圆的面积怎么求

计算半径为R的圆的面积的六种方式给我的启示：

方法一：设圆心在原点，已知半径为R圆的方程（隐函数）是(),将它改写成显函数，上

半圆方程是22

1

yRx，下半圆方程是22

2

yRx。于是，圆的方程

2

22222

12

()22(arcsin)|

22

rr

r

r

rr

xrx

yydxrxdxrxr

r









方法二：半径为R的圆（盘）可以看成是无限多个同心“圆环”所组成，在[0,R]丄任选

r,当半径为r时，圆的面积微元dA是以半径为r的圆的周长2R为长以dr为宽的矩形面积，

即()，再将半径为r的面积微元dA从0到R无限累加起来，即将2dArdr由0到R积

分，就得到圆的面积

2

2

0

00

22|

2

rr

r

r

AdArdrr

方法三：令cosxatsinyat即'sinxat有参数方程公式'()()Attdt







22

222

2222

0

000

1

sin(sin)sin(1cos2)(sin2)|

222

rr

Artrtdtrtdttdtttr





（其中a=r)

方法四;设圆心为极点，半径为R的圆的极坐标方程是r=R，（02）于是，半径

为R的圆的面积

2

22

0

11

2

22

ARdRR

）

方法五设圆心为极点，在极坐标系中，圆的方程是（0rR02）于是，

圆的面积（

2

2

2

00

2

2

R

D

R

AddrdrR

）

方法六：在直角坐标系中，圆的方程是221xy，圆的面积A是圆在第一象限那部分

D的面积的四倍，即4

D

Adxdy其中D是22yRx0x0y(0)x,所

围成的，于是

22

22

2222

0

000

444(arcsin)|4

2222

RRxR

R

RxxR

AdxdyRxdxRR

R





方法七、设cosxrsinyr(sin)dxrdcosdyrd

1

2c

Axdyydx=

2

2222

0

1

(cossin)

2

rrd

22

1

(20)

2

rr

从上诉几种方法我们可以把它分成三类，一、定积分法一到法四

二、二重积分

D

dxdyD法五与法六

三、曲线积分

1

2C

Dxdyydx法七

定积分要遵循“先微后积”即微元法。我们首先应找到圆的面积的微元因不同的微元变

量就会有不一样的算法一个不规则的图形要求它的面积我们必须从整体着眼，从局部入手，

这里所说的“局部”就是分割T,当如法一与法二它们就是由不同的微元法一是把222xyr

改写为显函数，22

1

yrx22

2

yrx

12

()dAyydx而第二种方法就是

把圆的周长看成它的面积微元2dArdr接着把微元从0到R”无限累加起来即就是定积

分b

a

fxdx

所以计算曲边梯形的面积可以这样求解：计算由区间,ab上非负连续曲线yfx，

x轴、直线xa与xb所围成的曲边梯形的面积，首先求曲边梯形的面积微元dA。在

,ab上任取一点x，而在“点”x上面积微元是与fx为高以dx为宽的矩形的面积，即

()dAfxdx（矩形的面积=高宽）

再将每一点x上的面积微元dA从a到b“无限累加”起来，即由a到b的定积分，即

()bb

aa

AdAfxdx就是曲边梯形的面积

二重积分(,)

D

fxydxdy，dxdy是面积微元，当(,)1fxy即

(,)

DD

fxydxdydxdyD所以只需求出D积分区域的面积。求积分区域面积首先，

将积分区域D表达成不等式。一投二垂即向xy轴投影确定xy的范围，再在投影区间

上任取一点xy作xy轴的垂线确定yx轴的范围。接着先投影的后积，后垂的先积。

最后写出积分式。当然我们还可以用极坐标来解更容易如方法五

(cos,sin)(cos,sin)

DD

frrdfrrrdrd现在让我们来分析一下二重积分是

如何求圆的面积，第一先找出它的面积微元也就是D，怎样找呢？其实跟定积分差不多把不

规则的图形化为规则的。在这里可以把圆分成n多个小的矩形的面积然后把它们累加起来就

是圆的面积了在直角坐标系中dx表示长，dy表示宽，所以面积微元D=dxdy。其中因为

圆是对称所以圆的面积是在第一象限那部分D的面积的四倍，0xR0y

22yRx所以圆的面积

A=4

D

dxdy=

22

00

RRxdxdy=22

0

4RRxdx=

2

22

0

4arcsin|

22

R

Rxx

Rx

R









=

2

24

22

R

R





定积分、二重积分、曲线积分可以通过这样转换：定积分





D

bx

ax

dxdy

dydx



















二重积分

1

2DC

CD

Adxdyxdyydx

QP

PdxQdydxdy

xy























曲线积分ds

dxdy

定积分所以二重积分、曲线积分它们都是依

赖定积分的基础而来的即它们之间存在着联系。只要我们把它们连接起来那么我们就学的很

轻松。通过求圆的面积的这些方法我得到的启发要求图形的面积、体积无论用定积分还是二

重积分我们首先要找的就是它们的微元，然后找到微元变量的范围接着把它们累加起来。而

所找的微元不同就会有不同的方法，但应联系条件因素，一切从条件出发选择适当的方法解

决问题。

下面我们举一个例子：计算由曲线2yx与2xy围成的区域面积？

方法一：从定积分入手，因为两条曲线的交点是（0，0）与（1，1）。于是，区域的面

积3

1

221

2

0

0

211

|

333

Axxdxxx









（这里我们选择的是以dx作为微元变量当然

我们也可以以dy作为微元变量）

方法二：从二重积分入手，

D

AdxdyD：01x2xyx



2

3

1

21

2

0

0

211

|

333

x

Dx

Adxdydydxxx















