巧数长方形图形的方法

巧数图形

数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这

看似简单，其实其中学问可大了．为了能准确地数出结果，我们必须有次序、有

条理地数，既不能遗漏，也不能重复．只要我们掌握了数的方法，就能数得又对

又快．

例1．下图中有多少条线段？

（1）

思路分析：

每条线段均有两个端点，可以根据左端点进行

分类．以A为左端点的线段为AB、AC，共有2条；以B点为左端点

的线段为BC，只有1条；以C点为左端点的线段不存在．因此共有2

＋1＝3(条)．

答：图中共有3条线段．

(2)这题中左端点是A的线段有：AB、AC、AD、AE，共有4条；

左端点是B的线段有BC、BD、BE，共有3条；左端点是C的线段有C

D、CE，共有2条；左端点是D的线段有DE；左端点是E的线段不存

在．所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．

答：图中共有10条线段．

例2．数出下面图中共有多少条线段？

思路分析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数

的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端

点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．

例题解答：

第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．

第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．

第三部分是FG一条线段．

第四部分是JK一条线段．

10＋10＋1＋1＝22(条)

答：这幅图共有22条线段．

方法指导：数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，

然后再相加得出线段的总的条数．

例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共

有多少条？

思路分析：将这条线段上的10个点从左到右依次标为、

、…、、以为左端点的线段为、、

、、、、、、共有9条；

为左端点的线段为、、、…、，

共有8条；…；以为左端点的线段为，只有1条；以

为左端点的线段不存在．因此，共有线段：

9＋8＋…＋3＋2＋1

＝(9＋1)×9÷2

＝45(条)

答：一共有45条线段．

方法指导：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自

然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋…＋3

＋2＋1＝n×(n－1)÷2

例4．下面图形中有几个角？

思路分析：数角的个数为了不遗漏、不重复，也需要按一定的顺序

去数，可以采用与数线段相同的方法．

以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；

以OB为一边的角有：∠BOC、∠BOD，共2个．

以OC为一边的角有：∠COD，只有1个．

3＋2＋1＝6(个)

答：图中共有6个角．

例5．数出下面图中共有多少个三角形？

思路分析：数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．

以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．

以AD为边的三角形有：△ADE、△ADC，共有2个．

以AE为边的三角形有：△AEC，只有1个．

所以，图中一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．

我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一

条线段都恰好对应一个三角形．

底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．

底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．

底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．

所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．

方法指导：数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数

线段的方法相同．即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2．即三角形个数

就是底边上的线段数．

例6．数一数图中共有多少个三角形？

思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．

在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，

在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；

在△BDC中，一共有5个三角形．

15＋15＋5＝35(个)

答：图中共有35个三角形．

例7．图中共有多少个不同的三角形？

思路分析：将本题分成(1)、(2)两部分来数：第(1)部分中共有三角

形：3＋2＋1＝6(个)；第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形．所

以，共有三角形6＋6＝12(个)．

例8．数出下图中共有多少个三角形？

思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中

最小的一个三角形看作基本图形．

由一个基本三角形构成的三角形共有8个；

由两个基本三角形构成的三角形共有4个；

由四个基本三角形构成的三角形共有4个．

因此：8＋4＋4＝16(个)，所以，图中共有16个三角形．

例9．数出下面图形中共有多少个三角形？

思路分析：这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后

分类相加的方法．

由一个基本三角形构成的三角形共有9个；

由四个基本三角形构成的三角形共有3个；

由九个基本三角形构成的三角形只有1个．

因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．

例10．下面两幅图中各有多少个长方形？

思路分析：

(1)中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因

为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条

数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)．

(2)我们可用按基本图形组合的方法来数．

由一个基本长方形构成的长方形共有6个；

由两个基本长方形构成的长方形共有7个；

由三个基本长方形构成的长方形共有2个；

由四个基本长方形构成的长方形共有2个；

由六个基本长方形构成的长方形有1个；

所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个)．

本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线

段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝3

(条)．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18(个)．于是，可以整理出

数长方形个数的方法：长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以

宽上的线段数．

例11．数出各图中正方形的个数．

思路分析：(1)中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9

个(9＝3×3)；由4个基本正方形组成的正方形，即边长为2的正方

形有4个(4＝2×2)；由9个基本正方形组成的正方形，即边长为3

的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．

(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正

方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；

边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4

＋1＝30(个)．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么

正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．

方法指导：

正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少

个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，

并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本

图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．

例12．图中共有多少个正方形？

思路分析：

将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正

方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形

构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六

块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、

十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，

图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．

例13．数出图中共有多少个正方形？

思路分析：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：

第1类：边长为1的正方形有24个；第2类：边长为2的正方形有

13个；第3类：边长为3的正方形有4个；第4类：边长为4的正

方形有1个．

所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．

这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×

1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，

这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．

所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．

例14．下图中共有多少个长方形？

思路分析：我们可以先将大长方形中的5小块编上号：

这5块都是符合要求的长方形．

然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋

④，④＋⑤；再数由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，

③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由5小块拼成的长

方形只有最大的一个．

所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12(个)长方形．

例15．数出下图中共有多少个三角形？

思路分析：

首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们

可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角

形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，

③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋

③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③

＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最

大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．

方法指导：

数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数

图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是

否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合

要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个

是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．