降幂公式

3.1.4降幂公式、半角公式

一、教学目标

（一）核心素养

通过让学生自己动手由二倍角公式的变形推导出降幂公式以及半角公式，并会运用公式进行灵

活变形计算，在数学运算、逻辑推理中体会转化与化归、降元与换元的数学思想方法.

（二）学习目标

1．通过二倍角公式的变形推导出降幂公式，加深理解降元、三角恒等变换的基本思想方法．

2．经历二倍角变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，并明确“±”号的选取，进一

步体会化归、换元的数学思想．

3．能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力．

（三）学习重点

1．降幂公式的推导．

2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、变形应用．

（四）学习难点

1．降幂公式、半角公式与倍角公式之间的内在联系．

2．运用半角公式时正负号的选取．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）“倍角”的含义是什么？

“倍角”是描述两个角之间的关系，具有相对性.例如：2是的倍角，4是2的倍角，

2



是

4



的倍角．

（2）二倍角公式22cos22cos112sin

可以怎样进行变形？

移项变形得到：2

1cos2

sin

2









、2

1cos2

cos

2









若已知二倍角函数值，开根号可得到单角函数值：

1cos2

sin

2









、

1cos2

cos

2









若已知单角函数值，换元后可得到半角函数值：

1cos

sin

22





、

1cos

cos

22





2．预习自测

1.下列说法中正确的个数是（）

①当α是第一象限角时,

1cos

sin

22





；

②对任意角α,2

1cos

tan

21cos











都成立；

③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.

A.0

B.2

C.1

D.3

答案：C

解析：【知识点】降幂公式、半角公式概念辨析．

【数学思想】分类讨论思想．

【解题过程】当α是第一象限角时，

22

2

kk





，∴

24

kk





，∴

2



在第一、

三象限，故

1cos1cos

sin

222



或

，①错；此式子必须使tan

2



有意义且1+cosα≠0,

即：

2,(21)()

22

kkkkZ



且即

②错；由半角公式推导过程可知③正确．

点拨：明确“±”号的选取以及公式适用条件．

（2）求2cos22.5的值．

答案：

12

24



．

解析：【知识点】降幂公式的运用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】2

1+cos4512

cos22.5=

224





．

点拨：降元化为特殊角的三角函数进行求值．

（3）求

sin15,cos15,tan15

值．

答案：

62

4



；

62

4



；

23

．

解析：【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

21-cos3023(62)62

sin15=

24164





;

21+cos3023(62)62

cos15=

24164





;

sin1562

tan15=23

cos15

62







．

点拨：利用半角公式化为特殊角的三角函数进行求值．

（4）已知

5

3

2

x





，则sin

2

x

=（）

A．

1cos

2

x

B．

1cos

2

x



C．

1cos

2

x

D．

1cos

2

x



答案：D．

解析：【知识点】半角公式中“±”号的选取．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

5531cos

3sin

242222

xxx

x







，，

．

点拨：明确“±”号选取的原则．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：

2

S:sin22sincos





2222

2

C:cos2cossin2cos112sin





2

2

2tan

T:tan2

1tan











（2）二倍角公式的使用条件：①公式

22

SC



、

中的α∈R.②公式

2

T



中的

()

42

kkkZ



且

（3）运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是

两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是

2



、

4



的二倍角等等．

2．问题探究

探究一降幂公式

●活动①二倍角公式的变形

思考1:如何用cos2α表示2sin、2cos？

利用二倍角公式进行移项变形，由22cos212sin2cos1得：

2

1cos2

sin

2









、2

1cos2

cos

2









思考2:2

1cos2

sin

2









、2

1cos2

cos

2









这两个式子有什么共同特点？

由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)

我们称

①2

1cos2

sin

2









②2

1cos2

cos

2









为降幂公式．

【设计意图】教师与学生一起总结出降幂公式的特点,并告诉学生倍角公式和降幂公式被广泛

用于三角函数式的化简、求值、证明．

探究二半角公式★▲

●活动①半角公式的推导

思考1：⑴α与

2



有什么关系?

