自然坐标系

::矢径::...

选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作

矢量，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。

::运动方程::...

当动点M运动时，矢径随时间而变化，并且是时间的单值

连续函数，即=(t)。

上式称为以矢量表示的点的运动方程。

::轨迹::...

动点M在运动过程中，其矢径的末端描绘出一条连续曲

线，称为矢端曲线。显然，矢径的矢端曲线就是动点M的

运动轨迹，如图所示。

::速度::...

动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数，即：。

动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的

切线，并与此点运动的方向一致。

::加速度::...

点的速度矢对时间的变化率称为加速度。动点的加速度矢等于该点

的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即：

为方便起见，记为

如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢

，„等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M，

，„，就构成了矢量端点的连续曲线，称为速度矢端

曲线，如下图所示。动点的加速度矢的方向与速度矢端曲线在

相应点M的切线相平行。

::运动方程::...

取一固定的直角坐标系Oxyz，如下图所示。

由于原点与直角坐标系的原点重合，因此有如下关系

式中分别为沿三个定坐标轴的单位矢量。由于

是时间的单值连续函数，因此x，y，z也是时间的单值

连续函数，即：

这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。

当点在某一平面运动时，运动方程为：

::轨迹::...

将运动方程中的时间t消去，可以得到点的轨迹方程。对于平面

问题有：

f（x，y）=0

::速度::...

有

结论：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的

一阶导数。

::加速度::...

结论：加速度在直角坐标轴上的投影等于动点各对应坐标对时间

的二阶导数。

::例一::...

已知：椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB

中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中

运动，如图所示。OC=AC=BC=l，MC=α，φ=ωt。

试求：规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。

::例一答案::...

解：取坐标系Oxy如图所示，点M的运动方程为

消去时间t得轨迹方程

将点的坐标对时间取一阶导数，得

故点M的速度大小为

其方向余弦为

点的坐标对时间取二阶导数，得

故点M的加速度大小为

其方向余弦为:

::例二::...

已知：正弦机构如下图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，

它与水平线间的夹角为φ=ωt+θ，其中θ为t=0时的夹角，

ω为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。

试求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。

::例二答案::...

解：取Ox轴如图所示。A，B两点的坐标分别为

A，B两点沿Ox轴的运动方程

工程中，为了使点的运动情况一目了然，常常将点的坐标与时间的

函数关系绘成图线，一般取横轴为时间，纵轴为点的坐标，绘出的

图线称为运动图线。下图中的曲线分别为A，B两点的运动图

线。

当点作直线往复运动，并且运动方程可写成时间的正弦函数或余弦

函数时，这种运动称为直线谐振动。往复运动的中心称为振动

中心。动点偏离振动中心最远的距离r称为振幅。用来确定动

点位置的角φ=ωt+θ称为位相，用来确定动点初始位置的角

θ称为初位相。动点往复一次所需的时间T称为振动的周

期。由于时间经过一个周期，位相应增加2π即

故得

周期T的倒数称为频率，表示每秒振动的次数，其单位

为l/s，或称为赫弦(Hz)。ω称为振动的圆频率，因为

所以圆频率表示在2π秒内振动的次数。

将点B的运动方程对时间取一阶导数即得点B的速度

点B的加速度为

从上式看出，谐振动的特征之一是加速度的大小与动点的位移成

正比，而方向相反。

为了形象地表示动点的速度和加速度随时间变化的规律，将v和

a随t变化的函数关系画成曲线，这些曲线分别称为速度图线和

加速度图线。在图中，表示出谐振动的运动图线、速度图线和加

速度图线。从图中可知，动点在振动中心时，速度值最大，加速

度值为零；在两端位置时，加速度值最大，速度值为零；又知，点

从振动中心向两端运动是减速运动，而从两端回到中心的运动是加

速运动。

::例三::...

已知：如图所示，当液压减震器工作时，它的活塞在套筒内作直线

往复运动。设活塞的加速度a=-kv(v为活塞的速度，k为比例

常数)，初速为。

试求：活塞的运动规律。

::例三答案::...

解：活塞作直线运动。取坐标轴Ox如图所示。

因

代入已知条件，得

将变量分离后积分，

得

解得

又因

对上式积分，即

解得

::概念::...

利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述

和分析点的运动的方法称为自然法。

::弧坐标::...

