差、方差的含义及方差的计算公式，并准确运用其解决实际

问题。

二、说教法

教学过程是教师与学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学

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生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这一原则

与本节教学目标，我采用如下的教学方法：

1.引导发现法。数据分析的三个量度，是十分抽象的概念，要引出三个概

念，必须借助学生熟悉的生活情景。我设计了一个连接奥运会中韩射箭运动员

的场景，并用表格记录环数，让学生运用已有的知识进行评判，通过学习分析

具体的生活实例来发现当两组数据的“平均水平”相近，无法用平均数来刻画

时，引入一种新的量度，逐步抽象出“极差”“方差”“标准差”。以此，打

开教学突出教学难点的缺口，充分激活学生思维，调动其主动性与积极性。

2.比较法。在极差与方差的应用中，让学生在比较中发现用已有的知识还

是难以准确的刻画一组数据的离散程度，从而引入新的量度。

3.练习巩固法。通过练习，强化巩固概念，熟练计算器的操作。进一步理

解本节知识对于实际问题的意义。这样更能突破重点、解决难点，在运算中深

刻理解“极差”“方差”“标准差”的内涵。使学生的分析问题与解决问题的

能力得到进一步的提高。

4.选用一个贴近学生生活实际的背景。通过一个实际问题情境的导入与比

较，抓住重点，突破难点，让学生直观地估测甲、乙两名选手的成绩，回顾有

关数据的另一个量度“平均水平”，同时让学生初步体会“平均水平”相近，

但两者的离散程度未必相同，仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据，

从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度—极差;然后，设计了一个

“做一做”，因承上面场景的情境，增加了一名选手丙，旨在通过丙与甲、乙

的对比，发现有时平均水平相近，极差也相同，但数据的离散程度仍然存在差

异，仅用极差还难以精确刻画一组数据的离散程度，从而引入刻画一组数据离

散程度的另外两个量度—标准差与方差。指导学生动手计算平均数、极差、方

差、标准差，并依次比较，让学生在比较中发现问题。

三、说学法：

教给学生方法比教给学生知识更重要。本节课注重调动学生积极思考、主

动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间与空间，我主要设计的学法指

导是：

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(1)引导观察分析法：链接运动员设计场景，引导学生观察把环(用眼)，关

注收集的数据，积极思考，分析两名运动员设计的稳定程度(动脑)，指导学生

动手计算(动手)。让学生学会观察问题，分析问题与解决问题。

(2)引导比较鉴别法：在教学过程中，每出现一个新概念或一个新公式，采

取的方法是：一是引导学生读，二是解释关键词语，三是让学生动手计算、巩

固知识，加深理解概念的内涵，四是回头看实际情形，认识数据的变化规律，

在实际背景中比较形成正确的决策。

(3)引导练习巩固：注重“做一做”的练习中强化、观察、切入公式特点、

计算、分析、判断的方法的巩固，通过强化加深学生对三个量度的理解与应

用。让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容

与知识。

(4)引导自学法：学生自学掌握计数器计算方差与标准差的操作功能。

四、说教学程序：

1.创设情境，导入新课：

、展示情景(链接奥运会中韩运动员设计的情景)。

、学生观察阅读分析(描述运动员射箭的平均水平)。

、分析思考寻求解决方案(观察表格数据求平均数)。

、通过对以上问题的分析发现在实际生活中除了关注数据的“平均水平”

以外，还要关注数据的离散程度。(引出本课课题——数据的波动)

2、新课：

(由学生已经掌握的知识来引出课题，吸引学生的注意力与提高学习本节知

识的兴趣)

、概念介绍：

a、数据的离散程度(是相对于平均水平的偏离情况);

b、极差(极差是刻画数据的离散程度的一个统计量，是一组数据中最大数

据与最小数据的差);

c、练习巩固计算极差;

、展示丙运动员加入的情景，让学生在乙丙两人中挑选，计算中发现平均

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数极差相同，让学生产生新的困惑。引入本节的第二个知识点——方差与标准

差。

、引进概念

a、概念“方差”(各个数据与平均数之差的平方的平均数)，给出计算公

式：

b、给出“标准差”的概念(方差的算术平方根)。

c、学生相互交流学习操作计算器计算方差与标准差。

、引导学生理解一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定

的内涵(通过数据与图比较说明，使抽象概念具体化)。

、计算引例中的方差与标准差。(作用：一是巩固“方差”的计算方法;二

是用方差来刻画引例中的数据离散程度，加深学生对方差意义的理解。三是会

用运“方差”来解决实际问题的方法)。

3、巩固练习：

、样本4、7、5、2、3、8、5、6的平均数是______，众数是_____，极差

是____，方差是________，标准差是______。(通过这组练习强化概念与计算方

法的运用)

、P—235随堂练习(1)(通过这道习题巩固运用所学知识分析解决实际问题

的能力)

4、小结谈体会：教师引导回顾所学概念;让学生谈学习、运用的体会。

5、布置作业：P—199(1)(2)(3-选作题)：

五.说板书设计

板书设计为表格式，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知

识的理解与掌握，同时便于比较与记忆，有利于提高教学效果。