⑵如何建立cosα与

2



的三角函数之间的关系？

解析：α是

2



的两倍角；利用降幂公式，将公式中的α用

2



代替即可得cosα与

2



的三角函数

之间的关系．

在降幂公式2

1cos2

sin

2









、2

1cos2

cos

2









以及











2cos1

2cos1

cos

sin

tan

2

2

2







中，以α代替

2α以

2



代替α即得：

∴2

1cos

sin=

22



①cos2

2



=

1+cos

2



②2

1cos

tan

21cos











③

思考2：上面①②③式还可以怎样变形处理？

结果还可以变形为:

2

1cos

sin(S)

22





2

1cos

cos(C)

22





2

1cos

tan(T)

21cos











2

T



中：(21)()kkZ

并称之为半角公式(不要求记忆),符号由

2



所在象限决定．观察上面的①②③式，总结：用单

角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数．

思考3：半角正切公式还有其他的表示式吗？

2

sin2sincos

sin

222

tan

21cos

cos2cos

22













①

2sin2sin

1cos

22

tan

2sin

cos2sincos

222













②

该表达式中

tan

2



的符号由sinα确定，避免了符号的讨论，使用起来非常方便．

【设计意图】通过进一步的三角恒等变形，培养学生推导能力，同时使学生认识到新公式产生

的根源．

●活动②符号的确定

思考1：若给出的角α是某一象限的角时，怎么确定半角三角函数表示式前的符号？

原则：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在

2



所在象限的符号

就是右边的符号，根据下表决定符号：

α

2



sin

2



cos

2



tan

2



第一象限第一、三象限

,,



第二象限第一、三象限

,,



第三象限第二、四象限

,,

第四象限第二、四象限

,,



思考2：如果没有给出限定符号的条件，怎么办？

在根号前保留正负两个符号．

【设计意图】通过让学生自己探究发现问题的过程，明确利用半角公式求三角函数值易错的地

方．

探究三降幂公式、半角公式的应用★▲

●活动①归纳梳理，理解提升

（1）降幂公式：

①2

1cos2

sin

2









②2

1cos2

cos

2









（2）半角公式：

2

1cos

sin(S)

22





2

1cos

cos(C)

22





2

1cos

tan(T)

21cos











2

T



中：(21)()kkZ

sin1cos

tan=

21cossin











（3）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在

2



所在象限的符号就是右边的符号．

【设计意图】培养学生归类整理意识，并能熟练运用这些变形公式．

●活动②巩固基础，检查反馈

例1.若sin80°=m,则用含m的式子表示cos5°=________．

【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】由题意得：sin80°=cos10°=m,∴

1cos10122

cos5

222

mm



．

【思路点拨】利用半角公式求值，并准确判断符号．

【答案】

22

2

m

．

同类训练cosx=

7

9

,且

3

2

2

x





,则cos

2

x

=______．

答案：

22

3



解析：【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】∵

3

2

2

x





,∴

3

42

x



,

2

x

是第二象限角，

∴

7

1

1cos22

9

cos

2223

xx





．

点拨：利用半角公式求值，并准确判断符号．

例2.求22cos1

8





的值．

答案：

2

2

．

解析：【知识点】降幂公式的运用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】2

2

2cos1=cos11cos

8442





．

点拨：降幂化为特殊角的三角函数进行求值．

同类训练21+2coscos2=

_________．

答案：2．

解析：【知识点】倍角公式的灵活运用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】21+2coscos2=1+1+cos2cos2=2．

点拨：二倍角公式灵活化简．

【设计意图】巩固降幂公式、半角公式，并熟练应用．

●活动③强化提升，灵活应用

例3已知

43

sin,,

52





求

sincos,tan

222



，

．

【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】∵

3

,

2





∴

3

,

224





又∵

4

sin

5



，∴

3

cos

5



．

∴

3

1()

1cos25

5

sin=

2225







；

3

1

1+cos5

5

cos=

2225





；

sin

2

tan=2

2

cos

2









．

【思路点拨】利用半角公式时注意符号取值．

【答案】

25

5

；

5

5



；2．

同类训练化简：

1

tan+

8

tan

12





．

答案：

123

．

解析：【知识点】半角公式

1cos

tan

2sin









的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】原式=

23

1+cos

1-cos11

6

422

123

1

2

sinsin

462

2











．

点拨：利用半角公式

1cos

tan

2sin









，可避免“±”的讨论．

【设计意图】巩固半角公式，注意灵活选取半角的正切公式．

3．课堂总结

知识梳理

（1）降幂公式：

①2

1cos2

sin

2









②2

1cos2

cos

2









（2）半角公式：

2

1cos

sin(S)

22





2

1cos

cos(C)

22





2

1cos

tan(T)

21cos











2

T



中：)(,)12(Zkka

sin1cos

tan=

21cossin











重难点归纳

（1）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在

2



所在象限的符号就是右边的符号．

（2）运用半角的正切公式

1cossin1cos

tan==

21cos1cossin











，为避免符号的选择，最好

选用后面的两个公式．

（三）课后作业

基础型自主突破

1．下列各式恒成立的是（）

2

2

1cos1cos2

AtanBcos

2sin2

2tan

1cos

2

CtanDtan

1cos2

1tan

2





























.=.

..

答案：B．

解析：【知识点】降幂公式、半角公式以及适用条件．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】A选项中，要求除

)(,)12(Zkk外，还必须有

)(,Zkk；B选项中，

可以取一切实数；C选项中,要求

)(,

2

Zkk



且

)(,)12(Zkk；D选项中，要求

)(,)12(Zkk．

点拨：明确角α的限制条件．

2．设

5

3

2





，化简

1cos()

2



的结果是（）

A．

sin

2



B．

cos

2



C．

cos

2





D．

sin

2





答案：C．

解析：【知识点】利用半角公式进行化简．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵

5

3

2





，则

35

224





，

∴

1cos()1cos

=coscos

2222





．

点拨：注意“±”的选取．

3．设

56,cos,sin

24

a



求

．

答案：

1

2

a



．

解析：【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】若

56

，则

5

3

22





，∴

53

442





，则

1cos

1

2

sin=

422

a











．

点拨：利用半角公式．

4．已知

4

sin02)sincostan

5222



（，求、和

的值．

答案：见解题过程．

解析：【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归、分类讨论思想．

【解题过程】①当α在第三象限时，此时

3

cos

5



，

2



在第二象限，

33

1()1

sin

255

55

2

sincostan2

2252252

cos

2









=，=-=-，

②当α在第四象限时，此时

3

cos

5



，

2



在第二象限，

33

11+

sin

5251

55

2

sincostan

22522522

cos

2









=，=-=-，

点拨：注意对角α的范围进行分类讨论．

5．利用半角公式，求

sincos

1212





的值．

答案：

2

2



．

解析：【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

1cos1cos

62622

66

sincos=

121222442











．

点拨：利用半角公式转化为特殊角的三角函数求解．

6．函数2

1

sin2sin

2

yxx

，

Rx

的值域是（）

A．

13

,

22









B．

31

,

22









C．

2121

+,+

2222









D．

2121

,

2222









答案：C．

解析：【知识点】降幂公式、两角差的正弦公式逆用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】

2

1112221

sin2sin=sin2+(1cos2)(sin2cos2)

2222222

21

sin(2).

242

yxxxxxx

x







∵

Rx

，∴

sin(2)[1,1]

4

x





，∴函数的值域为

2121

+,+

2222









．

点拨：灵活利用公式进行变形化简．

能力型师生共研

7．化简

22222cos(34)

等于（）

A．

sin

16



B．2

sin

16



C．2

cos

16



D．

cos

16



答案：B．

解析：【知识点】半角公式的逆用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

2222cos2222cos222cos222cos

2244

=22cos=22cos=2sin2sin.

881616









原式

点拨：使根号下不含三角函数

8．求22sin20cos50sin20cos50

的值．

答案：

3

4

．

解析：【知识点】利用降幂公式、两角差的余弦公式化简．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】

2222

1cos401cos100

=cos70cos50

22

1

1[cos(7030)cos(7030)]cos(6010)cos(6010)

2

1sin70sin30cos60cos10sin60sin10

113

1cos20(1cos20)(1cos20)

288

3

4













原式

点拨：统一角、统一三角函数名称，化为特殊角的三角函数求值．

探究型多维突破

9．化简







2cos2

)

2

cos

2

)(sincossin1(





，其中(,2)

答案：cos．

解析：【知识点】三角函数式化简．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

2

2

22

(2cos2sincos)(sincos)2cos(cossin)(sincos)

2222222222

=

2cos

4cos

2

2

2cos(cossin)2coscos

2222

(,2),,cos0,=cos

222

2cos2cos

22

























原式

，原式

点拨：式中有角α及

2



，可用半角公式把α化为

2



的三角函数．

10．证明：

(sincos1)(sincos1)

tan

sin22









．

【知识点】三角函数式化简．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】

22

[sin(1cos)][sin(1cos)]

2sincos

sin1cos2cos1cos

tan

2sincossin2

















证明：左边

点拨：弦化切，统一三角函数名，利用半角正切公式化简．

答案：见解题过程．

自助餐

1．已知α是第三象限角，且

24

sin

25



，则

tan

2



等于（）

A．

3

4



B．

3

4

C．

4

3

D．

4

3



【知识点】半角的正切公式．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】由α是第三象限角及

24

sin

25



知

7

cos

25



,

∴

24

sin4

25

tan=

7

21cos3

1

25













.

【思路点拨】利用半角的正切公式，切化弦．

【答案】D．

2．等腰三角形顶角的余弦是

1

3

，则底角的正弦是_______，正切是_______．

【知识点】半角公式的运用．

【数学思想】化归思想．

【解题过程】设底角为α，则顶角为

-2，而

1

cos(-2)

3



，即

1

cos2

3



，∴

1

1

1cos26

3

sin=

223











，

1

1

1cos23

3

cos=

223











，∴

sin

tan2

cos









【思路点拨】利用半角公式求解．

【答案】

6

3

；2．

3．函数2()sin3sincosfxxxx

在区间

42









，

上的最大值是（）

A．1B．

1+3

2

C．

3

2

D．

1+3

【知识点】降幂公式、辅助角公式．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】由已知得

1-cos231

()sin2sin(2)

2226

x

fxxx





，当

42

x











，

时，

5

2

636

x











，

，

1

sin(2),1

62

x











，因此()fx的最大值等于

13

1=

22



．

【思路点拨】利用降幂公式、辅助角公式化简．

【答案】C．

4．已知tan222，且满足

42





，则

22cossin1

2

2sin()

4













的值为（）．

A．2B．2C．3+22D．322

【知识点】二倍角公式、降幂公式的运用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】

22cossin1

cossin1tan

2

=

cossin1tan

2sin()

4























.又∵

2

2tan

tan222

1tan











222tan2tan220

，解得

2

tan=2

2

或

.又

42





，∴

tan=2.∴

12

=322

21







原式．

【思路点拨】遇弦化切．

【答案】C．

5．已知sin222cos2，则2sin+sin2

．

【知识点】倍角公式、升幂公式的运用．

【数学思想】化归思想、分类讨论思想．

【解题过程】2sin22=2cos2,2sincos22(2cos1)

,即

2sincos2cos,cos0tan2或.

①当

cos0

时,

sin1

,22sin+sin2sin+2sincos101;

②当

tan2

时,

22

2

222

sin+2sincostan+2tan4+48

sin+sin2

sin+costan+14+15









【思路点拨】利用二倍角公式求解值时注意分类讨论．

【答案】1或

8

5

.

6．已知函数

)(,1cos2cossin32)(2Rxxxxxf

（1）求函数()fx的最小正周期及在区间

0

2









，

上的最大值和最小值；

（2）若

00

6

()=

542

fxx











，，

求

0

cos2x

的值．

【知识点】二倍角公式逆用，降幂公式的综合运用．

【数学思想】降元、化归思想．

【解题过程】（1）由题意得：2()23sincos2cos1=3sin2cos22sin(2)

6

fxxxxxxx





∴函数()fx的最小正周期为π．

因为

()2sin(2)

6

fxx





在区间

0

6









，

上为增函数，在区间

62











，

上为减函数，

又∵

(0)=1,()2,()1

62

fff





所以函数()fx在区间

0

2









，

上的最大值为2，最小值为－1．

（2）由(1)可知

00

()2sin(2)

6

fxx





．又∵

0

6

()=

5

fx

，所以

0

3

sin(2)=

65

x





，由

042

x











，

得

0

27

2

636

x











，

．∴2

00

4

cos(2)1sin(2)

665

xx





,

∴

0000

343

cos2cos[(2)]cos(2)cos+sin(2)sin

66666610

xxxx





．

【思路点拨】配凑角：

00

2=2)

66

xx



（

，将其化为已知角的三角函数值求解．

【答案】见解题过程．