设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可

以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧

为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长s为代数量，

称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着

时间变化，它是时间的单值连续函数，即

s=f(t)

上式称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程。

如果已知点的运动方程，可以确定任一瞬时点的弧坐标s的值，

也就确定了该瞬时动点在轨迹上的位置。

::自然轴系::...

密切面：在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和，其

间的弧长为Δs，这两点切线的单位矢量分别为和，其指向与

弧坐标正向一致，如图所示。将平移至点M，则和决定一

平面。令无限趋近点M，则此平面趋近于某一极限位置，此极

限平面称为曲线在点M的密切面。

法平面：过点M并与切线垂直的平面称为法平面。

主法线：法平面与密切面的交线称为主法线。其单位矢量为，

指向曲线内凹一侧。

副法线：过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，其单

位矢量为，指向与、构成右手系。

自然轴系：以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组

成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自

然轴。注意，随着点M在轨迹上运动，、、的方向也在不断

变动；自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系。

曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲率。

曲率半径：曲率的倒数称为曲率半径。

在曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数，它表

示曲线的弯曲程度。如点M沿轨迹经过弧长Δs到达点M′，

如下图所示。设点M处曲线切向单位矢量为，点M′处单位矢

量为′，而切线经过Δs时转过的角度为Δφ。如曲率半径以

ρ表示，则有

::点的速度::...

点沿轨迹由M到M′，经过Δt时间，其有增量，如图所

示。当Δt→0时，，故有

式中s是动点在轨迹曲线上的弧坐标。

结论：速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。

弧坐标对时间的导数是一个代数量，以v表示

如，则点沿轨迹的正向运动；如，则点沿轨迹的负向运

动。因此点的速度矢可写为

::切向加速度::...

切向加速度反映速度大小的变化，以表示，有

显然是一个沿轨迹切线的矢量。如，指向轨迹的正向；如

，指向轨迹的负向。令

是一个代数量，是加速度沿轨迹切向的投影。

结论：切向加速度反映点的速度值对时间的变化率，它的代数值

等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导

数，它的方向沿轨迹切线。

当速度与切向加速度的指向相同时，即与的符号相同时，

点作加速运动；反之点作减速运动。

::法向加速度::...

法向加速度反映速度方向的变化，以表示，有

证明：

参看图：

有

当Δs→0时，Δφ→0，Δ与垂直，且有││=1，

由此可得

Δτ＝Δφ

注意到Δs为正时，点沿切向的正方向运动，Δ指向轨迹外凹

一侧；Δs为负时，Δ指向轨迹外凸一侧。因此有

又有

所以结论成立。

结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小

等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率

中心。

::全加速度::...

由于均在密切面内，因此全加速度也在密切面内。这表明

加速度沿副法线上的分量为零，有

全加速度的大小可由下式求出

它与法线间的夹角的正切为

::两种特殊运动::...

曲线匀速运动动点速度的代数值保持不变，这种运动称为曲线匀

速运动。有

注意：在曲线运动中，除v=0的瞬时外，点的法向加速度总不

等于零。直线运动为曲线运动的一种特殊情况，曲率半径ρ→∞，

任何瞬时点的法向加速度始终为零。

曲线匀变速运动动点的切向加速度的代数值保持不变，这种运动

称为曲线匀变速运动。有

式中是在t=0时点的速度和弧坐标。

::例一::...

已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速

度为零，经过2min后，速度达到54km/h。

试求：起点和末点的加速度。

::例一答案::...

解：由于列车沿圆弧轨道作匀加速运动，于是有

常量

积分一次，得

当t=2min=120s时，v=54km/h=l5m/s，代人上式，求得

在起点，v=0，因此法向加速度等于零，列车只有切向加速度

在末点时，既有切向加速度，又有法向加速度

末点的全加速度大小为

末点的全加速度与法向的夹角θ为

::例二::...

已知：点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z＝

4tm。

试求：点运动轨迹的曲率半径ρ。

::例二答案::...

解：点的速度和加速度沿x，y，z轴的投影分别为

点的速度和全加速度大小为

点的切向加速度与法向加速度大小为

由于

因此

ρ=2.5m

这是在半径为2m的圆柱面上的匀速螺旋线运动。

::例三::...

已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动(称为纯滚

动)，设轮子转角φ=ωt(ω为常值)，如下图所示。

试求：用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，

并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。

::例三答案::...

