皮尔斯 摩根

符号的逻辑数理逻辑

逻辑是探究、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学

者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就

叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。

数理逻辑的产生

利用运算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种方法早在十

七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经射向果能不能制造一种“通用的科

学语言”，能够把推理过程象数学一样利用公式来进行运算，从而得出正确

的结论。由于当时的社会条件，他的方法并没有实现。然而它的思想却是

现代数理逻辑部分内容的萌芽，从那个意义上讲，莱布尼茨的思想能够说

是数理逻辑的先驱。

1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代

数”，并制造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立

了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻

辑的基础。

十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的进展，1884年，德国

数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得

数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出奉献的，还有美国人

皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最差不多的

理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。

数理逻辑的内容

数理逻辑包括哪些内容呢？那个地点我们先介绍它的两个最差不多的

也是最重要的组成部分，确实是“命题演算”和“谓词演算”。

命题演确实是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命

题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判定它是真依旧假

的句子。

假如我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，

而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，

那么由简单命题组成复和命题的过程，就能够当作逻辑运算的过程，也确

实是命题的演算。

如此的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算

规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、

吸取律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们

能够进行逻辑推理，能够简化复和命题，能够推证两个复合命题是不是等

价，也确实是它们的真值表是不是完全相同等等。

命题演算的一个具体模型确实是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，

它的差不多运确实是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也确实是命题演算中的

“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”

和“假”。

逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导

电和截至等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析

中得到广泛的应用。

利用电子元件能够组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，确

实是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，如此任何复杂

的逻辑关系都能够有逻辑元件通过适当的组合来实现，从而使电子元件具

有逻辑判定的功能。因此，在自动操纵方面有重要的应用。

谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分

析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命

题，然后研究如此的命题之间的逻辑推理关系。

命题涵项确实是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是

指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范畴内的任何一

个，那个范畴叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和

假。假如以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为确实或假的命

题了。

命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特

称命题了。

数理逻辑的进展

数理逻辑这门学科建立以后，进展比较迅速，促进它进展的因素也是

多方面的。比如，非欧几何的建立，促进人们去研究非欧几何和欧氏几何

的无矛盾性，就促进了数理逻辑的进展。

集合论的产生是近代数学进展的重大事件，然而在集合论的研究过程

中，显现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发觉了集

合论的悖论引起。什么是悖论呢？悖论确实是逻辑矛盾。集合论本来是论

证专门严格的一个分支，被公认为是数学的基础。

1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提

出了以他名字命名的“罗素悖论”，那个悖论的提出几乎坚决了整个数学基

础。

罗素悖论中有许多例子，其中一个专门通俗也专门有名的例子确实是

“理发师悖论”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子

的人刮胡子。那么就产生了一个问题：理发师怎么说给不给自己刮胡子？

假如他给自己刮胡子，他确实是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不

该给自己刮胡子；假如他不给自己刮胡子，那么他确实是不自己刮胡子的

人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产

生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。

非欧几何的产生和集合论的悖论的发觉，说明数学本身还存在许多问

题，为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命

题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，如此

又产生了数理逻辑的另一个分支—证明论。

数理逻辑新近还进展了许多新的分支，如递归论、模型论等。第归论

要紧研究可运算性的理论，他和运算机的进展和应用有紧密的关系。模型

论要紧是研究形式系统和数学模型之间的关系。

数理逻辑近年来进展专门迅速，要紧缘故是这门学科关于数学其它分

支如集合论、数论、代数、拓扑学等的进展有重大的阻碍，专门是对新近

形成的运算机科学的进展起了推动作用。反过来，其他学科的进展也推动

了数理逻辑的进展。

正因为它是以门新近兴起而又进展专门快的学科，因此它本身也存在

许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题，

进行研究解决。

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记

几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹

经纶的文人。什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业

生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19

78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平

低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年

的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪

事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。专门是写议论文,初中水平以上

的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差

不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

明白“是如此”,确实是讲不出“什么缘故”。全然缘故依旧无“米”下“锅”。

因此便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事

例,不参考作文书就专门难写出像样的文章。因此,词汇贫乏、内容空泛、千

篇一律便成了中学生作文的通病。要解决那个问题,不能单在布局谋篇等写

作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积存足够的“米”。

语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名

篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学

生的水平会大有裨益。现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离

破裂,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,

学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。造成这种事倍功半的尴尬局面的

关键确实是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、

有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、

分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够

在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技

巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地

加以运用、制造和进展。

总之，这门学科的重要性差不多十分明显，他差不多引起了更多人的

关怀和重视。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学

生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的

真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点

评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学

生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多

鸟”的成效。