闭区间套定理

....

..w..

2012届本科毕业论文

区间套定理的拓展及应用

姓名：

系别：数学与信息科学学院

专业：信息与计算科学

学号：

指导教师：

2012年04月20日

....

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目录

摘要.....................................................................................................................................1

关键词...................................................................................................................................1

ABSTRACT............................................................................................................................1

KEYWORDS..........................................................................................................................1

0引言...................................................................................................................................2

1区间套定理在1R上的推广..................................................................................................2

2区间套定理在一般度量空间上的推广..................................................................................4

3区间套定理在nR上的推广.................................................................................................5

4区间套定理的应用举例.......................................................................................................6

参考文献...............................................................................................................................9

致........................................................................................................................................9

....

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区间套定理的拓展及应用

摘要

通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出

了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.

关键词

区间套;拓展;应用

Theexpansionandapplicationofthenested

intervaltheorem

Abstract

veraltheoremswhicharetestifiedaregotaftertheexpandingofthenested

intervaltheoremthroughtheapplicationofanalogy,analysis,anddeductive

andtheapplicationofthenestedintervaltheoremwasdiscusdbytheanalysis

ofsometypicalexamples.

Keywords

nestedinterval;expansion;application

....

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0引言

区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、

数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函

数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相

关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连

续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论

价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用围,本文从区间套定理的概念

出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.

首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间

套定理,增大了区间套定理的应用围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称

性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空

间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得

区间套定理的应用围更为广泛，而且给出了常用度量空间nR上的闭集套定理.最后结合一些

实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通

过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可

以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重

要的作用.

1区间套定理在1R上的推广

区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的容.

定义1.1设),3,2,1(,nba

nn

是R中的闭区间列，如果满足:

（1）3,2,1,,,

11





nbaba

nnnn

;

（2）0lim



nn

n

ab;

则称

nn

ba,

为R中的一个闭区间套，或简称区间套.

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定理]1[1.1（闭区间套定理）若

nn

ba,是一个闭区间套，则存在惟一一点，使得

),3,2,1(,nba

nn

,

且





n

n

n

n

balimlim.

推论1.1若),3,2,1(,nba

nn

是区间套

nn

ba,确定的点,则对任意正数,存

在自然数N,当Nn时,总有

,,Uba

nn

.

定义2.1(严格开区间套定理)设),3,2,1(,nba

nn

是R中的开区间列,如果满足:

(1),3,2,1,

1121





nbbbaaa

nnn

;

(2)0lim



nn

n

ab;

则称

nn

ba,为R中的一个严格开区间套.

定理]1[2.1(严格开区间套定理)若

nn

ba,是R中的一个严格开区间套，则存在惟一一

点，使得

3,2,1,,nba

nn

,

且





n

n

n

n

balimlim.

证明由定义2.1条件(1),

n

a是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理,

n

a

有极限,不妨设





n

n

alim,

且

,3,2,1,na

n

.

同理严格递减有下界数列

n

b也有极限.由定义2.1条件(2)应有





n

n

n

n

ablimlim,

且

,3,2,1,nb

n

.

从而存在3,2,1,,nba

nn

.

....

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最后证明惟一性.假如另有,使得3,2,1,,nba

nn

,那么有

,3,2,1,nab

nn

.

在上述不等式两边取极限,有

0)(lim



nn

n

ab.

即.

故原命题成立.

定义3.1设),3,2,1(),[

n

nba

n

是R中的半闭半开区间列,如果满足:

(1),3,2,1,

1121





nbbbaaa

nnn

;

(2)0lim



nn

n

ab;

则称),[

nn

ba为R中的一个严格半闭半开区间套.

定理]1[3.1(严格半闭半开区间套定理)如果),3,2,1(),[

n

nba

n

是R中的半闭半开

区间套,则存在惟一一点，使得

,3,2,1),,[nba

nn

,

且



n

n

n

n

ablimlim.

仿定理2.1的证明即可.

2区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,指的是该序列

除了满足一般度量空间的要求,还应在度量空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度

量空间上进行推广.

