特解怎么求

4.3非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理

(UthemethodofVariationofConstantstofindparticularsolutionto

nonhomogeneoushigherorderLinearODE)

[教学内容]1.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.2.介绍非齐次线性方程特解的叠加

原理.3.介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）

[教学重难点]重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函

数满足的方程.

[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3

[考核目标]

1.灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.2.知道非齐次线性方程特解的叠加

原理.3.知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）

1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例）

(1)引例(1)求出方程xcscy'y';(2)

t

lnt

366x4tx''x't2的通解.这里

x

xxf

sin

1

csc)(和

t

t

tf

ln

36)(不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特

解的待定系数法来求解方程的特解.

(2)解法思路：考察f(t)q(t)x

dt

dx

p(t)

dt

xd

2

2

(**).为了求出方程（**）的一个特解，先

考虑相应的二阶齐次线性方程0q(t)x

dt

dx

p(t)

dt

xd

2

2

(*)，假定已知齐次线性方程的基本

解组)(),(

21

txtx，则齐次线性方程的通解为(t)xc(t)xcx(t)

2211

，其中

21

,cc为常数.

现假定方程（**）具有形如(t)(t)xc(t)(t)xc(t)x

~

2211

的特解（这就是常数变易法叫法由

来！），经计算得到

(t)]'(t)xc(t)'(t)x[c(t)](t)x'c(t)(t)x'[c(t)'x

~

22112211

，

注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数(t)c(t),c

21

，因此我们

添加一个限制条件0(t)](t)x'c(t)(t)x'[c

2211

；进一步求二阶导数得到

(t)]'(t)x'c(t)'(t)x'[c(t)]''(t)xc(t)''(t)x[c(t)''x

~

22112211

，

将(t)''x

~

(t),'x

~

(t),x

~

代入原方程得到，

f(t)'x'c'x'c]q(t)x'p(t)x''(t)[xc]q(t)x'p(t)x''(t)[xc

221122221111

，

注意到(t)x(t),x

21

为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方

程组











f(t)'c'x'c'x

0'cx'cx

2211

2211，由此运用克莱姆法则得到

]x,W[x

f(t)'x

0x

'c,

]x,W[x

'xf(t)

x0

'c

21

1

1

2

21

2

2

1

，这

里

'x'x

xx

]x,W[x

21

21

21

为Wronski行列式，是不为零的（为什么？）.

最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得(t)c(t),c

21

.

例56求解xcscy'y'的一个特解.

解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为0''yy，其特征方程为

012，特征值为i

2,1

.

于是相应的基本解组为sinxyx,cosy

21

.

第二步：假定原方程具有如下特解

2211

(x)yc(x)yc(x)y

~

，于是由常数变易法知，

(x)c(x),c

21

满足











f(x)'c'y'c'y

0'cy'cy

2211

2211，解得

1

cossin

sincos

coscsc

sin0

)('

1







xx

xx

xx

x

xc，

x

x

xx

xx

xx

x

xc

sin

cos

cossin

sincos

cscsin

0cos

)('

1







.

于是得到，β|sinx|ln(x)cα,x(x)c

21

，其中βα,为任意常数.

特别地，取0β0,α得到所求特解为sinx|sinx|lnxcos-x(x)y

~

.

例articularsolutiontothedifferentialequationlnxey2y''y'x.

Solution(1)Theequationhasstandardformandtheassociatedhomogeneouquationis

0y2y''y',whocharacteristicequationis0122.Thenweget1

2,1

and

correspondingfundamentalsolutionstohomogeneouquationarex

2

x

1

xey,ey.

(2)Suppotheoriginalequationhasthefollowingparticularsolution

2211

*(x)yc(x)ycy,

Thenwegetxlnef(x),

f(x)'cy'c'y

0'cy'cy

x-

2211

2211











.ByapplyingCramer'sRule,weget

xlnx

e

lnxxe-

xeee

xee

xeelnxe

xe0

'c

2x

2x

xxx

xx

xxx

x

1





















,lnx

xeee

xee

lnxee-

0e

'c

xxx

xx

xt-

-t

2













Weuintegrationbypartstodeterminethat

α

4

x

lnx

2

x

dx

2

x

lnx

2

x

xlnxdx-c

222

1

,

βxxlnxdx

x

x

xlnxlnxdxc

2

.

Particularly,wechoo0andgetaparticularsolutiontoourdifferentialequationis

x2x

2

xx

22

*ex

4

3

lnxe

2

x

x)xe(xlnx)e

4

x

lnx

2

x

(-y.

