e的值是多少

一.教学内容：

暑假专题——求代数式的值的方法和技巧

二.教学目标：

1.掌握求代数式的值的基本方法。

2.灵活多变地掌握求代数式的值的方法和技巧，从而提高学生分析问题解决问题的能力。

三.教学重点和难点：

重点：求代数式的值的方法。

难点：求代数式的值的技巧

四.求代数式的值的方法与技巧归纳：

（一）整体代入法

例1.

已知，则分式的值是多少？x

xx

xx







122

29

2415

2

2

分析：

由条件变形得，再两边平方得，将xxxx122122272

分式，于是将整体代入即可求出其值。

xx

xx

xx

xx

xx

2

2

2

2

2

29

2415

29

2215

27













()

()

解：

由变形得：x122

x122

两边平方得：xx227

∴

×

xx

xx

xx

xx

2

2

2

2

29

2415

29

2215

79

2715

2



















()

()

（二）变形代入法

例2.

如果，，那么等于多少？a

b

b

c

c

a



1

1

2

1

2

分析：

可由，得出，再由得出，再代入a

b

a

b

b

b

c

c

b









1

1

12

1

2

1

c

a



2

即可。

解：依题意知a≠0且b≠1

又由得a

b

a

b

b



1

1

1

∴

22

1a

b

b





由得

2

1

2

1c

bc

b





∴c

ab

b

b









22

1

2

1























2

1

2

1

22

1

21

1

2

b

b

b

b

b

b

b

()

（三）参数法

例3.

若，≠，则代数式43602700

52

2310

222

222

xyzxyzxyz

xyz

xyz







()

的值等于多少？

分析：可将z看作参数，把4x－3y－6z＝0和x＋2y－7z＝0转化成y＝2z，x＝3z代入所

求代数式即可求出其值。

解：

由

4360

270

xyz

xyz











可得

xz

yz











3

2

将其代入代数式得：

原式

××

××









5924

293410

13

222

222

zzz

zzz

（四）特殊值法

例4.

若，则的值是多少？()314432xaxbxcxdxeabcde

分析：此题可采用特殊法解，可令x＝－1，即可求出代数式的值。

解：令x＝－1，则将其代入

()314432xaxbxcxdxe，得：

()24abcde

∴abcde16

（五）引入新未知数法

例5.

已知：≠，求的值。

abcabc

abc345

0

32

2







分析：题中含有等比式时可以用“设比例系数（或单位份数）”来换元。

解：

设≠

abc

kk

345

0()

则，，akbkck345

∴原式











985

385

6

10

3

5

kkk

kkk

k

k

（六）配方法

例6.

若，求的值。abab

ab

ab

22106340

2

2







分析：

观察将其可配方得：ababab2222106340530()()

显然易得a＝5，b＝3

解：

由已知配方得：abab22106340

∴()()aabb221025690

∴()()ab53022

∴，ab53

∴原式

×









253

56

13

（七）恒等变形法

例7.

已知，求的值。xxx

x

22

2

310

1



分析：由所求分式的形式，可考虑将已知等式作相应变形。

解：

由，可知≠，两边同时除以得：xxxxx

x

23100

1

3

∴原式()x

x

2

2

2

1

2







()x

x

1

2

32

7

2

2

（八）逐步降次法

例8.

已知实数满足，则的值是多少？aaaaa284107

分析：

由得，再两边平方可得，进一步还aaaaaa21221013

可推出aa447

解：

∵aa210

∵a≠0

两边同时除以得：aa

a

1

1

0

即aa11

将其两边平方得：aa223

再平方得：aa447

∴aa447

∴aa847













aaa

aaa

aa

444

444

44

7

77

771

·

()

()





71

77148

44()aa

×

（九）归一消元法

例9.

若，求的值。abc

a

aba

b

bcb

c

acc













1

111

解：由abc＝1知a、b、c均不为零

∴将其代入所求分式得：c

ab



1

原式

··













a

aba

b

b

ab

b

ab

a

abab

1

1

1

1

11

1





















a

aba

ab

abaaba

aba

aba

11

1

1

1

1

1

（十）倒数法

例10.

已知：，则的值是多少？a

a

a

aa





1

5

1

2

42

分析：

由已知求出的值再代入求值显然很麻烦，观察题目特点，a

a

a

1

5

若将所求值的式子的分子和分母颠倒过来，则会简便许多。

解：

由的分子和分母颠倒为T

a

aa





2

421

11

1

142

2

2

2T

aa

a

a

a













()a

a

1

1

51

24

2

2

∴，则T

a

aa







1

24

1

1

24

2

42

（十一）巧用“1”值法

例11.

已知：，，求代数式的值。xyx

y

y

x

2323

11

()()

解：

∵xy()()()23234312

∴，

11

x

y

y

x

∴()()x

y

y

x



11











()()xxyy

xy

xy

22

4

41

4

·

×

（十二）因式分解法

例12.

