XDX

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Y

卷终公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向

了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如

今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以

说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般

之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运

算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤

简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一基本初等函数的不定积分18式：

幂函数

1

1

,1;

(1).

1

ln||,1.

xC

xdx

xC

































指数函数

1

(2).

ln

(3).

xx

xx

adxaC

a

edxeC









对数函数

(4).logloglog

(5).lnln

aaa

xdxxxxeC

xdxxxxC









三角函数

(6).sincos

(7).cossin

(8).tanln|cos|

(9).cotln|sin|

11sin

(10).cln|ctan|ln

21sin

(11).cscln|csccot|ln|tan|

2

xdxxC

xdxxC

xdxxC

xdxxC

x

xdxxxCC

x

x

xdxxxCC





























反三角函数

2

2

(12).arcsinarcsin1

(13).arccosarccos1

xdxxxxC

dxxxxC









2

2

1

(14).arctanarctanln(1)

2

1

(15).arccotarccotln(1)

2

xdxxxxC

xdxxxxC









2

2

(16).arccarccln(1)

(17).arccscarccscln(1)

xdxxxxxC

xdxxxxxC









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常数函数(18).RdxRxC

上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于

正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。

公式二含axb的积分（要指出a非零）10式：

2

1

(19).()

2

1

(20).()(),1

(1)

11

(21).ln||

a

axbdxxbxC

axbdxaxbC

a

dxaxbC

axba









































对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。

2

2

22

3

1

(22).(ln||)

11

(23).()2()ln||

2

x

dxaxbbaxbC

axba

x

dxaxbbaxbbaxbC

axba



















对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式

1

1

xb

axbaaxb











，则得其积分是显的：

111

()ln||

xbb

dxxdaxxaxbaC

axbaaaxbaa











。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余

多项式除法算得：2

2

2

11

()2

xx

axbabb

axbaaxbaxb











，然后利用第一个积分式即可得到结论。

22

11

(24).ln

()

11

(25).ln

()

axb

dxC

xaxbbx

aaxb

dxC

xaxbbxbx

















对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论

所得到的。我们注意第一式中有

111111

()(/)/

b

xaxbaxxbaaxxbaa











，积分即得。对于第二式依然

可用分离拆项的方式：

22

1()11

()()

axbaxa

bxaxbbxbxaxb







，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系

数的方法完成。

22

22

23

22

1

(26).ln||

()

1

(27).2ln||

()

111

(28).ln

()()

xb

dxaxbC

axbaaxb

xb

dxaxbbaxbC

axbaaxb

axb

dxC

xaxbbaxbbx

































公式三含

axb

的积分9式

3

3

2

2223

3

2

(29).()

3

2

(30).(32)()

15

2

(31).(15128)()

105

axbdxaxbC

a

xaxbdxaxbaxbC

a

xaxbdxaxabxbaxbC

a













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第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我

们有：

33

22

()()

33

x

xaxbdxxaxbdxaxbdxdxaxbaxbdx

aa



其中，对上式右侧的3

2

()

3

axbdx

a

再次使用凑微分的方法，即可得解：



5

33

2

22

3

33

2

22

224

()()()()

3315

242

()()()32()

31515

axbdxaxbdaxbaxbC

aaa

x

xaxbdxaxbaxbaxbCaxbaxbC

aaa









同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。

2

2

222

2

2

(32).(2)

3

2

(33).(348)

15

x

dxaxbaxbC

a

axb

x

dxaxabxbaxbC

a

axb













利用凑微分的方式，我们显然有不定积分

1()2dxdaxb

axbC

aa

axbaxb







，本组公式可以考

虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：

3

2

22

2224

()

3

242

()(2)

33

xxx

dxaxbaxbdxaxbaxbC

aaaa

axb

x

axbaxbCaxbaxbC

aaa















二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。

1

ln,0

(34).

2

arctan,0

axbb

Cb

baxbb

dx

xaxb

axb

Cb

b

b



































该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有

axb

的不定积分等式。但是该积分是不好

计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这

一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令22

,

tbt

axbtxdxdt

aa





，

于是

22

21

2

()

dxat

dtdt

tbtatb

xaxb







，显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论

b

的正负来决定

之后使用的不定积分公式：如果

b

是负的，那么显然会使用反三角，如果

b

是正的，则可能使用三角换

元：

2

2

cln|ctan|

2

111

0:(sinarcsin(/))

[sinarcsin(/)]1

11

(arcsin(/))

cosarcsin(/)

1

lncarcsin(/)tanarcsin(/)

11sinarcsin(/)

ln

1sinar

xdxxxC

bdtdtb

tb

btb

dtb

btb

tbtbC

b

tb

b

























21(/)

11

lnln

1(/)2

csin(/)

tb

tb

CCC

btbbtb

tb









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然后将

axbt

带入上式得原积分

2

11

2ln,0

axbb

dtCb

tb

baxbb









。另外对于负的

b

，有：

2

22

11111

0:arctan

||

||||||||

/||1

1

arctan

tt

bdtdtdC

tbtb

bbbb

tb

axb

C

b

b

























即原积分

2

arctan,0

axb

Cb

b

b









。该不定积分公式对于负数的

b

计算是很容易的。

0

2

0

0

2

(35).

