２０１２年第１期 数学教学 １ ２１
①
０
ｎ
１１ ＋
②
０
他
１＋
一道“卓越联盟＂自主招生试题的赏析与探究
７２１００６陕西省宝鸡市姜城中学康海明
一
０
ｎ
一
０
ｎ
＋
２
＋
２
＝ Ｉ ｌ
‰
２ ＋ ０ ｎ
卓越联盟（指由北京理工大学、大连理工大
一 Ｈ
学、东南大学、哈尔滨工业大学、湖南大学、华 解：（２）由（１）知，６ｎ＝（一 ） 一 ・６ ，
‰ 一，
南理工大学、天津大学、同济大学、西北工业大
且 ｎ ＋ 一。 ＝
学、重庆大学１０所工科高校组成的高校合作联 （一 ）”一 ｃ６一。 ．
盟）２０１１年自主招生数学第１１题是：
．
￣ａ２－－ａｌ￣
设数列｛０ｎ】．满足ａｌ＝ａ，ａ２＝ｂ，２ａｎ＋２：
（一￣／１－１ ｃ６ ，
ａｎ＋１＋ａｎ．
。。一ｎ ＝
（１）设ｂ ＝ａｎ＋ｌ—ａｎ，证明：若ａ≠ｂ，则
（一 ） 一 ｃ６一。，，
ｆ６ｎ｝是等比数列；
（２）若ｌｉａｒ（ａｌ＋ａ２＋・・・＋ａｎ）＝４， 求 ａｎ＋ｌ－－ａｎ（一 ｃｂ ．
ａ，ｂ的值．
一
、试题赏析
１．试题分析 ｎｎ＋１一ａｌ＝（ｂ—ａ）
此类问题求解的关键是由二阶线性递推关
系ａｎ＋２＝／（ａ ＋ｌ，ａ札）求其通项．本题中连续三
项之间的关系：２ａｎ＋２＝ａ ＋１＋ａ佗，其几何意义 ｎ ＋ ＝。＋詈（ｂ－ａ）
是：ａ ＋２是数轴上两端点坐标为ａ 和ａｎ＋１的线
段中点的坐标（如图１）．由图１不难看出： ＝。＋詈（ｂ－ａ）
ａｎ ａｎ＋２ ａｎ＋１
’
．．ａｌ＋ａ２＋…＋ａ
图１
ｎａ＋ （ｂ－ａ）
（一 ）”
ｌ—Ｉ一 ｌ
（ 口ｎ＋２＋吉口ｎ＋ｌ＝ａｎ＋１＋专ｎｎ， ＝ 。＋詈 ０＋丢Ｕ （（一０ｂ一。）礼 一 （ｂ－ａ）
④２（ａ竹＋２一ａｎ＋１）＝－（ａｎ＋１一ａｎ）．
在本题中ａ＝０，ｂ＝ａ时，即为２００２年北京 ＋鲁ｃ６一ｎ （一丢） ．
春季高考第２２题．
由佗ｌ
佗
—ｉ ａｒ＋。
。。
。 （ｎ１＋…＋。ｎ）＝４，得ｎ＋詈（ｑ
２．试题解决 １）
６一
解法一：证：（１）由２０ｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ
。）＝０，一鲁（６一。）＝４，
得２（ａｎ＋２一ｎ ＋１）＝－（ａ ＋１—０忆）， 。
．．ａ＝６．ｂ＝－３．
令ｂ ＝ａｎ＋１—０ ，贝０ ｂｎ＋１＝一去６ ． 解法－－：（１）略；（２）由试题分析可知：
ｎ时 ＋ １
。ｎ）是首项为ｂ一０，公比为一去的等比数
ｎ ＋ ＝ｎｎ＋ ＋ 。ｎ，
．．｛６
Ｉ． 即 。 ＋ ＋ １ ｎ ）为常数列．
ｎ
０
、ｌ，
ｉ－２２ 数学教学 ２０１２年第１期
・ａｎ＋ｌ＋ １０＋２６
．．。 ＝
２
’
．＋ 一 ＝一 １（。
ａ丁＋２ｂ ）是以ｎ 一 ３
＝ 为首项，公比为一 １的等比数列
． （一 ｌ＋ ｃ以下
发展１设数列｛ｎｎ｝满足０１＝ ，０２＝ｂ，
２ａｎ＋２＝＝：ｎｎ＋１＋０ｎ，ｃｎ＝０礼＋１＋去０ｎ．求证：
｛ｃ ）为常数列．
发展２设数列｛ｎ ）满足０１＝０，０２＝ｂ，
２ａｎ＋２＝０ｎ＋１＋０ｎ，ｄｎ＝０ｎ～—ａ ＋
２ｂ
－一
．求证：
｛ 】．为等比数列．
发展３设数列｛倪 ）满足ｎ１＝０，ｎ２＝ｂ，
２０ｎ－ｔ－２＝ｎｎ＋１＋０ｎ， ＝２ｎ＋１ａｎ＋１＋２ｈａ
ｎ．求
证：｛，ｎ｝为等比数列．
发展４设数列＿［０ 满足ｎ１＝０，０２＝ｂ
（０＜６），２ａｎ＋２＝０ｎ＋１＋ａ札．求证：ｎ２札＋１＜
０２ｎ＜ｎ２ｎ一２．
发展５设数列｛ｎ ）．满足ｎ１＝０，０２＝ｂ
（ｎ＜６），２ａ ＋２＝０ ＋１＋０ｎ．求证：数列｛ｎ２ ～１）
单调递增．
发展６设数列｛口礼｝满足以１＝ｎ，ｎ２＝６
（０＜６），２ａｎ＋２＝０ｎ＋１＋０ｎ．求证：数列｛ｎ２ｎ］．
单调递减．
二、试题探究
一般的二阶线性递推数列倪 ：ｐａ 一ｌ＋
ｑａ 一２（ｑ≠０，礼＝３，４……）（木），称一元二
次方程 ＝ｐｘ＋ｇ为（术）式的特征方程．
（１）若特征方程有两个不同的根 １、Ｘ２（ １
≠ｘ２），由韦达定理 １＋Ｘ２＝Ｐ，ＸｌＸ２＝一ｇ．
‘
．．（术）式可记为
０ｎ＝（Ｘｌ＋ｚ２）ａｎ一１一ＸｌＸ２ＣＬｎ一２．