lne等于多少

2.2.1对数与对数运算（一）

一、引入课题（62--64）

1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）

取多少次,还有0.125尺？

2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那

么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

抽象出：1.(

2

1

)4＝？(

2

1

)x＝0.125



x=?

2.(1+8%)x=2



x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？

怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这

节课所要学习的对数

二、新课教学

1．对数的概念

一般地，如果Nax

)1,0(aa，那么数x叫做以

．

a为底

．．

N的对数

（Logarithm），记作：

Nx

a

log

a—底数，N—真数，N

a

log—对数式

说明：○

1

注意底数的限制0a，且1a；

○

2

xNNa

a

xlog；

○

3

注意对数的书写格式．

提出问题

①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?

②根据对数定义求log

a

1和log

a

a(a>0,a≠1)的值.

N

a

log

③负数与零有没有对数?

④N

aalog=N与log

a

ab=b(a>0,a≠1)是否成立?

讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）2

1

;

若a=0,N不为0时,b不存在,如log

0

3,N为0时,b可为任意正数,是不唯

一的,即log

0

0有无数个值;

若a=1,N不为1时,b不存在,如log

1

2,N为1时,b可为任意数,是不唯一

的,即log

1

1有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.

②log

a

1=0,log

a

a=1.

因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以log

a

1=0.

同样易知：log

a

a=1.

即1的对数等于0,底的对数等于1.

③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0

恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.

④因为ab=N,所以b=log

a

N,ab=N

aalog=N,即N

aalog=N.

因为ab=ab,所以log

a

ab=b.故两个式子都成立.(N

aalog=N叫对数恒等式)

对数的性质

（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log

a

；

（3）底数的对数是1：1loga

a

；（4）对数恒等式：NaN

alog；

（5）nan

a

log．

两个重要对数：

①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N

的常用对数log

10

N简记作lgN.

例如：log

10

5简记作lg5;log

10

3.5简记作lg3.5.

②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的

对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数log

e

N简记

作lnN.

例如：log

e

3简记作ln3;log

e

10简记作ln10.

应用示例

例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式(课本63页)：

（1）54=625;（2）2-6=

64

1

;（3）(

3

1

)m=5.73;

(4)log

2

1

16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.

例2求下列各式中x的值（课本63页）:

（1）log

64

x=

3

2

;（2）log

x

8=6;

（3）lg100=x;（4）-lne2=x.

变式训练

1、求下列各式中的x：

①log

4

x=

2

1

;②log

x

27=

4

3

;③log

5

（log

10

x）=1.

解：①由log

4

x=

2

1

,得x=42

1

=2;

②由log

x

27=

4

3

,得x4

3

=27,所以x=273

4

=81;

③由log

5

（log

10

x）=1,得log

10

x=5,即x=105.

知能训练

1.把下列各题的指数式写成对数式:

(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;

(5)54=625;(6)3-2=

9

1

;(7)(

4

1

)-2=16.

解：(1)2＝log

4

16;(2)0＝log

3

1;(3)ｘ＝log

4

２;(4)ｘ＝log

2

0.5;

(5)4=log

5

625;(6)-2=log

3

9

1

;(7)-2=log

4

1

16.

2.把下列各题的对数式写成指数式:

(1)ｘ＝log

5

27;(2)ｘ＝log

8

7;(3)ｘ＝log

4

3;(4)ｘ＝

log

7

3

1

;

(5)log

2

16=4;(6)log

3

1

27=-3;(7)log

x3

=6;(8)log

x

64=-6;

(9)log

2

128=7;(10)log

3

27=a.

解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝

3

1

;(5)24=16;

(6)(

3

1

)-3=27;(7)(3)6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.

3.求下列各式中x的值:

(1)log

8

x=

3

2

;(2)log

x

27=

4

3

;(3)log

2

（log

5

x）=1;(4)log

3

（lgx）=0.

解：(1)因为log

8

x=

3

2

,所以x=83

2

=(23)3

2

=)

3

2

(32=2-2=

4

1

;

(2)因为log

x

27=

4

3

,所以x4

3

=27=33,即x=(33)3

4

=34=81;

(3)因为log

2

（log

5

x）=1,所以log

5

x=2,x=52=25;

(4)因为log

3

（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.

4.(1)求log

8

4的值;(2)已知log

a

2=m,log

a

3=n,求a2m+n的值.

解：(1)设log

8

4=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=

3

2

,即

log

8

4=

3

2

;

(2)因为log

a

2=m,log

a

3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,

所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.