极值点定义

1

极值点偏移定义及判定定理

所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使

得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()fx

0

xx

()yfx

yb

交于,两点，则的中点为，而往往.如下图

1

(,)Axb

2

(,)BxbAB12(,)

2

xx

Mb



12

02

xx

x





所示.

极值点没有偏移

一、极值点偏移判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(xfy),(ba

0

x

0)(xf

，且，（1）若，则称函数在区间上极

21

xx、

bxxa

21

0

21

2

x

xx





)(xfy

),(

21

xx

值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简

0

x

0

21

2

x

xx





)(xfy

),(

21

xx

0

x

称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右

0

x

0

21

2

x

xx





)(xfy

),(

21

xx

0

x

偏，简称极值点右偏。

0

x

2、极值点偏移的判定定理

判定定理：对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点)(xfy),(ba

，方程的解分别为，且，（1）若，则

0

x

0)(xf

21

xx、

bxxa

21

0)

2

('21

xx

f

，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0

0

21)(

2

x

xx





)(xfy

),(

21

xx

0

x

若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)

2

('21

xx

f

0

21)(

2

x

xx





)(xfy

),(

21

xx

左（右）偏。

0

x

2

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数)(xf存在两个零点

21

,xx且

21

xx，求证：

021

2xxx（

0

x为函数)(xf的极值点）；

2.若函数)(xf中存在

21

,xx且

21

xx满足)()(

21

xfxf，求证：

021

2xxx（

0

x为函

数)(xf的极值点）；

3.若函数)(xf存在两个零点

21

,xx且

21

xx，令

2

21

0

xx

x



，求证：0)('

0

xf；

4.若函数)(xf中存在

21

,xx且

21

xx满足)()(

21

xfxf，令

2

21

0

xx

x



，求证：

0)('

0

xf

三、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数)(xf的极值点

0

x；

（2）构造一元差函数)()()(

00

xxfxxfxF；

（3）确定函数)(xF的单调性；

（4）结合0)0(F，判断)(xF的符号，从而确定)(

0

xxf、)(

0

xxf的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

3

2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(xf满足)()(

21

xfxf，

0

x为函数)(xf的极值点，求证：

021

2xxx.

（1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点

0

x；

假设此处)(xf在),(

0

x上单调递减，在),(

0

x上单调递增.

（2）构造)()()(

00

xxfxxfxF；

注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(

0

xxfxfxF的形式.

（3）通过求导)('xF讨论)(xF的单调性，判断出)(xF在某段区间上的正负，并得出

)(

0

xxf与)(

0

xxf的大小关系；

假设此处)(xF在),0(上单调递增，那么我们便可得出

0)()()()(

000

xfxfxFxF，从而得到：

0

xx时，)()(

00

xxfxxf.

（4）不妨设

201

xxx，通过)(xf的单调性，)()(

21

xfxf，)(

0

xxf与)(

0

xxf

的大小关系得出结论；

接上述情况，由于

0

xx时，)()(

00

xxfxxf且

201

xxx，)()(

21

xfxf，

故)2()]([)]([)()(

2002002021

xxfxxxfxxxfxfxf，又因为

01

xx，

020

2xxx且)(xf在),(

0

x上单调递减，从而得到

201

2xxx，从而

021

2xxx

得证.

（5）若要证明0)

2

('21

xx

f，还需进一步讨论

2

21

xx

与

0

x的大小，得出

2

21

xx

所在的

单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21

此处只需继续证明：因为

021

2xxx，故

0

21

2

x

xx





，由于)(xf在),(

0

x上单

调递减，故0)

2

('21

xx

f.

【说明】

4

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点，

证明)(

0

xxf与)(

0

xxf（或)(xf与)2(

0

xxf）的大小关系；若试题难度较大，则直

接给出形如

021

2xxx或0)

2

('21

xx

f的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该

小问分解为三问逐步解题.2