指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案

2.1.2 指数函数及其性质(三)

(一)教学目标

1.知识与技能：

(1)熟练掌握指数函数概念、图象、性质;

(2)掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调

性、奇偶性判断;

(3)培养学生数学应用意识

2.过程与方法：

(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理;

(2)培养学生观察问题，分析问题的能力.

3.情感、态度与价值观

(1) 认识从特殊到一般的研究方法.

(2) 了解数学在生产实际中的应用.

(二)教学重点、难点

1.教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用.

2.教学难点：判断单调性.

(三)教学方法

启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复

合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生

总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.

(四)教学过程

教学

环节

教学内容 师生互动 设计意图

复习

引入

回顾

1.指数函数的定义、图象、性质.

2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.

3. 复合函数单调性的判定方法.

老师提问

学生回答

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，

函数u=g(x)的值域应是函数y=f(u)的定义域的子集.在复合函

数y=f[g(x)]中，x是自变量，u是中间变量.当u=g(x)和

y=f(u)在给定区间上增减性相同时，复合函数

y=f[g(x)]是增函数;增减性相反时，y=f[g(x)]是减函数.

为学习新课作好了知识上的准备.

应用

举例

例1 当a>1时，判断函数y= 是奇函数.

例2 求函数y=( ) 的单调区间，并证明之.

课堂练习

1. 求函数y=3 的单调区间和值域.

2. 设a是实数，

试证明对于任意a, 为增函数;

例1

师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性?

(生口答，师生共同归纳总结)

方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：

(1)求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.

(2)若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.

(3)若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论

f(-x)和f(x)之间的关系.

若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是定义域上的偶函数;若f(-

x)=-f(x)，则函数f(x)是定义域上的奇函数;若f(-x)=f(x)且

f(-x)=-f(x)，则函数f(x)在定义域上既是奇函数又是偶函数.

师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.

(生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解

答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范

学生的解题)

3.1.2指数函数及其性质教学设计

辽宁省营口开发区熊岳高中 丁薇

一、教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象

和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建

构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生

发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学

的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好

习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在

学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进

行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它既

是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基

础;同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应

重点研究。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数

函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样

的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

三、学情分析：

学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重

要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函

数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图

象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握

函数的学生来说，学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题

有一定的能力。通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节

课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，

思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有

主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心，富有激

情、思维活跃。

四、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人

教B版)第二章第一节第二课(3.1.2)《指数函数及其性质》。

根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》

划分为两节课(探究图象及其性质，指数函数及其性质的应

用)，这是第一节课“探究图象及其性质”。 指数函数是重要

的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数

函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应

用，所以指数函数应重点研究。

函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破

这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直

观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问

题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数

的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学

习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观

性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生

从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并

通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,

以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

五、教学过程：

(一)创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成

4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数

y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关

系式吗?

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y=2x 。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一

年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间

(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x

表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y=0.84x 。

(二)导入新课

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变

量。

设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体

会到数学来源于生产生活实际。函数y=2x、y=0.84x 分别以

0或a>1的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出

指数函数定义作铺垫。

(三)新课讲授

1.指数函数的定义

一般地，函数

叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

的含义：

设计意图：为按

两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，

引导学生用区间表示：(0，1)∪(1，+∞)

问题：指数函数定义中，为什么规定“

”如果不这样规定会出现什么情况?

设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0

且不等于1呢?这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生

自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣

的目的。

对于底数的分类，可将问题分解为：

(1)若a<0会有什么问题?(如

，

则在实数范围内相应的函数值不存在)

(2)若a=0会有什么问题?(对于

，

都无意义)

(3)若 a=1又会怎么样?(1x无论x取何值,它总是1,对它

没有研究的必要.)

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且

.

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指

数函数的定义域是R;并为学习对数函数，认识指数与对数函

数关系打基础。

教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形

式上一模一样才行,然后把问题引向深入。

1：指出下列函数那些是指数函数：

2：若函数

是指数函数，则a=------

3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的

解析式。

设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理

解。

2.指数函数的图像及性质

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤：列表、描点、连线

思考如何列表取值?

教师与学生共同作出

图像。

设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的

图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a对于函数值

变化的影响。对于

时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学

中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板

演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何

画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为

以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

利用几何画板演示函数

的图象，观察分析图像的共同特征。由特殊到一般,得出

指数函数

的图象特征,进一步得出图象性质：

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的

积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性

质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。

师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

特别地，函数值的分布情况如下：

设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，

并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情

况。

(四)巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方

法。

(1)(2)两题底相同，指数不同，(3)(4)两题可化为同底

的，可以利用函数的单调性比较大小。

(5)题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大

小。

(6)题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。

例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题

过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

(五)课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识?

你又掌握了哪些数学思想方法?

你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗?

设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化

本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

(六)布置作业

1、练习B组第2题;习题3-1A组第3题

思考题

2、A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任

务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先

生4元,第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定

15天的合同,你同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你

能签这个合同吗?

3、观察指数函数

的图象，比较a,b,c,d,的大小。

设计意图：课后思考的安排，激发学生的学习兴趣，主要

为学有余力的学生准备的。并为下一节课讲授指数函数图像随

底数a变化规律作铺垫。

板书设计：