作业articularSolutionofthedifferentialequation

xe1

1

2y3y''y'



.

例58.求方程

t

lnt

366xtx'4'x't2的通解.

解：（1）相应齐次方程为06xtx'4'x't2，这是一个欧拉方程.令,etτ

其特征方程为064λ1)λ(λ，3λ2,λ

21

.于是相应齐次线性方程的基本解组为

33

2

22

1

tex,tex.

（2）改写原方程为标准形式

32t

lnt

36x

t

6

x'

t

4

'x'，记

3t

lnt

36f(t).

假定上述方程具有如下特解

2211

*(t)xc(t)xc(t)x，于是有











f(t)'cx'c'x

0'cx'cx

2211

2211，

4

2

32

2

3

3

1t

36lnt

3t2t

tt

3t

t

lnt

36

t0

'c



,

5

2

32

3

2

2t

36lnt

3t2t

tt

t

lnt

362t

0t

'c

运用分部积分法得到，

α4tlnt12tdtt12lnt12t)lntd(t12dtlnt36t(t)c334334

1

；

βt

4

9

lnt-9tdtt9lntt9-)lntd(t9-dtlnt36t(t)c445445

2

特别地，取0，得到原方程的一个特解)

4

7

(3lnt

t

1

(t)x*.

因此，原方程的通解为)

4

7

(3lnt

t

1

βtαtx(t)32，其中βα,为任意常数.

作业52.求解22t34t6xtx''x't的通解.

2.非齐次线性方程的叠加原理

（1）参见教材P131，习题2.

例59求方程

sint

1

1x'x'的一个特解.

解：令

sint

1

(t)f1,(t)f

21

.

(1)考察相应齐次线性方程0x'x'，其特征方程01λ2的特征根为iλ

1,2

，相应的

基本解组为sintxt,cosx

21

.

(2)考察非齐次线性方程(t)fx'x'

1

，假定方程具有特解Ax

ˆ

，代入方程运用待定系数

法求得1x

ˆ

.

(3)考察非齐次线性方程(t)fx'x'

2

，运用例56的结果知，sint|sint|lntcos-t(t)x

~



(4)由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解sint|sint|lncostt1x*.

作业53.求方程17sin(2t)4e5x2x''x't的通解.

3.一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法

（1）乘积求导法则：'u(x)v'(x)v(x)u''(u(x)v(x))，

'u(x)v'(x)v'2u'(x)v(x)'u'''(u(x)v(x)).

例60.求解方程(1)02y4xy''1)y'(x2;(2)02y2xy''y'x2通解.

解：(1)令1xu(x)2，于是方程的左端为'y(x))'(u(x)，于是得到

βxαu(x)y(x)，其中βα,为任意常数.

于是得到原方程的通解为

1x

βx

1x

α

y(x)

22





，其中βα,为任意常数.

（2）经观察不能直接运用乘积求导法则，令

v

2

(x)'u',

v(x)

x

(x)u',

v(x)

x

u(x)

2





，

由

v

x

v

vx2xv

(x)u'

2

2





，解得3xv(x)，此时

x

1

u(x)，验证可知

v

2

(x)'u'.

原方程两边同除以v(x)，得到新方程为0')'

x

y

(0,y

x

2

y'

x

2

x

'y'

32

，解得通解为

xβα

x

y

，于是原方程的通解为2xβαxy，其中βα,为任意常数.

作业53.求解方程(1)06xyy'6x'1)y'(x23的通解.

(2)考察方程0q(t)x

dt

dx

p(t)

dt

xd

2

2

，假设λtex代入得到特征方程

0q(t)p(t)λλ2，若特征方程有实常数根

1

λ，则原方程具有解tλ

1ex.(直接代入验证

知结论成立)

例61.求方程（1）0yx)y'(1'xy'的通解；（2）2x2exyx)y'(1'xy'一个特解.

解：(1)改写原方程为标准形式为0y

x

1

y'

x

x)(1

'y'



，原方程的特征方程为

0

x

1

λ

x

x)(1

λ2



，可得一实根1

1

，于是原方程存在一个解函数x

1

ey.由刘维尔

公式（教材P132习题6或讲义例42）知，与(x)y

1

线性无关的解为

1xdxxeedxe

y

1

(x)y(x)yxx

dx

x

x1

2

1

12









（这里积分只是指的是一个原函数）

综上知，原方程的通解为1)(xcecy

2

x

1

，Rc,c

21

.

(2)运用常数变易法求解.(略）

作业54.求方程（1）0yy'x'x)y'-(1的通解；（2）2x)-(1yy'x'x)y'-(1一个特

解.