解：取点M与直线轨道的接触点O为原点，建立直角坐标系

Oxy。当轮子转过φ角时，轮子与直线轨道的接触点为C。由

于是纯滚动，有

则用直角坐标表示的M点的运动方程为

对时间求导，即得M点的速度沿坐标轴的投影

M点的速度为

M点的运动轨迹是摆线。

取M点的起始点O作为弧坐标原点，将速度v积分，即得用弧

坐标表示的运动方程

加速度在直角坐标系上的投影为

由此得到全加速度

而M点的切向加速度

法向加速度为

得轨迹的曲率半径

由上面计算可知：当t=2π/ω时，φ=2π，这时M点运动

到与地面相接触的位置。此时M点的速度为零，这表明沿地面作

纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零。另一方面，由于M点全

加速度的大小恒为，因此纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽

然为零，但加速度却不为零。此时有

即接触点的加速度方向向上。

::矢径::...

设柱坐标的单位矢量为，和，三个矢量相互垂直，组

成右手坐标系，其中沿z轴正向，和指向ρ和φ

增大的方向，如图所示。

动点M的矢径可用柱坐标表示，即

::速度::...

点M的速度为

因为为恒矢量有

由于

其中

当Δt→0时，，与垂直，指向旋转的方向，即

的方向。因此

结论：单位矢量对时间的一次导数是在旋转平面内的另一矢量，它

的大小等于矢量的转角对时间的一阶导数的绝对值，它的方向与原

矢量垂直，指向旋转方向。

于是，点M的速度为

点的速度在柱坐标中的投影为:

::加速度::...

其中

点的加速度为

点加速度在柱坐标中的投影为：

::例一::...

已知：如图所示，凸轮绕O轴匀速转动，使杆AB上升。

试求：欲使杆AB匀速上升，凸轮上的CD段轮廓线应是什么曲线?

::例一答案::...

解：以凸轮为参考系，取极坐标，研究杆上点A的运动。

根据题意有：

（常数），（常数）

将上式对时间积分一次，并设点C为动点A在t=0时的初始位置，于

是得以极坐标表示的点A相对于凸轮的运动方程：

消去时间t，得点A在凸轮上的轨迹方程

上式为阿基米德螺旋线。

::矢径::...

球坐标的单位矢量为，，，三个矢量相互垂直形成右手坐标系，

其中沿矢径的方向，和分别指向角θ和φ增大的方向，如

下图所示。

用球坐标表示的矢径为

::速度::...

因为

则

所以

点的速度在球坐标中的投影为

::加速度::...

仿照上述推导过程，得点的加速度在球坐标中的投影为

返回

::观察物体的运动必须相对于某一参考体::...

::点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间的变化规

律。一个点相对于同一个参考体，若采用不同的坐标系，将有

不同运动形式的运动方程::...

·矢量形式：

·直角坐标形式：

·弧坐标形式：

·极坐标形式：

::轨迹方程::...

轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线,轨迹方程

可以通过运动方程消去时间t得到。

::点的速度和加速度都是矢量::...

?直角坐标轴上的分量

?自然坐标轴上的分量

?极坐标轴上的分量

::点的加速度反映速度大小的变化::...

点的切向加速度只反映速度大小的变化，法向加速度只反映

速度方向的变化。当点的速度与切向加速度方向相同时，点

作加速运动；反之，点作减速运动。

::几种特殊运动的特点::...

?直线运动

?圆周运动ρ=常数

?匀速运动v=常数，

?匀变速运动常数，

返回

1.和，和是否相同?

提示或解答

提示

表示的是点的全加速度，表示的是点的加速度的大

小；表示的是点的速度，表示的是速度在柱坐标

或球坐标中沿矢径方向的投影。

2.点沿曲线运动，如图所示各点所给出的速度v和加速

度a哪些是可能的？哪些是不可能的？试就以下三种

情况画出加速度的大致方向:

提示或解答

答案

图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下，点C，

E，F，G的加速度为不可能，点A，B，D的加

速度为可能。

3.点M沿螺线自外向内运动，如图所示。它走过的弧

长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，

还是越来越小?点M越跑越快，还是越跑越慢？

提示或解答

提示

根据点M运动的弧坐标表达式，对时间求导可知其速度

大小为常数，切向加速度为零，法向加速度为。由此

可知点M的加速度越来越大，点M跑得既不快，也不

慢，即点M作匀速曲线运动。

4.当点作曲线运动时，点的加速度是恒矢量，如图所

示。问点是否作匀变速运动?