定义1.2设H是一个非空集合,在H上定义一个双变量的是指函数),(yx,对任意的

Hzyx,,,,有:

(1)(正定性)0),(yx,并且0),(yx当且仅当yx成立;

(2)(对称性)),(),(xyyx;

(3)(三角不等式)),(),(),(xzzxyx;

则称H为一个度量空间.

定义2.2设F是度量空间H中的一个子集,对于F中的任意点列

n

x,若当

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)(0)(

0

nxx

n

,

有Fx

0

,则称F为闭集.

定义3.2设,X是一度量空间,X中的一个序列



zi

i

x,若对任意的实数0,存

在整数0N,使得Nji,时,有

ji

xx,,则称



zi

i

x为一个柯西序列.

定义4.2如果对度量空间,X中的X的每一个柯西序列都收敛,则称,X是一个

完备度量空间.

定理]2[1.2设

n

F是完备度量空间H上的闭集列，如果满足：

(1)),3,2,1(

1





nFF

nn

;

(2)),(sup)((0)(lim

,





n

F

nn

n

FdFd





;

则在H中存在惟一一点,使得

,3,2,1,nF

n

.

证明任意

n

F中的点列

n

x,当nm时,有

nm

FF,所以

)(0)(),(,,nFdxxFxx

nmnnmn

.

即对任意给定的实数0,存在整数0N,使得Nji,时,有

ji

xx,,所以

n

x是

柯西序列.又因为

n

F是闭集列,故

n

x收敛于一点,且有

,3,2,1,nF

n



现证惟一性.如果另有一点,使得,

,3,2,1,nF

n

.则由定义1.3条件(3)有

)0(02,,,nFdxx

nnn

,

从而.

故在H中存在惟一一点,,使得

,3,2,1,nF

n

.

3区间套定理在nR上的推广

进一步还可以将区间套定理在常用度量空间-实数空间nR上推广.为此,先给出一个有

用的概念.

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定义1.3对于任意的n

nn

Ryyyyxxxx,,,,,,,

2121

,令

2

1

,





n

i

ii

yxyx,

则称为nR上的距离.

下面验证对于如上定义的nR,能做成完备的度量空间.

求证对于任意的n

nn

Ryyyyxxxx,,,,,,,

2121

,且

2

1

,





n

i

ii

yxyx,则nR,能做成完备的度量空间.

证明对于任意n

nnn

Rzzzzyyyyxxxx,,,,,,,,,,,

212121

.

(1)0

2

1





n

i

ii

xz,并且0,yx当且仅当),2,1(iyx

ii

,即yx.

(2)xyxyyxyxn

i

ii

n

i

ii

,,

2

1

2

1





.

(3)另

iii

xyu和

iii

yzv

由施瓦兹不等式得到









n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

vvuuvu

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22.

则







n

i

i

n

i

i

n

i

ii

vuvu

1

2

1

2

1

2,

即2

1

2

1

2

1







n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

yzxyxz.

所以满足度量的定义,又nR是完备的,故nR是完备的度量空间.

于是根据前面的论述,可以得到实数空间nR的闭集套定理:

定理1.3设

n

F是nR上的闭集列,如果:

(1)

),3,2,1(

1





nFF

nn

:

....

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(2)),(sup)((0)(lim

,





n

F

nn

n

FdFd





;

则在nR中存在惟一一点,使得,3,2,1,nF

n

.

4区间套定理的应用举例

区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找到属于每个区间的公

共点.证明中区间套的构造方法主要有以下两点:

(1)已知特殊点的存在区间时,利用两分法构造区间套,进而套出所求的特殊点.

(2)首先依据不等式确定特殊点的存在区间,再利用区间的收缩,套出所求的特殊点.

下面举几个例子说明这一思路.

例1证明:闭区间上连续函数必有界.

证明假设xf在ba,上无界,则等分ba,,即





























b

baba

aba,

22

,,,至少有

一个子区间上xf

无界,不妨设为

11

,ba,将

11

,ba等分,则存在子区间

22

,ba,使得xf在



22

,ba上无界.依次类推,不断等分区间,则得到无穷闭区间列..,,tsba

nn

:

(1)

nn

babababa,,,,

2211

;

(2)



n

ab

ab

n

nn

,0

2

11;

(3)xf

在

nn

ba,上无界,Zn

由(1)、(2),根据区间套定理,惟一ba,,使得



n

n

n

n

ablimlim.

