弧度公式

弧度制及同角三角函数计算公式

一、弧度制

平面几何里角的度量，规定周角的1/360为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫

做角度制。

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

如图2—6，弧AB的长度等于半径r，弧AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，在图2

—7中，圆心角∠AOC所对的弧AC的长l=2r，那么∠AOC的弧度数即为：l/r=2r/r=2

如果圆心角所对的弧的长l=2r<即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是：

l/r=2/r=2

如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧的长l=4，那么这个角的弧度数的绝对值是：

l/r=4/r=4。即此角的弧度数是—4。

一般规定：正角的弧度数为正数。负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角

的弧度数的绝对值：

||=l/r

其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的

制度叫做弧度制。

根据上面的公式||=l/r，可以得到：

l=||.r

即圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积。这个圆弧长公式比采用角

度制时的相应公式l=nr/180要简单一些。

例、利用弧度制来推导扇形面积公式s=1/2.l.R，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。

解：因为圆心角为1弧度的扇形的面积为R2，而弧长为l的扇形的圆心角的弧度数为

l/R，所以它的面积为：

S=l/R××R2=1/

一个角用度和弧度来表示时的换算公式：

360°=2弧度；

180°=弧度.

由此还可得到：

1°=/180弧度0.01745弧度。

1弧度=<）°57.30°=57°18′

特殊角的度数与弧度数的对于表：

度0°30°45°60°90°180°270°360°

弧度0/6/4/3/2/2

二、同角三角函数计算公式

设是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是

r0），图2—11，那么角的正弦、余弦、正切、余切分别是：

sin=y/r，cos=x/r

tg=y/x，ctg=x/y

角的正割:c=r/x

角的余割:csc=r/x

同角三角函数的基本关系式：

<1）倒数关系：

sin×csc=1

cos×c=1

tg×ctg=1

<2）商数关系：

tg=sin/cos

ctg=cos/sin

<3）平方关系：

Sin2+cos2=1

1+tg2=c2

1+ctg2=csc2

利用上述<1）、<2）、<3）这些关系式，可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个

角的其他三角函数值。

公式二：

Sin<180°+）=－sin

cos<180°+）=－cos

tg<180°+）=tg

ctg<180°+）=ctg

公式三：

Sin<－）=－sin

cos<－）=cos

tg<－）=－tg

ctg<－）=－ctg

公式四：

Sin<180°－）=sin

cos<180°－）=－cos

tg<180°－）=－tg

ctg<180°－）=－ctg

公式五：

Sin<360°－）=－sin

cos<360°－）=cos

tg<360°－）=－tg

ctg<360°－）=－ctg

终边相同的角的同一三角函数的值相等。

公式一：

Sin

cos

tg

ctg

公式一、二、三、四、五均叫做诱导公式。利用诱导公式求任意角的三角函数值，一般可

按下面的步骤进行：

用公式三、一用公式一

用公式二、四、五查表

两角和与差公式：

Sin<±）=±cosSin

cos<±）=coscossinSin

tg<±）=

倍角公式：

Sin2=2sincos

cos=cos2－Sin2=2cos2－1=1－2Sin2

tg2=2tg/1－tg2

半角公式：

Sin=±

cos=±

tg=±==

任意负角的三角函数

任意正角的三角函数

0°~360°间角的三角函数

0°~90°间角的三角函数

求值

积化和差公式：

Sincos

和差化积公式：

Sin+sin=2sincos

Sin－sin=2cossin

cos+cos=2coscos

cos－cos=－2sinsin

万能公式：

Sin=2tg/<1+tg2

cos—tg2>/(1+tg2>

tg=2tg/—tg2>

关于反三角函数：

<一）反正弦函数

函数y=sinx

习惯上用字母x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数可以

写成y=arcsinx。它的定义域是[—1，1]，它的值域是[。

注：有的书把反正弦函数写作y=sin-1x，同理，反余弦函数、反正切函数、反余

切函数也可写作：cos-1x、tg-1x、tg-1x、ctg-1x。

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