2

(36).2

(37).

2

dxaxbadx

C

bxb

xaxbxaxb

axbdx

dxaxbbC

x

xaxb

axbaxbadx

dxC

xx

xaxb

























注意到微分公式

2

a

daxbdx

axb





，故上面公式均可以分部积分公式指出。

公式四含有22xa

的积分3式

22

0

2222212221

22

1

(38).arctan

||||

23

(39)....

()2(1)()2(1)()

1

(40).ln

2

nnn

dxx

C

xaaa

dxxndx

C

xanaxanaxa

dxxa

C

xaaxa

























一式用凑微分的方式以及微分公式

2

1

(arctan)

1

dx

x





容易得出。第二式是利用分部积分公式给出的

递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是

有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：



22

1111

ln||ln||

22

dx

dxxaxaC

xaaxaxaa













公式五含有2(0)axba

的积分7式

除开显然的3

2()

3

ax

axbdxbxC不列为公式表所用之公式外，其余均与2axb

有关，不过在

下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。

2

1

arctan,0

1

(41).

1

ln,0

2

a

xCb

b

ab

dx

axb

axb

Cb

abaxb





























是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切

的分母是加法运算，因此如果这里

b

是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。

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









2

2

22

22

1111

arctan,0

1

sinarcsin

11111

||

1

1sinarcsin

arcsin

1sinarcsin

111

ln

2

cosarcsin1sina

ax

b

a

b

ax

a

b

b

a

a

b

b

a

b

baxa

dxdxCb

axbbab

bab

dx

ax

dxdxd

axbaxbabab

b

x

dx

x

abab

x



























































11sin

,cln

21sin

rcsin

11

ln,0

2

a

b

x

CxdxC

x

x

bax

Cb

ab

bax























该公式的证明中再一次的遇到了

22

dx

xa

形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，

而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学

习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。

2

2

2

0

22

2

22

0

222

2

32222

222

1

(42).ln||

2

(43).

1

(44).ln

()2

1

(45).

()

1

(46).ln

()22

11

(47).

()22

x

dxaxbC

axba

xxbdx

dxC

axbaaaxb

dxx

C

xaxbbaxb

dxadx

C

xaxbbxbaxb

dxaaxb

C

xaxbbxbx

dxxdx

axbbaxbba





































0

2

C

xb







一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三

式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下：

22

222

111xaxbbb

dxdxdxdx

axbaaxbaaaxb









2

2222

2

2

2

111111

ln()

()()2

111

lnln()ln

22

dxbax

dxdxxdaxC

xaxbbxaxbbxaxbbaxb

x

xaxbCC

bbbaxb



















类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项：

2222222

32323232

2

222

111

()()()

1111

()()()

1

ln

22

adxadx

xaxbbxbaxbxaxbbxbaxb

dxxdxxadxa

dxdx

xaxbxxaxbxbxbaxbbxbxaxb

aaxb

C

bxbx























但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑：

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222

22222

222

12

()

111111

()222

111

22()

ax

d

axbaxb

dx

dd

axbaxaxbaxaxbaxbax

dx

axaxbaxaxb





























接着带入公式（45）即得所证。

公式六含有2(0)axbxca

的积分2式

先给出最基本的积分：

2

22

2

2

2

22

22

arctan,4

44

(48).

124

ln,4

424

axb

Cbac

acbacb

dx

axbxc

axbbac

Cbac

bacaxbbac

































该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不

定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，

并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我

将在此引入虚数单位i，并规定21i

：

2

111111

ln

()()

dxdxxR

dxC

axbccaxRxSaRSxRxSaRSxS















这里的

,RS

为20axbxc的两根，则：

如果240bac，那么

222444

22

bbacbbacbac

RS

aaaa





，则积分式即为

2

1

2222

12422

ln,,Constant

42444

axbbac

CRSCC

bacaxbbacbacbac















否则为24iacbi

RS

aa





，则积分变为：

2

2

2

2

2

22

122

LnLnConstant

22

(2)2(2)

LnConstant

(2)

(2)2(2)2

lnarg

(2)(2)

2

axbiiaxbi

C

iaxbiaxbi

iaxbaxbi

axb

iaxbaxbiaxbi

i

axbaxb

axb

















































422

22

Constant

(2)2(2)12

lnargConstant

[(2)]