而由(3)

nnn

baxZn,,,使nxf

n

,从而得到一点列

n

x及函数列

n

xf,

且nxfxts

nn

,,..,由数列极限与连续函数极限的关系应有

fxfx

n

,

这与xf矛盾.故假设不成立,从而命题得证.

例2证明一致连续性定理:在闭区间ba,

上连续的函数xf

,在ba,

上一致连续

证明我们只须证明:对0,可将ba,

分成有限个小段,使xf

在每一小段上任意

两点函数值之差都小于.

用反证法.假设上述不成立,即对某个0

0

,ba,

不能按上述要求分成有限个小段.

将ba,

等分为二:bcca,,,,则二者之中必有一个不能按上述要求分成有限个小段,记为

....

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

11

,ba.

再将

11

,ba等分为二:

1111

,,,bcca,根据同样办法,取其一,记为

22

,ba.如此继续下去,

得到闭区间套

nn

ba,,由区间套定理,存在),3,2,1(,,nba

nn

.

xfba,,在x连续,于是0,与),(,baxx

时,

2



fxf.

注意到

n

n

n

n

ba



limlim,我们可取充分大的K,使得

KK

ba,,从而

对

KK

bax,都有x,因此

KK

baxx,,

21

,成立:



0

00

22122





xfffxfxfxf.

这表明在

KK

ba,上任两点函数值之差小于

0

了,与区间

KK

ba,的定义相违,故命题成立.

例3证明实数集R是不可列集

证明用反证法.假如R可列,即,,,,

21n

xxxR.先取区间

11

,ba,使

111

,bax,

然后将

11

,ba三等分,则三等分的小区间中至少有一个不含

2

x,将其记为

22

,ba,又将



22

,ba三等分,同样必有一个小区间不含,将其记为

33

,ba;如此继续下去,我们得到一个闭

区间套

nn

ba,

,满足),3,2,1(,nbax

nnn

.

由闭区间套定理,存在惟一实数),3,2,1(,nba

nn

,而)(Nnx

n

,这与集合

,,,,

21n

xxx表示实数集R的全体实数产生矛盾,命题得证

例4证明:设

n

a为数列,若对任意的0,存在0N,使得Nnm,时,有



nm

aa,则数列

n

a收敛.(数列柯西收敛准则的充分条件)

分析由已知条件可得存在

NN

0

,当

0

Nn时,有

0

Nn

aa,即在区间

],[

00



NN

aa

含有

n

a中几乎所有项,由极限定义可知数列

n

a收敛点必在其部.此时

只需利用区间套定理证明该点的存在性.

证明由假设

NN

0

,当

0

Nn时,有

0

Nn

aa,即在区间

],[

00



NN

aa

含有

....

..w..



n

a中几乎所有项.

令

2

1

,则存在

1

N,在区间















2

1

,

2

1

,

11

11NN

aaba含有}{

n

a中几乎所有项；

令

22

1

,则存在

2

N,在区间















22

222

1

,

2

1

,

11

NN

aaba在区间含有

n

a中几乎所

有项；

依次令,

2

1

,

2

1

43

,则得到区间列

nn

ba,,满足:其中每个区间都含有

n

a中几乎所有

项;)0

2

1

;,3,2,1(,,

1

11







n

nnnnnn

abnbaba,显然

nn

ba,构成闭区间套,

存在),3,2,1(,nba

nn

,且对任意的0,存在0N,使得Nn,有

,,Uba

nn



由极限定义,U含有

n

a中几乎所有项,即



n

n

alim.命题得证.

参考文献

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[2]宗铎,娓.再谈闭区间套定理的推广及应用[J].大学学报,2000,14(4):4-5.

[3]熊金城.点集拓扑讲义[M].:高等教育,2003,第3版.

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[9]吴传生.数学分析习题精解上册[M].:中国科技大学,2004:33－39．

[10]强文久.数学分析的基本概念与方法[M].:高等教育，1989．

致

本文是在斐然老师的精心指导下完成的，老师的广博的学识，严谨的治学态度，高度的

敬业精神对我产生了重要影响，老师开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪，在此对老

师表示深深的感！

水晶马赛克.tpszj.