ax求导

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§2.2求导法则与导数的基本公式

教学目标与要求

1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则

2.理解反函数的导数并能应用；

3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；

4.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度

1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；

2.会求反函数的导数；

3.会求复合函数的导数

前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都

用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几

个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能

比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则

1.函数的和、差求导法则

定理1函数()ux与()vx在点x处可导，则函数()()yuxvx在点x处也可导，且

[()()]()()yuxvxuxvx





同理可证：'''[()()]()()uxvxuxvx

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即证。

注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即

12

''''

12

[()()()]()()()

n

n

uxuxuxuxuxuxLL，

即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1求函数4cosln

2

yxxx



的导数

解4cosln

2

yxxx















4cosln

2

xxx

















3

1

4sinxx

x



2.函数积的求导公式

定理2函数()ux与()vx在点x处可导，则函数()()yuxvxg在点x也可导，且

''''[()()]()()()()yuxvxuxvxuxvxggg。

注意：1）特别地，当

uc

（c为常数）时，

'''[()]()ycvxcvx，

即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：

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''''[()()]()()yauxbvxauxbvx。

2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即

''''

12121212

()

nnnn

uuuuuuuuuuuuLLLLL。

例2求下列函数的导数。

1）323254sinyxxxx；

解323254sinyxxxx









29454cosxxx

2）334ln5cosyxxx

解'

4

45sinyxx

x



例3求下列函数的导数

1）34sinyxxxg；2）3lncosyxxxgg

解1）

'3'3'''

22

(4sin)()4[()sin(sin)]

12sin

34(sincos)34cos

2

yxxxxxxxx

x

xxxxxxx

xx





g

ggg

2）

'3'3'3'3'

233

2

(lncos)()lncos(ln)cosln(cos)

1

3lncoscoslnsin

(3lncoscoslnsin)

yxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

x

xxxxxxx







gggggggg

gggggg

ggg

3.函数商的求导法则

定理3函数()ux与()vx在点x处可导，且()0vx，则函数

()

()

ux

y

vx

在点x处也可

导，且

2

()()()()()

[]

()()

uxuxvxuxvx

y

vxvx









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所以



.

uv

vxux

y

xx

xvxxvx













因为vx可导,必连续,故

0

lim

x

vxxvx



,于是





00

0

0

limlim

lim

lim

xx

x

x

uv

vxux

y

xx

y

xvxvxx























2

uxvxuxvx

vx







注意：特别地，当

uc

（c为常数）时，

2

()

[](()0)

()()

ccvx

yvx

vxvx







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总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：

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二、反函数的导数

想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？

在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？

易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对

数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函

数的导数：

定理4设函数()yfx在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且

()0fx，则它的反函数1()xfy在相应区间内也处处可导，且

1

1

[()]

()

fx

fx







或

1

1

[()]

[()]

fx

fx







证因为函数()yfx在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数1()xfy在相

应区间内也是单调连续函数。

当()yfx的反函数1()xfy的自变量y取得改变量(0)yy时，由1()xfy

的单调性知11()()0xfyyfy，于是

1x

y

y

x











又因为1()xfy连续，所以当0y时，0x。由条件知()0fx，所以

1

00

0

111

[()]limlim

()

limyx

x

x

fy

yy

yfx

xx





















故

1

1

[()]

()

fx

fx







或

1

1

[()]

[()]

fx

fx







即证。

例6求下列反三角函数的导数。

1）arcsinyx；2）arccosyx；

3）arctanyx；4）arccotyx。

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例7求函数(0,1)xyaaa的导数。

解由于

((,))xyax为对数函数log((0,))

a

xyy的反函数，根据反

函数的导数法则得

1

()lnln

(log)

xx

a

yayaaa

y







所以，指数函数的导数公式为

()lnxxaaa





特别地，当

ae

时，有

()xxee





三、复合函数的求导法则

综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求

导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运

算外，还有复合函数形式，例如：sin2yx。

思考：如果sin2yx，是否有'(sin2)cos2xx？

因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。

定理设函数()ux在点x处有导数()

x

ux





，函数()yfu在对应点u处有导

数()

u

yfu





，则复合函数[()]yfx在点x处也有导数，且

([()])()()fxfux



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简记为

dydydu

dxdudx

或

xux

yyu



。

（证明略）

注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间

变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。

（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设()yfu，

(),()ugvvx，则

dydydudv

dxdudvdx

或

xuvx

yyuv





（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住

哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

例8求函数623yx的导数

解5562331823yxx





例9求函数sinln3yx的导数

解

cosln3

11

cosln33

2

32

x

yx

x

xx





例10求幂函数uyx的导数。

例11求函数sinsinyfxfx的导数。

解sincoscosyfxxfxfx









例12求下列函数的导数。

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1）

1

()yf

x

；2）()fxye。

本节小结

通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函

数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问

题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：

1.求导法则

（1）'''[]uvuv（2）'''()uvuvuv

（3）''()cucu（c为常数）（4）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv





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（5）

'

'

2

()

ccv

vv

（c为常数）

（6）1''

'

1

[()](()0)

()

fyfx

fx



（7）'''

xux

yyug，其中(),()yfuux

2.基本初等函数的导数公式

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