数形结合百般好

第二章高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想方法

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数

式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，

如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是

解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”

两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直

观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函

数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范

严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用

曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科

学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分

析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式

的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题

思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是

一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚

先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔

裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起

来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何

化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注

意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数

特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意

义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，

做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角

函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助

于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组：

1.设命题甲：0

年全国文）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

2.若log

a

2

b

2<0，则_____。(92年全国理)

A.0b>1D.b>a>1

3.如果|x|≤

π

4

,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。

(89年全国文)

A.

21

2



B.－

21

2



C.－1D.

12

2



4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么

f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为

－5

C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为

－5

5.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|

y

x





3

2

＝1}，N＝

{(x,y)|y≠x＋1}，那么MN∪等于_____。(90年全国)

A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y

＝x＋1

6.如果θ是第二象限的角，且满足cos

θ

2

－sin

θ

2

＝

1sinθ

,那

么

θ

2

是_____。

A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能

第三象限角D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

θ}，那么E∩F的区间是_____。（93年全国文理）

A.(

π

2

,π)B.(

π

4

,

3

4

π

)C.(π,

3

2

π

)D.

(

3

4

π

,

5

4

π

)

8.若复数z的辐角为

5

6

π

，实部为－23，则z＝_____。

A.－23－2ｉB.－23＋2ｉC.－23＋23ｉD.

－23－23ｉ

9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么

y

x

的最大值是

_____。(90年全国理)

A.

1

2

B.

3

3

C.

3

2

D.3

10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，

选A;

2小题：由已知画出对数曲线，选B；

3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；

4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；

5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；

6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；

7小题：利用单位圆，选A；

8小题：将复数表示在复平面上，选B；

9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；

10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案

－

3

2

＋

3

2

ｉ。

【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处

理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、

单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。

Ⅱ、示范性题组：

例1.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)

在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

【分析】将对数方程进行等价变形，转化为

一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再

利用二次函数的图像进行解决。

【解】原方程变形为

30

332











x

xxmx

即：

30

212











x

xm()

设曲线y

1

＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y

2

＝1－m，图像如图所示。

由图可知：

①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

∴m＝1或－3

此题也可设曲线y

1

＝－(x－2)2＋1,x∈(0,3)和直线y

2

＝m后画

出图像求解。

【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论

时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方

法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像

分析只一个x值）。

y

4

y=1-m

1

O23

x

例2.设|z

1

|＝5，|z

2

|＝2,|z

1

－

z

2

|

＝13，求

z

z

1

2

的值。

【分析】利用复数模、四则运算的几

何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。

【解】如图，设z

1

＝OA、z

2

＝OB后，

则

z

1

＝OC、

z

2

＝OD如图所示。

由图可知，|

z

z

1

2

|＝

5

2

，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝

5213

252

222()

××

＝

4

5

∴

z

z

1

2

＝

5

2

(

4

5

±

3

5

ｉ)＝2±

3

2

ｉ

【另解】设z

1

＝OA、

z

2

＝OD如图所示。

则|

z

z

1

2

|＝

5

2

，且

cos∠AOD＝

5213

252

222()

××

＝

4

5

，sin∠AOD

＝±

3

5

，

所以

z

z

1

2

＝

5

2

(

4

5

±

3

5

ｉ)＝2±

3

2

ｉ，即

z

z

1

2

＝

2±

3

2

ｉ。

【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向

量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合

的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变

成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。

yA

D

OB

x

C

yA

D

O

x

本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z

1

＝5(cosθ

1

＋ｉsinθ

1

)，z

2

＝＋ｉsinθ

2

)，则|z

1

－

z

2

|＝|(5cosθ

1

－2cosθ

2

)

＋(5sinθ

1

＋2sinθ

2

)ｉ|＝

2920

12

cos()

＝13，所以cos(θ

1

＋θ

2

)＝

4

5

,sin(θ

1

＋θ

2

)＝±

3

5

，

z

z

1

2

＝

5

2

12

22

[cos()sin()]

(cossin)









i

i

＝

5

2

[cos(θ

1

＋θ

2

)＋ｉsin(θ

1

＋θ

2

)]＝

5

2

(

4

5

±

3

5

ｉ)＝2±

3

2

ｉ。

本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z

1

－z

2

|＝13

得：

（z

1

－z

2

）(z

1

－z

2

)＝z

1

z

1

＋z

2

z

2

－z

1

z

2

－z

1

z

2

＝25＋4－z

1

z

2

－z

1

z

2

＝13,

所以z

1

z

2

＋z

1

z

2

＝16,再同除以z

2

z

2

得

z

z

1

2

＋

z

z

1

2

＝4，设

z

z

1

2

＝z，解得z＝

2±

3

2

ｉ。

几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选

择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：

直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；

设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为

几何问题求解。

例3.直线L的方程为：x＝－

p

2

(p>0),椭圆中心D(2＋

p

2

,0)，焦

点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么

范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离

等于该点到直线L的距离？

【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦

点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问

题（研究方程组解的情况）。

【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(

p

2

,0)，设椭圆与双曲线方程并

联立有：

ypx

x

p

y

2

2

2

2

2

2

4

1





















[()]

，消y得：x2－(4－7p)x＋(2p＋

p2

4

)＝0

所以△＝16－64p＋48p2>0,即6p2－8p＋2>0，解得：p<

1

3

或p>1。

结合范围(

p

2

,4+

p

2

)内两根，设f(x)＝x2－(4－7p)x＋(2p＋

p2

4

)，

所以

p

2

<

47

2

p

<4+

p

2

即p<

1

2

，且f(

p

2

)>0、f(4+

p

2

)>0即p>－4＋32。

结合以上，所以－4＋32

1

3

。

【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有

实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可

以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义

法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行

了综合运用。

例4.设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），

B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m2＋15}(m∈Z)，C＝{(x,y)|x2＋y2≤144}，

讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)

【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”

的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n2＋15(n∈Z)有解（A∩B时x

＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在

直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝144有公共点，但

原点到直线L的距离≥12。

【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15;

设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n2＋15上，且直线与圆x2＋y2＝

144有公共点，

所以圆心到直线距离d＝

||315

1

2

2

n

n





＝3(n21＋

4

12n

)≥12

∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。

【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题

也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，

并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

本题直接运用代数方法进行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15,即b＝3n2＋15－an（①式）；

由(a,b)∈C得，a2＋b2≤144（②式）；

把①式代入②式，得关于a的不等式：

(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0（③式）,

它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－

36(n2－3)2

因为n是整数，所以n2－3≠0,因而△<0，又因为1＋n2>0,故③式

不可能有实数解。

所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立

Ⅲ、巩固性题组：

1.已知5x＋12y＝60，则

xy22

的最小值是_____。

A.60

13

B.13

5

C.13

12

D.1

2.已知集合P＝{(x,y)|y＝92x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q

≠φ，则b的取值范围是____。

A.|b|<3B.|b|≤32C.－3≤b≤32D.－

3

3.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A.1B.2C.3D.以上都不对

4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取

值范围是_________。

6.设z＝cosα＋1

2

ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是

____________。

7.若方程x2－3ax＋2a2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实

数a的取值范围是______。

220°＋cos280°＋3sin20°·cos80°＝____________。

9.解不等式：xx22>b－x

10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组xxa

xbx

2

2

20

250















≤

≤

的解

集，试确定a、b的取值范围，使得AB。（90年高考副题）

11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。

12.已知函数y＝

()x112＋

()x592，求函数的最小值及此时x的

值。

13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值

范围。