斜高

三棱锥

定义

几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体.

底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥

称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体.三棱锥有六条棱长，四

个顶点，四个面。

相关计算

h为底高（法线长度)，A为底面面积,V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有：

三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则：

（其中Si，i=1，2为第i个侧面的面积）

S全=S棱锥侧+S底

S正三棱锥=1/2CL+S底

V=S(底面积)·H(高）÷3

三棱锥体积公式

一个三棱柱中的三个等体积的三棱锥

：h为底高(法线长度)，A为底面面积，V为体积,L为斜

高,C为棱锥底面周长

三棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个三棱柱乘以高h,就是三

棱锥体积:V=1/2（S+0)h=1/2Sh

S面积三角形AC乘h'除以2

三棱锥公式

海伦秦九韶体积公式

任意一个三棱锥或者说四面体，其棱为a，b，c，d，e，f，其中a与d，b与e，c与f互为

对边，那么有三棱锥（四面体）的体积公式为

内切球心

正三棱锥内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处

相关计算：因为正三棱锥底面为正三角形，所以高线位于任意顶点与底边中点连线，又三线

合一，所以重心位于高线距顶点2/3处，即可算出顶点与重心的距离,又知正三棱锥边长，即

可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度，即可算出底面与球心

的距离（即内切球半径）。

一般的三棱锥内切球心在四个面上的射影与四个面的重心重合，据此可确定球心位置。

外接球心

正三棱锥外接球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处

相关计算：和计算内切球心一样算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即

可算出顶点与球心的距离(即外接球半径）。

一般的三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合,据此可确定球心位置.

与棱相切的球心

正三棱锥的与棱相切的球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处（正三棱锥三心重合)

一般的三棱锥与四条棱都相切的球心在四个面上的射影与四个面的内心重合,据此可确定球

心位置。

三棱锥顶点射影与底面三角形的“心”

设有三棱锥P—ABC,P在平面ABC上的射影为O，

外心

当三棱锥的三条侧棱相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心。

当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，顶点在底面的射影是底面三角形外

内心

当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的内部,那么

射影是内心。

当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的内部，

那么射影是内心。

旁心

当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等，且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那

么射影是旁心。

当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的外部，那

么射影是旁心.

垂心

当三棱锥的三条侧棱两两垂直(或每条侧棱都与所对的侧面垂直）时，顶点在底面的射影是底

面三角形的垂心.

当三棱锥有两条侧棱与对应的对边垂直时，第三组侧棱与对边也垂直，且顶点在底面的射影

是底面三角形的垂心。

重心

当三棱锥的三个侧面在底面上的射影面积相等时，顶点在底面的射影是底面三角形的重心。

正四面体

定义

正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面,6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。

正三棱锥

正四面体属于正三棱锥,但是正三棱锥只需要底面为正三角形,其他三个面是全等的等腰三

角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形.

因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。

基本性质

正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。

正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。

正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心

在无穷远处。

正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。

正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体.

正四面体的对边相互垂直.

相关数据

当正四面体的棱长为a时,一些数据如下:

高：√6a/3。中心把高分为1：3两部分。

表面积：√3a^2

体积：√2a^3/12

对棱中点的连线段的长：√2a/2

外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0。5/9＊π，约12。2517532％.

内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0。5/18，约30。2299894％。

棱切球半径:√2a/4。

如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥.

特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.

正棱锥

（1)正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它

叫做正棱锥的斜高）；

正四面体

（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、

侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形;

（3）正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；

（4)正棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c，斜高为h’,那么它的侧面积是

s=1/2ch‘。

（5)正棱锥的体积:如果正棱锥的底面积为S，顶点到底面的距离为h，则V=1/3Sh