2

12

argConstant

2

i

iaxbaxbaxbi

axb

axbi

axbi

axbi











































这里值得注意的是辐角

2

arg

2

axbi

axbi













的取值问题，我们选择

,

22











这个区间并考虑反正切表示，则

这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式240bac

依然无法断言2axb之正负，

这对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数

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单位，则：

2

2

2(2)(2)

argarg2arg

2(2)

(2)

(2)2

2arg(1)2arg22arctan

(2)

axbiaxbiaxbi

axbiaxbi

axb

axbiaxb

axb











































将该式与

2

2

Constant

4

C

acb







带入不定积分式，得：

2

2222

22

12

argConstant

2

2222

arctan

4444

22

arctan

44

dxaxbi

axbcc

axbi

axb

C

acbacbacbacb

axb

C

acbacb

































虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。

2

22

1

(49).ln||

22

xbdx

dxaxbxc

axbxcaaaxbxc







以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的：

2222

12121

222

xaxbbaxbb

axbxcaaxbxcaaxbxcaaxbxc







公式七含有22(0)xaa的积分14式

含22(0)xaa

的不定积分，通常会考虑的变换是221tancxx

，特别是出现在分母中的根式，

这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。

不过在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些

时候没有双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的：

22

12

22

223222

22

22

22322

22

2222

22

2

22

22322

(50).arsinhln()

(51).

()

(52).

1

(53).

()

(54).ln()

22

(55).ln()

()

dxx

CxxaC

a

xa

dxx

C

xaaxa

x

dxxaC

xa

x

dxC

xaxa

xxa

dxxaxxaC

xa

xx

dxxxaC

xaxa





































第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设

22

arsinhcosh

cosh

1sinh1

dxdxdx

yxdxydydy

y

yx





，因此对于第一个不定积分式，采用凑的方

式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：

sinh

2

2222

223223

cosh111

(1tanh)tanh

cosh

()(cosh)

xaydxaydydy

ydyyC

ayaa

xaay







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其中，将arsinh

222

22222

11sinh1

tanh

1sinh1()

x

x

y

a

a

x

a

yx

y

aaa

yaax







回带，即得之所证。

三、四均是由微分公式1

2

dx

x



直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接观察到亦不妨

以双曲换元的得出：

sinh

22

22

sinhcosh1

cosh

cosh

xayxyy

dxdxyCaxC

aya

xa







于是四式也可如法炮制：

sinh

223/2223/222222

sinhcoshsinh111

(cosh)

()(cosh)coshcoshcosh

xayxayyy

dxdydydyC

xaayayayay







五式、六式可以凑得之：

2

22

22

x

dxxdxa

xa





，2

22322

1

()

x

dxxd

xaxa













，再以分部积分得：



22

2222222222

22

sinh

22222

2

223222222

ln()

22

sinh2

cosh

24

1

()

xay

xxa

dxxdxaxxaxadxxaxxaC

xa

yy

xadxaydyaC

xxdx

dxxd

xaxaxaxa





































这样就完成了五式和六式。

22

22222222

12

2232222422

22223

2222222422

(56).ln()arsinh

2222

3

(57).()(25)ln()

88

1

(58).()

3

1

(59).(2)ln()

88

xaxax

xadxxaxxaCxaC

a

x

xadxxaxaaxxaC

xxadxxaC

x

xxadxxaxaaxxaC

















一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：

2

22

2

arsinhln1ln(1)lnln(1)Constant

xxx

xxaxx

aaa











二式以双曲换元得到积分44coshaxdx，以降幂进行变形，所得积分的计算是容易的：

42

1

coshcosh22cosh21

4

xdxxxdx

在得出结果之后，再以（二）倍角公式将

2x

和

x

还原为

x

即得二式右侧。

三式凑的方式即得其之所证。

四式以分部积分，并二式，即得之所证。

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22

22

22

2

222

2222

22

2222

22

2

1

(60).ln

||

(61).

(62).ln

||

(63).ln()