提示或解答

提示

点作曲线运动时，点的加速度是恒矢量，但点的切向加

速度的大小不一定不变，所以点不一定作匀变速运动。

5.作曲线运动的两个动点，初速度相同、运动轨迹相同、

运动中两点的法向加速度也相同。判断下述说法是否正

确：

（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同；

（2）任一瞬时两动点的速度必相同；

（3）两动点的运动方程必相同。

提示或解答

提示

既然作曲线运动的两个动点的初速度相同、运动轨迹相

同、法向加速度也相同，则曲线的曲率半径也相同，可

知上述结论均正确。

若两点作直线运动，法向加速度均为零，任一瞬时的切

向加速度不一定相同，从而速度和运动方程也不相同。

6.动点在平面内运动，已知其运动轨迹y=f(x)及其速

度在x轴方向的分量。判断下述说法是否正确：

（1）动点的速度可完全确定。

（2）动点的加速度在x轴方向的分量可完全确定。

（3）当时，一定能确定动点的速度、切向加

速度、法向加速度及全加速度。

提示或解答

提示

因为y=f(x)，则，在已知，且

及存在的情况下，可求出，由

，可求出，从而

，及可确定。在=0的情况下，点可

沿与y轴平行的直线运动，这时点的速度不能完全确

定。若不存在，则也不能确定。

在已知且有时间函数的情况下，可以确定。

关闭

7.下述各种情况下，动点的全加速度、切向加速度、

法向加速度三个矢量之间有何关系?

（1）沿曲线作匀速运动；

（2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零；

（3）点沿直线作变速运动；

（4）点沿曲线作变速运动。

提示或解答

提示与答案

?点沿曲线作匀速运动，其切向加速度为零，点的法向

加速度即为全加速度。

?点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零，则点的法向加

速度为零，点的切向加速度即为全加速度。

?点沿直线作变速运动，法向加速度为零，点的切向加

速度即为点的全加速度。

?点沿曲线作变速运动，三种加速度的关系为=+

。

关

8.点作曲线运动时，下述说法是否正确：

（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；

（2）若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动；

（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。

提示或解答

提示

切向加速度为正，速度方向如何？切向加速度方向与速

度方向是同向还是反向？点作匀速圆周运动时，速度是

否是常矢量？

9.在极坐标中，分别代表在极径方向及

与极径垂直方向(极角φ方向)的速度。但为什么沿

这两个方向的加速度为，试

分析中的和中出现的原因及它们的几何

意义。

提示或解答

提示

用极坐标描述点的运动，是把点的运动视为绕极径的转

动和沿极径运动的叠加，中的和中出现

的原因是这两种运动相互影响的结果。

返回

1.两个作曲线运动的点，初速度相同，任意时刻的加速

度大小也相同。问下述哪种说法正确：

A.任意时刻这两个点的速度大小相同。

B.任意时刻这两个点的法向加速度大小相同。

C.两点全加速度大小相同。

请选择：A│B│C

2.在平面内运动的点，若已知其速度在x轴和y轴上

的分量，问下述说法哪种正确：

A.点的切向加速度及法向加速度可完全确定。

B.点的运动轨迹可完全确定。

C.点的运动方程可完全确定。

请选择：A│B│C

3.判断下述说法哪种正确：

A.若=0，则必等于零。

B.若=0，则必等于零。

C.若与始终垂直，则不变。

D.若与平行，则点的轨迹必为直线。

请选择：A│B│C│D

4．一点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量

和加速度矢量的夹角为：

A.

B.

