济南中考时间

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2021

年山东省济南市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

1．（4分）9的算术平方根是（）

A．3B．﹣3C．±3D．

2．（4分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）

A．B．

C．D．

3．（4分）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球

相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表

示为（）

A．0.55×108B．5.5×107C．5.5×106D．55×106

4．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

5．（4分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（）

A．B．C．D．

6．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

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A．a+b＞0B．﹣a＞bC．a﹣b＜0D．﹣b＜a

7．（4分）计算的结果是（）

A．m+1B．m﹣1C．m﹣2D．﹣m﹣2

8．（4分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低

碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好

选到同一个宣传队的概率是（）

A．B．C．D．

9．（4分）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数

y＝kx﹣k的图象大致是（）

A．B．C．D．

10．（4分）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基

地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右

侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯

角为35°，则M，N之间的距离为（）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°

≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

A．188mB．269mC．286mD．312m

11．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为

半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，

两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（）

A．BE＝DEB．DE垂直平分线段AC

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C．D．BD2

＝BC•BE

12．（4分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足

m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限

变点．例如：点P

1

（2，5）的限变点是P

1

′（2，1），点P

2

（﹣2，3）的限变点是P

2

′

（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x

2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，

其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）

A．﹣2≤n′≤2B．1≤n′≤3C．1≤n′≤2D．﹣2≤n′≤3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案）

13．（4分）因式分解：a2

﹣9＝．

14．（4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆

面上，则飞镖落在黑色区域的概率是．

15．（4分）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝．

16．（4分）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是．

17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，

这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单

的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小

明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为

8cm时，对应的时间t为min．

t（min）…1235…

h（cm）…2.42.83.44…

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18．（4分）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四

周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，

则边AB的长为．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

19．（6分）计算：．

20．（6分）解不等式组：并写出它的所有整数解．

21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝

∠CBF．求证：DE＝DF．

22．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型

社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调

查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：

方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：

5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．

不完整的统计图表：

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方便筷使用数量统计表

组别使用数量（双）频数

A0≤x＜514

B5≤x＜10

C10≤x＜15

D15≤x＜20a

Ex≥2010

合计50

请结合以上信息回答下列问题：

（1）统计表中的a＝；

（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为度；

（3）C组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数

是；

（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的

人数．

23．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的

延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．

（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；

（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．

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24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味

的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种

粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超

过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

25．（10分）如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，

﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．

（1）求k的值并直接写出点B的坐标；

（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；

（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩

形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段

DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等

腰直角三角形CEF，连接AF．

（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；

（2）当0°＜α＜180°时，

①

如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②

如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

27．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是

以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接

PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

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2021

年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

1．【分析】根据算术平方根的定义解答．

【解答】解：∵3

2

＝9，

∴9的算术平方根是3．

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图进行判断即可．

【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；

圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；

正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；

三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图

的形状是正确判断的前提．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×10

7

．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．【分析】由平行线的性质得∠ADC＝∠A＝30°，再由角平分线得∠CDE＝60°，再次利

用平行线的性质可得∠DEB＝∠CDE＝60°．

【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝30°，

∴∠ADC＝∠A＝30°，∠CDE＝∠DEB，

∵DA平分∠CDE，

∴∠CDE＝2∠ADC＝60°，

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∴∠DEB＝60°．

故选：B．

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线

平行，内错角相等．

5．【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合

的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全

重合的图形．依据定义判断．

【解答】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称

图形的定义是解此题的关键．

6．【分析】根据数轴上点的位置判断出a与b的正负，以及绝对值的大小，利用有理数的加

减和相反数的意义判断即可．

【解答】解：∵b＜0＜a，且|b|＞|a|

∴a+b＜0，选项A错误；

﹣a＞b，选项B正确；

a﹣b＞0，选项C错误；

﹣b＞a，选项D错误；

故选：B．

【点评】此题考查了数轴，根据数轴确定出a与b的正负及绝对值大小是解本题的关键．

7．【分析】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．

【解答】解：原式＝＝＝＝m﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．

8．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有

3种，再由概率公式求解即可．

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【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，

∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，

故选：C．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果

求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B

的概率．正确画出树状图是解题的关键．

9．【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，从而可判断出﹣k＜0，然后再判断一次函数y

＝kx﹣k的图象图象所经过象限即可．

【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，

∴k＞0，

∴﹣k＜0，

∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限，

故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握反比例函数y

＝，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而

减小．

10．【分析】首先分析图形：根据题意得两个直角三角形△AON、△BOM，通过解这两个直

角三角形求得OB、ON的长度，进而可解即可求出答案．

【解答】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，

在Rt△AON中，

tanN＝＝tan43°，

∴NO＝≈150m，

在Rt△BOM中，

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tanM＝＝tan35°，

∴MO＝≈135.7m，

∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．

故选：C．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利

用三角函数解直角三角形．

11．【分析】由题意不难得到BE＝DE，则有∠BAE＝∠DAE＝30°，可判断△AEC是等腰

三角形，则不难判断A、B正确；易证△ABC∽△EDC，则有，再根据

，DC＝，从而得到，利用相似三角形的性质可判断C

错误；易证得△ABD是等边三角形，则有∠DBE＝∠BDE＝30°，可得△BED∽△BDC，

根据相似三角形的性质可得到D正确．

【解答】解：由题意可得∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，AP为BD的垂直平分线，

∴BE＝DE，

∴∠BAE＝∠DAE＝30°，

∴△AEC是等腰三角形，

∵AB＝AD，AC＝2AB，

∴点D为AC的中点，

∴DE垂直平分线段AC，

故选项A，B正确，不符合题意；

在△ABC和△EDC中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠EDC＝90°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，

∵，DC＝，

∴，

∴，

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∴，故选项C错误，符合题意；

在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝∠ADB＝60°，

∴∠DBE＝∠BDE＝30°，

在△BED和△BDC中，∠DBC＝∠EBD＝30°，∠BDE＝∠C＝30°，

∴△BED∽△BDC，

∴，

∴BD

2

＝BC•BE，故选项D正确，不符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的

直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．

12．【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m

≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m

2

﹣4m﹣2＝（m﹣2）

2

﹣6，在﹣1≤m＜

0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．

【解答】解：由题意可知，

当m≥0时，n′＝﹣m

2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，

∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，

当m＜0时，n′＝m

2

﹣4m﹣2＝（m﹣2）

2

﹣6，

∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，

综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，

故选：D．

【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定

义得到n′关于m的函数．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案）

13．【分析】a2

﹣9可以写成a

2

﹣3

2

，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．

【解答】解：a

2

﹣9＝（a+3）（a﹣3）．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．

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14．【分析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算

出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．

【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其

中黑色区域的面积占了其中的四等份，

所以P（飞镖落在黑色区域）＝＝．

故答案为：．

【点评】此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件

数为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性

大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有P（A）＝．

15．【分析】根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB＝

＝108°，正方形AMNP中，∠PAM＝90°，∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM即可．

【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，

∴∠EAB＝＝108°，

∵四边形AMNP为正方形，

∴∠PAM＝90°，

∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．

故答案为：18°．

【点评】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．

16．【分析】利用根与系数之间的关系求解．

【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，

m+2＝﹣1，

∴m＝﹣3，

故答案为﹣3，

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题

属于基础题型．

17．【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关

系式，最后将h＝8代入即可．

【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，

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∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．

