换元法（解数学题方法）

换元法（解数学题方法）

换元法 （解数学题方法） 次浏览 | 2022.08.19 11:28:18 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 换元法解数学题方法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非标准型问题标准化等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用，是高考数学常备方法。本文仅从两个方面，以求解导数问题为例，说明换元法在优化解题过程或寻求解题途径中的作用。

中文名

换元法

别 名

变量代换法

性 质

科学

类 别

数学

概述

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

分类

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

换元的种类有：等参量换元、非等量换元

局部

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4+2－2≥0，先变形为设2=t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sinα，sinα∈[-1,1]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x^2+y^2=r^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值

如遇到x+y=2S形式时，设x=S+t，y=S－t等等。

例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值

可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.

等量

设x+y=3设x=t+2，y=v-3在二重积分中用到

非等量

设u=（x+y）+3（x+y）设x+y=S，也叫整体换元法

应用技巧

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。

你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，计算就出来啦

使用方法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

相关公式

注意:换元后勿忘还元.　例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

参考资料