圆锥面积公式

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c.....

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

［学习目标］

1.掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以

及平面镶嵌等。

2.扇形面积公式：

n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。

3.圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，

长为底面圆周长，宽为圆柱的高

r底面半径h圆柱高

4.圆锥侧面积

圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。

侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。

5.了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它

们相等。

6.了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，

知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有

关问题。

7.圆柱

圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩

形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的

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底面半径为r，高为h，则：，

。

8.圆锥

圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧

面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形

的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的

侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面

半径为r，母线长为l，则

。

［重点、难点］

扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

【典型例题】

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例1.已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为

圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形

BCE被矩形所截剩余部分的面积。

图1

解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，

BC为半径的圆上，

∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°

∴

例2.已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为

____________。

解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，

由弧长公式，得：

∴

由扇形面积公式，，故填。

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点拨：本题主要考查弧长公式和扇形面积公式。

例3.已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为__________。

（弓形的弧为劣弧）。

解：∵弓形弦长等于半径R

∴弓形的弧所对的圆心角为60°

∴扇形的面积为。

三角形的面积为。

∴弓形的面积为。

即。故应填。

点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与

三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。

例4.若圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积为

_____________。

解：∵圆锥的底面直径等于a。

∴底面半径为，

∴底面圆的周长为。

又∵圆锥的母线长为a，

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∴圆锥的侧面积为。

故应填

点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公

式求得。

例5.如图2所示，OA和OO1是⊙O中互相垂直的半径，B在

上，弧的圆心是O1，半径是OO1，⊙O2与⊙O、⊙O1、OA都

相切，OO1＝6，求图中阴影部分的面积。

图2

解：设⊙O2与⊙O、⊙O1、OA分别切于点D、C、E，设⊙O2

的半径为r，连结O1O2，O2E，过点O2作O2F⊥O1O于F，连结

O1B、OB、OO2。

∵O1O＝6，

l∴

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∴

又∵

，

∴，

，

，

∴（舍去）

又∵是等边三角形

，

∴扇形和扇形的面积相等且都等于。

∴所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B的

面积之和减去三角形O1OB的面积，即：

又∵扇形OAO1的面积为：

∴阴影部分的面积为：

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点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，

找出解题的思路。

例6.在半径为2的圆，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120°

和60°，求两弦间所夹图形的面积及周长。

解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：

①如图3所示，由题意，

图3

则∠AOB＝120°，∠COD＝60°

又∵AB∥CD，

∴，

∴∠AOC＝∠BOD

又∵∠AOC＋∠BOD＝180°

∴∠AOC＝∠BOD＝90°

∴

又∵

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故所求面积为

又∵∠AOC＝90°，

∴，

同理

又∵△OCD是等边三角形，

∴CD＝OC＝OD＝2

又∵

∴所求的周长

②如图4所示，由第一种情况，得所求面积：

图4

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所求周长

点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形

的面积求法要求正确掌握，熟练运用。

例7.如图5所示，已知正方形的边长是4cm，求它的切圆与外接

圆组成的圆环的面积。（答案保留）

（1999年）

图5

解：设正方形外接圆、切圆的半径为R、r，面积为

。

∵

.....

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∴。

常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与

两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆接正方形与圆外切正方形

的性质来解题。这一点读者应认真体会。

例8.如图6所示，已知△ABC接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝6cm

图6

（1）求证：∠OBC＝30°；

（2）求OB的长（结果保留根号）；

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）。

解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°

∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，

∴∠OBC

（2）过O作OD⊥BC于D，

∵OB＝OC，BC＝6cm，

∴

∵，

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∴

（3）∵

∴

即阴影部分面积是。

常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而

无法证明∠OBC＝30°；当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公

式记错产生的错误，也是考试中的常见错误，应引起警惕。

例9.一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

点悟：如图7所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径

r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三

角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝l，OA＝r，关键找出l与r的关

系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即。

图7

解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为l，

由题意得

∴①

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在Rt△SOA中，②

由①、②得：。

∴所求圆锥的侧面积为

。

例10.圆锥的轴截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB＝2，M是

AB上一点，且PM＝2，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多

少？

点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形PBB'，A点落在A'点，则所求

A'、M之间的最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。

解：如图8所示，扇形的圆心角＝360°

图8

∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，过A'作A'N⊥PM于N，

则∴，

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【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、填表

（1）已知：正n边形边长为a

正n边形中心角半径边心距周长面积

n＝3

n＝4

n＝6

（2）已知：正n边形半径R

正n边形中心角半径边心距周长面积

n＝3

n＝4

n＝6

二、填空题：

1.如果扇形半径长3cm，圆心角120°，则它的面积是

_____________cm2。

2.若圆锥母线长5cm，高3cm，则其侧面展开图的圆心角是

_____________度。

3.若圆锥底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图面积是

_____________cm2。

4.有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm，高为8cm，今有一长12cm

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的吸管斜放入杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口处的长

度是_____________cm。

5.用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧

面，那么圆锥底面半径是_____________cm。

6.如图1，正方形ABCD边长为2，分别以AB、BC为直径在正方

形作半圆，则图中阴影部分面积为_____________平方单位。

图1图2

7.如图2，AB＝2cm，∠AOB＝90°，AO＝BO，以O为圆心，

OA为半径作弧AB，以AB为直径做半圆AmB，则半圆和弧AB所

围阴影部分面积是_____________cm2。

8.若圆锥侧面积为，母线长5cm，则圆锥的高为

_____________cm。

9.圆柱表面积为，它的高为2cm，则底面半径为

_____________cm。

10.矩形ABCD中，AC＝4cm，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋

转一周，得到圆柱表面积为_____________cm2。

三、解答题：

11.已知扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为

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的圆面积，那么这个扇形的圆心角为多少度？

12.如图3，已知半圆O，以AD为直径，AD＝2cm，B、C是半圆

弧的三等分点，求图中阴影部分面积。

图3

13.已知如图，割线PCD过圆心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O

于点A、B，∠PAB＝60°，PA＝，AB与PD相交于E，求弓形

ACB的面积。

【试题答案】

一、填表：

（1）

正n边形中心角半径边心距周长面积

n＝3120°3a

n＝490°4a

n＝660°a6a

（2）

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正n边形中心角半径边心距周长面积

n＝3120°

n＝490°

n＝660°R6R

二、填空题：

1.2.2883.

4.25.106.

7.18.4cm9.3cm

10.

三、解答题：

11.解：由题意，设所求圆心角为°，则

答：所求扇形圆心角为60°

12.解：连结OB、OC

∵

∴

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13.解：连结OA、OB，在Rt△AEP中，∠PAB＝60°

∴∠APD＝30°

在Rt△OAP中，

∴∠AOP＝60°，OA＝4，PO＝8

∴∠AOB＝120°

∴

由题意，PD＝3PC

∴

PC＝4，PD＝12

∴CD＝8

由题意：

∴

∴OE＝3

∴

∴