将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，

解得k＝0.4，b＝2，

∴h＝0.4t+2，

将h＝8代入得，t＝15．

故答案为：15．

【点评】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键．

18．【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，

根据勾股定理得出OP＝，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝

＝，进而得出BM＝，QB＝，利用AAS证明△QBM≌△MAN，根

据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．

【解答】解：如下图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，

由题意得，小正方形的边长为1，

∴OP＝＝＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，

∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，

同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，

∴∠BMQ＝∠EPO，

又∠OEP＝∠B＝90°，

∴△OEP∽△QBM，

∴＝＝＝，

∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，

∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，

∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，

在△QBM和△MAN中，

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，

∴△QBM≌△MAN（AAS），

∴AM＝QB＝，

∴AB＝BM+AM＝+＝．

故答案为：．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及正方

形的性质，根据矩形及正方形的性质作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

19．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个知识点．在

计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：

＝4+1+3﹣2×1

＝8﹣2

＝6．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决

此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等

知识点的运算．

20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式

①

，得x≥﹣2，

解不等式

②

，得x＜1，

∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，

∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定得出△ABE与△CBF全等，进而利用全等

三角形的性质解答即可．

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【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，AB＝BC，∠A＝∠C，

又∵∠ABE＝∠CBF，

∴△ABE≌△CBF（ASA），

∴AE＝CF，

∴AD﹣AE＝CD﹣CF，

∴DE＝DF．

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据ASA得出△ABE与△CBF全等解答．

22．【分析】（1）由总组人数减去其他组人数即可求解；

（2）利用360°×E组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；

（3）根据众数，中位数的定义求解即可；

（4）2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解．

【解答】解：（1）方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据有17个，

∴a＝50﹣14﹣17﹣10＝9，

故答案为：9；

（2）360°×＝72°，

故答案为：72；

（3）将方便筷使用数量在10≤x＜15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，

12，12，12，13，

由上述数据可得C组数据的众数是12，

B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，

∴第25，26个数均为10，

∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是＝10．

故答案为：12，10；

（4）2000×＝760（人），

答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．

【点评】本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计

图，利用部分与总体之间的关系进行求解．

23．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC∥DE，根据平行线

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的性质得到∠DAB＝∠AOC，根据圆周角定理证明结论；

（2）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股

定理求出AB，得到答案．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵EC是⊙O的切线，

∴OC⊥CE，

∵DE⊥CE，

∴OC∥DE，

∴∠DAB＝∠AOC，

由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，

∴∠DAB＝2∠ABC；

（2）解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，

∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，即＝，

∵BC＝4，

∴AC＝2，

由勾股定理得：AB＝＝＝2，

∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线

垂直于经过切点的半径是解题的关键．

24．【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种

粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子

的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；

（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，由题意：总金额不超过1150

元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，

第11页（共18页）

依题意得：﹣＝50，

解得：x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解，

则2x＝8，

答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．

（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，

依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，

解得：m≤87.5，

答：最多购进87个甲种粽子．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式．

25．【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，可求得A（﹣2，﹣3），

即可求得k＝6，解方程组，即可求出点B的坐标；

（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利

用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y

轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；