C.夹角随时间变化。

请选择：A│B│C

5.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是下述哪种情

况：

A.切向加速度矢为常矢量。

B.切向加速度大小为常量。

C.全加速度矢为常矢量。

D.全加速度大小为常量。

请选择：A│B│C│D

6.已知某点的运动方程为（s以米计，t

以秒计，a，b，c为常数），则点的轨迹是：

A.直线。

B.曲线。

C.不确定。

请选择：A│B│C

7.一点作曲线运动，开始时速度，某瞬时切

向加速度，则2s末该点的速度大小为：

A.4m/s

B.20m/s

C.6m/s

D.无法确定

请选择：A│B│C│D

8.点作直线运动，已知某瞬时加速度为

时速度为，则t＝2s时，

该点的速度大小为：

A.0

B.－4m/s

C.8m/s

D.无法确定

请选择：A│B│C│D

9.已知点沿x轴作直线运动，某瞬时速度为，

瞬时加速度为，则1s以后点的速度的大小

为：

A.等于零。

B.-2m/s

C.-4m/s

D.无法确定。

请选择：A│B│C│D

返回

1.已知：图示平面机构中杆长为OA=AB=200mm，CD=DE

=AC=AE=50mm。杆OA以等角速度ω=0.2πrad/s绕O轴

转动，并且当运动开始时，杆OA水平向右。

试求：点D的运动方程和轨迹。

提示或解答

提示

在图示坐标系下，设杆OA和水平方向的夹角为φ，且由题

意知φ=ωt，以此为参数，写出点D的直角坐标，即为点D

的运动方程，把参数φ消去，即得D点的轨迹方程。

答案

关闭

2.已知：滑块B沿水平线按规律s=a+bsinωt运动，杆AB长

为l，以匀角速度绕点B转动，其转动方程为φ=ωt，其中

a，b为常数。

试求：点A的轨迹。

提示或解答

提示

按图示坐标系写出点A的直角坐标，此即A点的运动方程，

从中消去时间t，即可得A点的轨迹方程。

答案

3.已知：半圆形凸轮以匀速=0.01m/s沿水平方向向左运动，

而使活塞杆AB沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A端

在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R=80mm。

试求：活塞B相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度。

提示或解答

提示与答案

提示

活塞B相对于地面沿铅直线运动，把坐标原点建于地面上，y

轴沿AB铅直向上，写出点B的坐标即为相对地面的运动方

程，求一阶导数即为相对地面的速度；在图示坐标系下写出点B

的坐标即为相对凸轮的运动方程，求一阶导数即为相对凸轮的

速度。

答案

4.已知：图示雷达在距离火箭发射台为l的O处观察铅直上

升的火箭发射，测得角θ的规律为θ=kt（k为常数）。

试求：火箭的运动方程并计算当和时，火箭的速度和加

速度。

提示或解答

提示与答案

提示

可从绳索的总长度上去考虑，原来缠绕在轮O上的绳索加上

OB间的绳索，再加上新缠绕在轮上的绳索与AB间的绳索，

应等于绳索的总长度，为一常数，应有=常数。或

设开始时，绳上C点位于B处，在瞬时t到达图示位置，也

应有AB+BC==常数。把此式对时间求一阶和两阶

导数即可得套管A的速度和加速度。

答案

5.已知：套管A由绕过定滑轮B的绳索牵引而上升，滑轮中

心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速拉下，忽略

滑轮尺寸。

试求：套管A的速度和加速度与距离x的关系式。

提示或解答

提示

可从绳索的总长度上去考虑，原来缠绕在轮O上的绳索加上

OB间的绳索，再加上新缠绕在轮上的绳索与AB间的绳索，

应等于绳索的总长度，为一常数，应有=常数。或

设开始时，绳上C点位于B处，在瞬时t到达图示位置，也

应有AB+BC==常数。把此式对时间求一阶和两阶

导数即可得套管A的速度和加速度。

答案

6.已知：如图所示，偏心凸轮半径为R，绕O轴转动，转角

φ=ωt(ω为常量)，偏心距OC=e，凸轮带动顶杆AB沿

铅垂直线作往复运动。

试求：顶杆的运动方程和速度。

提示或解答

提示

以图示O处为坐标原点，y轴铅直向上，杆AB为平移，杆

上任意一点的运动情况完全相同，如写出点A的坐标，此即为

顶杆AB的运动方程，对时间求一阶导数，即为顶杆AB的速

度。

答案

7.已知：图示摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽

BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半径为R，摇杆OA

的轴O在弧BC的圆周上。摇杆绕O轴以等角速度ω转动，

当运动开始时，摇杆在水平位置。

试求：分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求

其速度和加速度。

提示或解答

提示

把直角坐标系的坐标原点建于O处，水平与铅直方向为x，y

轴，写出点M的直角坐标即为直角坐标形式的运动方程，对时

间求一阶和两阶导数可得直角坐标系下的速度和加速度；点M

相对于地面的轨迹为圆弧BC，以初始位置时圆弧一点为弧坐

标原点，逆时针转向为正，写出点M的弧长表达式即为以自然

法表示的点的运动方程，求导即可得速度和加速度。

把两种方法进行比较，可看出在运动轨迹已知的情况下，用自

然坐标法比用直角坐标法方便，因此，一般在运动轨迹已知的

情况下，最好采用自然坐标法。

答案

直角坐标法：

自然法：

8.已知：如图所示，OA和B两杆分别绕O和轴转动，用

十字形滑块D将两杆连接。在运动过程中，两杆保持相交成直

角。己知：O=a，φ=ωt其中ω为常数。

试求：滑块D的速度和相对于杆OA的速度。

提示或解答

提示

滑块D相对于地面的轨迹为圆弧，以点为弧坐标原点，逆

时针转向为正，写出弧坐标形式的运动方程为s=aωt，求一

阶导数可得相对于地面的速度。滑块D相对于杆OA的轨迹为

沿杆OA的直线，写出其运动方程为，求一阶导数

可得相对于杆OA的速度。

答案

9.已知：曲柄OA长为r，与长为l＝2r的杆AB相铰

接，杆AB穿过绕定轴转动的套筒N，曲柄OA的转动方程为

φ=ωt。试求：点B的运动方程、速度、加速度。

提示或解答

提示

此题用直角坐标法写运动方程，注意三角形OAN为等腰三角

形，可知杆AB与铅直线的夹角为φ/2，在图示坐标系下写出

点B的坐标即为其运动方程，求导数得速度和加速度。

答案

10.已知：点沿空间曲线运动，在点M处其速度为

，加速度a与速度v的夹角，且。

试求：该点的切向加速度和曲率半径。

提示或解答

提示

由已知条件得，且，由和

可得结果。

答案

11.已知：小环M由作平移的T字形杆ABC带动，沿着图示

曲线轨道运动。设杆ABC的速度v=常数，曲线方程为

。

试求：小环M的速度、加速度的大小和杆位移x的关系。

提示或解答

提示

在图示坐标系下写出小环M的直角坐标，此即运动方程，=v

＝常数，=0。把对时间求导得，，然后利用

可得速度和加速度的大小。

答案

12.已知：如图所示，一直杆以匀角速度绕其固定端O转动，

沿此杆有一滑块以匀速滑动。设运动开始时，杆在水平位置，

滑块在点O。

试求：滑块的轨迹(以极坐标表示)。

提示或解答

提示

由题给条件，以极坐标表示的点M的运动方程为

，消去参数t，即可得以极坐标表示的点的轨迹

方程。

答案

13.已知：如果上题中直杆OA仍以匀角速度绕其固定端O

转动，但滑块沿杆运动的速度为v=kρ，其中k为常数，且初

始时φ=0。

试求：滑块的轨迹（以极坐标表示）。

提示或解答

提示

因，分离变量得，积分

可得轨迹方程。

答案

14.已知：杆和曲柄OA铰接，并穿过定轴转动的套筒B。

取点B为极坐标系的极点，直线BO为极轴，已知极角φ=ωt

（ω为常数），BO=AO=a，AM=b。

试求：点M的极坐标形式的运动方程、轨迹方程以及速度和加

速度的大小。

提示或解答

示

写出点M的极坐标即为极坐标形式的运动方程，消去参数t

即为轨迹方程；根据求出速度大

小；根据,求

出加速度大小。

答案

15.已知：搅拌器沿z轴按规律周期性上下运动，

并绕z轴按规律φ=ωt转动，搅拌轮半径为r。

试求：轮缘上点A的最大加速度。

提示或解答

提示

按柱坐标系下加速度计算公式计算得，，

，按计算得

最大加速度。

答案

16.已知：点M沿正圆锥面上的螺旋轨道向下运动。正圆锥的

底半径为b，高为h，半顶角为θ，如图所示。螺旋线上任

意点的切线与该点圆锥面的水平切线的夹角γ是常数，且点

M运动时，保持为常数。

试求：在任意角φ时，加速度在柱坐标中的投影的值?

提示或解答

提示

设该点产生微小位移，画一立体图求出其在柱坐标轴上的投

影为，，，由

前两式得，积分得，再由柱坐

标系下的加速度公式可得结果。

答案

17.已知：公园游戏车M固结在长为R的臂杆OM上，臂杆OM

绕铅垂轴z以恒定的角速度转动，小车M的升降高度z

与转角φ的关系为。

试求：时，小车M在球坐标系的各速度分量：。

提示或解答

提示

写出点M在球坐标系中的坐标为r=R,φ=ωt,，

按球坐标系中的速度分量计算公式

计算即可得。

答案