arctanx积分

§5.3基本积分公式

(1)（5.6）

(2)(5.7)

(3)(5.8)

(4)(5.9)

(5)(5.10)

(6)(5.11)

(7)(5.12)

(8)(5.13)

(9)(5.14)

(10)(5.15)

(11)(5.16)

公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.

公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.

当时，，

特别当时，.

当时，

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，

故（，）式右边的是在分母，不在分子

当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分

公式（10）是一个关于无理函数的积分

公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.

例1求不定积分.

分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解：

（为任意常数）

例2求不定积分.

分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

解：由于，所以

（为任意常数）

例3求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.

解：

(为任意常数)

例4求不定积分.

分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

解：

（为任意常数）

例5求不定积分.

分析：基本积分公式表中只有

但我们知道有三角恒等式：

解：

（为任意常数）

同理我们有：

（为任意常数）

例6（为任意常数）

基本函数导数公式

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

1.y=c(c为常数)y'=0

2.y=x^ny'=nx^(n-1)

3.y=a^xy'=a^xlna

y=e^xy'=e^x

4.y=logaxy'=logae/x

y=lnxy'=1/x

5.y=sinxy'=cosx

6.y=cosxy'=-sinx

7.y=tanxy'=1/cos^2x

8.y=cotxy'=-1/sin^2x

9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2

10.y=arccosxy'=-1/√1-x^2

11.y=arctanxy'=1/1+x^2

12.y=arccotxy'=-1/1+x^2

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的

定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在

得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3.y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设

的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以

limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。

4.y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以

有

lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。

这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

6.类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/c^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时

通过查阅导数表和运用开头的公式与

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv'