对边比斜边

浅谈三角函数

摘要

三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期

现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于

三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。

关键词：数学三角函数定义运用

Abstract

Trianglefunctionhastheformula,flexible,rich,changeideological

characteristics,strongpermeability,describestheimportantmathematical

modelperiodicphenomenon,Inteachingandotherareasitplaysanimportant

perwilltrigonometricfunctionofsomeabouttheapplicationin

solvingpracticalproblemsdosimplediscussion.

Keywords:mathematicstrigonometricdefinitionu

2.1、引言

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古

代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，

在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题

的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的

发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。

在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密

(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础

上，也编制了所谓“弦表”，他藉助于几何知识，编制了弦长表，在编制中，也

曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希

腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。８－１２世纪，希腊文化

传入印度以及阿拉伯﹐在这些国家里，不但提出“正弦”一词﹐还以几何方法定

义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义﹐并编制了各

种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不

少贡献；阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274)在他的著

作《论四边形》里，首先把三角学从天文学中分割出来，看作为一门独立的学科。

１２－１５世纪，三角学传入欧洲，德国著名数学家列吉奥蒙坦

(Regiomontanus,1436-1476)与纳速拉丁一样，也把三角学看作一门独立学科，

着有《论各种三角形(Detriangulisomnimodis)》，其中重点讨论了三角形的

解法，并编制了十分精密的“正弦表”，还创造了一些三角公式，对三角学理论

提高到一定的水平，为三角学发展起到了不可忽视的作用。

2.2、三角函数定义

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任

意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所

以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理

学中也是常用的工具。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工

具。

2.2.1、锐角三角函数

在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C

为直角。则定义以下运算方式：

sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA＝a/c

cosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA＝b/c

tanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA＝sinA/cosA＝a/btanA记为

∠A的正切；

当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。

sinA＝cosBsinB＝cosA

2.2.2、常见三角函数

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点

的坐标为(x,y)。

在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六

种运算方法：图一

表一

基本函数英文表达式语言描述

正弦函

数

Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边

余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边

正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边

余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边

正割函数Secantcθ=r/x角θ的斜边比邻边

余割函数Cocantcscθ=r/y角θ的斜边比对边

2.2.3、非常见三角函数

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋

于淘汰：

表二

函数名与常见函数转化关系函数名与常见函数转化关系

正矢函数versinθ=1-cosθ半余矢函数hacoversθ=(1-sinθ)/2;

余矢函数coversθ=1-sinθ外正割函数excθ=cθ-1

半正矢函数haversθ=(1-cosθ)/2;外余割函数excscθ=cscθ-1

2.3实际应用

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中

的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值

问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到

神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。

2.3．1停车场设计问题

2.3.1.1、如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇

形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在

BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大

值和最小值。

分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长RP交AB

于M。若直接设RP的长度为x，则PM=100－x,在Rt△APM中，

AM=22)100(90x，从而得PQ=MB=100－22)100(90x，S=

（100－22)100(90x）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积图二

的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。

解：如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00<θ<900），则AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM

－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，∴S=PQ·PR=（100－90cosθ）·（100－90sinθ）=10000

－9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ。设sinθ+cosθ=t(1

2

12t

。

代入化简得S=

2

8100

（t－

9

10

）2+950。故当t=

9

10

时，S

min

=950(m2)；当t=2时，S

max

=14050

－90002(m2)

2.3.2、通讯电缆铺设问题

例2、如图，一条河宽km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离

是4km，今需铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水

下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺

设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为AD+DB时费用最少，因为河

宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨设

∠CAD=θ。

解：设∠CAD=θ（0<θ<900），则AD=c

θ,CB=15,BD=15－tanθ,

图三

A

CDB

河

θ

∴总费用为y=4cθ－2tanθ+215=





cos

sin24

+215

问题转化为求u=





cos

sin24

的最小值及相应的θ值，而

u=－2·





cos

2sin

表示点P（0，2）与点Q（cosθ,sinθ）斜率的－

2倍（0<θ<900），有图可得Q在

4

1

单位圆周上运动，当直线PQ与

圆弧切于点Q时，u取到最小值。此时K

PQ

=3，∴u

min

=23，θ=

6



。图四

即水下电缆应从距B城（15－

3

3

）km处向A城铺设，图三因此此时总费用

达最小值23+215（万元）。

注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函

数的有界性等方法。

2.3.3、食品包装问题

2.3.3.1、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果

的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料

最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满

足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多

少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA

及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=cotθ,

母线长l=

2cos

R

，高h=Rtan2θ，θ∈（0，

4



）。则S

全

=πRl+π

R2=πR(

2cos

R

+R)=πR2(

2cos

1

+1)=πcot2θ

(

2

2

1

1tan

1tan









+1)=

22

2

tan(1tan)





;图五

V=

3

1

πR2h=

3

1

πR2·Rtg2θ=

3

1

πR3tg2θ=

3

1

πctg3θ





21

2

tg

tg



=

3

1

π

)1(

2

22tgtg

∴当且仅当tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=

2

2

时，能使S

全

和V同时取到最小值，

P

AB

C

O

此时R=2，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2时能同时满足条件，

外包装用料是8π，体积是

3

8

。

2.3.4、营救区域规划问题

2.3.4.1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h

的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，

以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示

营救的区域。

分析：10要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建

立直角坐标系；

20题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设

机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到

达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为（x,y），

则















cos

sin

my

nmx

θ∈[0，

2



]。

∴|AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinθ≤m2+n2+2mn=（m+n）

2=900∵机艇中途东拐，∴x2+y2<900。…………①

又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=2msin(θ+

4



)+n≥

m+n=30,

∴x+y≥30…………②图六

满足不等式组①和②的点Q（x,y）所在的区域，按对称性知上图阴影区域所

示。

2.3.5、足球射门问题

2.3.5.1、在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助

攻到前场（如图，设球门宽AB=a米，球门柱B到FE的距离BF=b米），那么你推进到距底

线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角∠APB最大时为射门的最佳位置）？请

你帮助左前锋回答上述问题。

分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对题意进行

了明确，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求

解角”的过程是本题的关键。

若直接在非特殊△APB中利用边来求∠APB的最值，显得

比较繁琐，注意到∠APB=∠APF－∠BPF，而后两者都在Rt△

中，故可应用直角三角形的性质求解。图七

G

E

P

C

F

B

A

D

解：如图，设FP=x，∠APB=α，∠BPF=β（α、β为锐角），则∠APF=α+β，tg(α

+β)=

x

ba

,tgβ=

x

b

,tgα=tg[(α+β)－β]=





tgtg

tgtg





)(1

)(

=

x

bba

x

a





)(

。若令

y=x+

x

bba)(

，则y≥

x

bba

x





)(

2

=bba)(2，当x=

x

bba)(

,即x=bba)(

时，y取到最小值bba)(2，从而可知x=bba)(时，tgα取得最大值，即tgα

=

bba

a

)(2

时，α有最大值。故当P点距底线CD为bba)(米时，为射门的最佳

位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。

点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型ktAycos。另外，模拟汉书中的少数

点有误差是允许的，如本例中的（21，0.99）。

2.3.6、最值问题

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知

识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不

等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最

值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单

调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、

不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概

念性较强,具有一定的综合性和灵活性。图八

2.3.6.1如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中

AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地。

一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点

P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，

求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

解：设PAB,)900(00

,延长RP交AB于M，

易得PQ=MB=AB—AM=100—90cos，RP=RM—PM=100—90sin，

从而

cossin8100)cos(sin900010000)sin90100)(cos90100(

PQCR

S

矩形

令

cossint，)21(t，

则

2

1

81

2



t

tS

PQCR矩形

t(4050950)

9

10

2，故当

9

10

t

时，

PQCR

S

矩形

有最小值2950m；当2t时，

PQCR

S

矩形

有最大值2)2900014050(m

[思维点拔]引进变量建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.

2.3.6.2一条河宽1km，两岸各有一座城镇A和B，A与B的直线距离是4km，仅

需在A、B间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修

建费是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费

用达到最少？

图九

解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C,若从A到C再到B的线路铺

设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并不合算。

设在BC之间取一点D,CD=x(km),

,CAD

则x=tan,依题意知总施工费

用y(万元)的函数关系式为

)15tan0(),tan15(2tan14

)15(214

2

2







xxy

),15

cos

sin2

(2152

cos

sin24

)

cos

sin

15(2

cos

sincos

4

2

22

































y

令





cos

sin2

u

，则2cossinu

有

1

2

)sin(

2



u



（1）

31

1

2

1|)sin(|

2





u

u

，解得即

2

1)sin(1

,

3

,3tan3













即）知（由

时，则当u

CDB

A

)(2.11)153(2

6min

万元时，y





即先从B镇沿河岸铺设地下电缆至距离B镇)

3

3

15(km,处的D点,再从

D点向A镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。

总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问

题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”

建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相

关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数

单调性等。

参考文献

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/study/2006_B/e_?articl

eid=334&urid=9

［2］刘绍学.数学必修4［M］：人民教育出版社，2004.

［3］三角函数［OL］：/view/#2

［4］三角函数实际应用问题大盘点［OL］：数学中国

［5］阳慧三角函数最值问题的几种常见类型［J］当代教学论坛2010年第4

期

致谢

向组织或个人致谢；向协助完成研究工作，提供便利条件的组织或个人，

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