已知：≠，，求的值。abaabb

ab

ab

020

2

2

22





解：

由已知得：aabb2220

()()abab20

∴a＝b或a＝－2b

又∵ab≠0，∴a≠0，b≠0

①当a＝b时

原式







2

2

1

3

bb

bb

②当a＝－2b时

原式













4

4

5

3

5

3

bb

bb

b

b

（十三）利用定义、性质法

例13.

已知，求代数式的值。yxx

xy

xy

xy

xyyx









8818

2

分析：

由二次根式的定义可得

x

x











80

80

∴x＝8

解：

∵yxx8818

∴且xx8080

∴x8

∴y001818

∴当x＝8，y＝18时

原式

×××









818

818

2818

818188





















818

2232

2818

242362

818

2

2818

122

8182

2

28182

122

602

×××

×××

×××

×

（十四）变量代换法

例14.

已知实数满足，则的值为多少？xx

x

x

x

x

x

2

2

11

0

1



解：

由得：x

x

x

x

2

2

11

0

()()x

x

x

x



11

202

令，则x

x

yyy

1

202

解此方程得：或yy21

∴或x

x

x

x



1

2

1

1

()1

1

1当时，为非实数不符合题意x

x

x

∴x

x



1

2

（十五）利用相反数的性质：

例15.

如果代数式，当时的值为，那么当时，axbxcxxx535272

该代数式的值是多少？

解：当x＝－2时，由已知得：

abc···()()()2225753

∴2221253abc

故当x＝2时

abc··222553

12517

（十六）构造对偶式法

例16.

已知·，且≠，则的值是多少？

1

4

02()()()bcabcaa

bc

a





解：设b＝x＋y，c＝x－y，由已知得：

1

4

1

4

222()[()()]bcxyxyy

∴·yaxyxya2()()

∴，∴()xaxa20

∴

bc

a

x

a

a

a





22

2

（十七）添绝对值符号法

例17.

已知，则×的值是多少？ababbaabab022||||(||||)

解：∵ab＜0

∴·abbaabab22||||(||||)





||||||||(||||)

||||(||||)(||||)

abbaabab

abababab

22··

···







(||||)(||)

(||||)()

ababab

ababab·

0

以上介绍了17种求代数式的值的方法，除这些方法外还有变量代换法、迭代法、和差法、

平方升次法等等。在以后的学习和讲座中将一一介绍。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1.已知

221

abab



，则

b

a

a

b



的值是多少？

2.已知x是实数，且满足

3

2

22

2

2

xx

xx





，那么

xx22

的值是多少？

3.若

xya

xy

bbxy，，则

11

0

22

2()()

的值是多少？

4.已知

()()2aa

，求

()()2000199822aa

的值。

5.已知

ab

ab

bc

bc

ac

ac











1

3

1

4

1

5

，，

，求

abc

abbcac

的值。

6.已知

xy

1

2

2

3

1

2

2

3

，

，求代数式

112

22xy

xy

xy







()

的值。

7.设abc0，abc0，求

bc

a

ca

b

ab

c











||||||

的值。

8.已知

32022aabb

，且

ab≠0

，求

a

b

b

a

ab

ab



22

的值。

【试题答案】

1.解：由已知，得

22()abab

∴

b

a

a

b

ab

ab

abab

ab

abab

ab

















222

22

2

2

4

2

3

2

()

()()

()

2.解：把

xx22

看作为一个整体，由已知条件去分母整理得：

()()xxxx22222230

解得

()()xxxx2223210

∴或xxxx22230210

对于

xx2230

无实数解

∴

xx221

3.解：∵

11

0

22xy

bb()

∴

xy

xy

b

22

2





()

又∵

xya

∴

xyba222

∴()xyxyxybaa222222

4.解：令1999ax，则

20001ax

19981ax

∵

()()2aa

∴

∴

∴

×

()()

()()

()()

xx

x

aa

xx

x















111999

2000

20001998

11

22

220002

4002

2

22

22

2

5.解：由已知

ab

ab



1

3

，

bc

bc

ac

ac







1

4

1

5

，

∴

ab

ab



3

①

bc

bc



4

②

ac

ac



5

③

①＋②＋③得：

ab

ab

bc

bc

ac

ac











12

∴

∴

∴

222

12

6

1

6

abbcac

abc

abbcac

abc

abc

abbcac













6.解：由已知条件得：

xyxy1

1

4

2

9

1

36

，

∴原式







()()

()

xyxyxy

xyxy

22

22

2



















()

()

()

[()]

()

xy

xyxy

xy

xyxyxy

3

22

3

22

1

1

36

1

1

18

38

2

17

×

7.解：由

abcabc00，

知a、b、c中只能是有一个正数两个负数，取a＝2，b＝c

＝－1，则

原式



















11

2

12

1

21

1

1

||||||

8.解：由已知条件得：

()()abab

abab





320

0320∴或

∴

abab或

2

3

当a＝－b时，原式＝2

当

ab

2

3

时，原式＝－3