（3）分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点P

1

的坐标为（a，0），过点B作

BE⊥x轴于点E，通过△OBE∽△OP

1

B，建立方程求解即可；

②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P

2

的坐标为（0，b），

利用△BON∽△P

2

OB，建立方程求解即可．

【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，

得﹣3＝m，

解得：m＝﹣2，

∴A（﹣2，﹣3），

∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，

第12页（共18页）

∴反比例函数解析式为y＝，

由，得或，

∴点B的坐标为（2，3）；

（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，

∴BE∥CF，

∴△DCF∽△DBE，

∴＝，

∵BC＝2CD，BE＝3，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝1，

∴C（6，1），

作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，

则B′C即为BG+GC的最小值，

∵B′（﹣2，3），C（6，1），

∴B′C＝＝2，

∴BG+GC＝B′C＝2；

（3）存在．理由如下：

①当点P在x轴上时，如图2，设点P

1

的坐标为（a，0），

过点B作BE⊥x轴于点E，

∵∠OEB＝∠OBP

1

＝90°，∠BOE＝∠P

1

OB，

∴△OBE∽△OP

1

B，

∴＝，

∵B（2，3），

∴OB＝＝，

第13页（共18页）

∴＝，

∴a＝，

∴点P

1

的坐标为（，0）；

②

当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，

设点P

2

的坐标为（0，b），

∵∠ONB＝∠P

2

BO＝90°，∠BON＝∠P

2

OB，

∴△BON∽△P

2

OB，

∴＝，即＝，

∴b＝，

∴点P

2

的坐标为（0，）；

综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．

【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短

问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最

短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．

26．【分析】（1）根据题意得BD＝DE＝EC＝BC，进而可得△ABC∽△FEC，得出＝

＝，由BC＝AC，推出＝，即可得出答案；

（2）

①

由△CEF是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，可得△CAF∽△CBE，

推出＝仍然成立；

②如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BD＝BC，进而得出△BDG∽

△BCF，推出AF＝BE＝BG＝CF＝CE，再由△CAF∽△CBE，推出∠CAF＝∠

ACE，可得AF∥CE，利用平行四边形的判定即可得出答案．

【解答】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，

∵BD＝BC，

∴DE＝BD＝BC，

第14页（共18页）

∴BD＝DE＝EC，

∵△CEF是等腰直角三角形，

∴∠CFE＝∠BAC＝90°，

∵∠ECF＝∠BCA＝45°，

∴△ABC∽△FEC，

∴＝＝，

∴＝＝，

∵BC＝AC，

∴＝＝，

∴＝，即＝＝，

∴＝•＝×＝；

（2）

①

＝仍然成立.

理由如下：

如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，＝，

∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠BCA＝45°，＝，

∴∠ECF＝∠BCA，＝，

∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，

∴∠ACF＝∠BCE，

∵＝，

∴△CAF∽△CBE，

∴＝＝，

∴＝仍然成立．

②

四边形AECF是平行四边形．

理由如下：

第15页（共18页）

如图3，过点D作DG⊥BF于点G，

由旋转得：DE＝BD＝BC，

∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，

∴△BDG∽△BCF，

∴＝＝＝，

∵BD＝DE，DG⊥BE，

∴BG＝EG，

∴BG＝EG＝EF，

∵EF＝CF，

∴CF＝BG＝BF，

由

①

知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，

∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，

∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，

∴∠CBE＝∠ACE，

∴∠CAF＝∠ACE，

∴AF∥CE，

∵AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判

定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质

及等腰直角三角形性质是解题关键．

27．【分析】（1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点

坐标；

（2）利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直

线CD的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；

（3）由（2）中的条件求得线段CP，AB的长；由已知判定出△EPC∽△FEA，得出比例

式，设AF＝x，AE＝y，

第16页（共18页）

利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax

2+bx+3得：

，

解得：．

∴抛物线的表达式为y＝﹣x

2+2x+3．

∵y＝﹣x

2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点C（1，4）．

（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵A（﹣1，0），C（1，4），

∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．

∴OA＝OE，AC＝＝2．

∵FO⊥AB，CE⊥AB，

∴FO∥CE，

∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．

∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，

∴DF⊥AC．

∵FO⊥AD，

∴△AFO∽△FDO．

∴．

∴．

∴OD＝4．

∴D（4，0）．

设直线CD的解析式为y＝kx+m，

∴，

解得：．

第17页（共18页）

∴直线CD的解析式为y＝﹣．

∴，

解得：，．

∴P（）．

（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，

∵OD＝4，

∴HD＝OD﹣OH＝，

∴PD＝＝．

∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．

由（2）知：AC＝2．

设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠C．

∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，

∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，

又∵∠PEF＝∠CAB，

∴∠CEP＝∠AFE．

∴△CEP∽△AFE．

∴．

∴．

∴x＝﹣+y＝﹣+．

第18页（共18页）

∴当y＝时，x即AF有最大值．

∵OA＝1，

∴OF的最大值为﹣1＝．

∵点F在线段AD上，

∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．

【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配

方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特

征，二元方程组的解法，勾股定理，三角形相似的判定与性质，函数极值的确定．利用

点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．