dxxaa

C

ax

xxa

dxxa

C

ax

xxa

xaxaa

dxxaaC

xx

xaxa

dxxxaC

xx





























先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。转化三角积分时，以正切与正割的恒等式可

得2

2

c1

csc

tanc

aydy

ydy

ayya

，转化双曲积时，以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得

2

cosh1

csch

sinhcosh

aydy

ydy

ayya

，最后以余割或双曲余割的积分得到结果。

二式典型的转化为三角积分2

222

c1c1

csccot

tanctan

aydyydy

yydy

ayyaya

，这是典型的余割函数的导

数公式

1

(csc)'csccot

sintan

xxx

xx



。

注意到22222222

2

22

xaxxaxaxxadx

dxxda

xxxx

xxa

















，带入一式。又注意到

2222

22

2

22

1xaxadx

dxxad

xxx

xa















，带入（50）式。

公式八含2(0)axbxca

的积分6式

2

2

1

(64).ln|22|

dx

axbaaxbxcC

a

axbxc







利用最值公式对分母配方，得：

222

2

2

2

2

2

2

222

1

2

4

4

24

22

14ln2

ln

222

24(2)4

1ln2

ln

2

b

dx

dxdx

a

a

axbxc

bacb

bacb

ax

x

aa

aa

bbacba

xxC

aaa

aa

axbaaxbacb

a

C

a

aa





















































































222

2

1ln2ln2

ln|24444|

1

ln|22|

aa

axbaaxabxacC

aaa

axbaaxbxcC

a











2

222

3

24

(65).ln|22|

4

8

axbacb

axbxcdxaxbxcaxbaaxbxcC

a

a





首配方，再凑微分，并公式（56），得：

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2

22

22

2

2

2

2

22

2

22

44

24222

4

2

222

144(

ln

22222

bacbbacbb

axbxcdxaxdxaxdx

aaaaa

b

x

bacb

a

ax

aa

acbbbacb

xxC

aaaa



















































































2

3

2

222222

222

2

2

3

2

22

3

2

3

4)ln2

8

ln

22

2422

ln

42

8

(4)ln2

8

24

ln|22|

4

8

4

ln2

8

acba

a

xa

xadxxaxxaC

axbaaxbxcacbaxbaaxbxc

a

aaa

a

acba

C

a

axbacb

axbxcaxbaaxbxc

a

a

acb

aC

a

















































2

3

2

22

3

(4)ln2

8

24

ln|22|

4

8

acba

a

axbacb

axbxcaxbaaxbxcC

a

a















这里的推理虽然是相对复杂的，但是对于一些好算的数值计算，这个推理过程会得到大大的简化。在这

两个积分的基础上，下面的积分相对是容易计算的：

22

23

1

(66).ln|22|

2

xb

dxaxbxcaxbaaxbxcC

a

axbxca







用凑微分的方式进行变换：

2

2222

121()

222

xaxbbdaxbxcbdx

dxdx

aaa

axbxcaxbxcaxbxcaxbxc









剩下的计算是容易的。

22

12

(67).arcsin

4

dxaxb

C

a

axbxcbac









依然是配方，与（64）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。

2

22

32

242

(68).arcsin

4

84

axbbacaxb

axbxcaxbxcC

a

abac









依然是配方，与（65）不同的是，根号下的加号变成了减号，从而适用反三角的表示。

2

232

12

(69).arcsin

24

xbaxb

dxaxbxcC

a

axbxcabac









用凑微分的方式进行变换，其方法同于（66）。

在（64）（67），（65）（68）和（66）（69）的比较中我们可以发现，对于任意非零的实数

a

，除了后

面的对数部分外，其表示形式都是一样的，例如我们以（64）（67）为例，将两个公式和在一起写，并把

对数部分写成对应的反三角形式的不定积分之后，则可以写成：

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22

22

2

arsinh

1

4

,0

2

arcsin

4

dxaxb

axbxcacb

Ca

dxaxb

a

axbxcbac





























其相似度可见一斑，那么我们将会询问这是为何。这里我将再度引入虚数单位i，并规定其满足21i

，

借助欧拉公式和双曲三角函数的定义，我们考察正弦函数得到的是这样一个结果：

sinsinh

2

ixixee

xiiix





，令之为

y

并反解之，得

arcsinxy

的同时，也得到了另一个结果：

arsinh()xiyi

，也就是说得到一个转化等式

arcsinarsinh()iyyi

，这个结果是令人感到惊奇的，如果

在上述积分中我们无视a为正数之情形，并对负的a直接使用反双曲的结果，同时引入虚数单位i，根据

负数的平方根等于其绝对值开根后与虚数单位作乘积这一规定，即得：

222

2

22

12||2||

arsinharsinh

||||

4||4||

2||12||

arcsinarcsin

||||

4||4||

dxaxbiaxb

CiC

aia

axbxcacbiacb

iaxbbax

C

aa

acbacb































这与直接使用反正弦的结果是一样的。这个结果表明，（64）（67），（65）（68）和（66）（69）是可以统一

的。

公式九含22(0)xaa的不定积分14式

公式组七给出了22(0)xaa型的不定积分，此处继公式七之讨论，以及公式七和公式九的推

演思想，给出根号下取负号的不定积分。

22

12

22

223222

22

22

22322

22

2222

22

2

22

22322

||

(70).arcoshln||

||

(71).

()

(72).

1

(73).

()

(74).ln||

22

(75).ln|

()

dxxx

CxxaC

xa

xa

dxx

C

xaaxa

x

dxxaC

xa

x

dxC

xaxa

xxa

dxxaxxaC

xa

xx

dxxxa

xaxa



































|C

在（50）~（55）六式中，引入虚数单位，并ai替换

a

即可证明上面六式的正确性。不过对于（70）式要

注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数。

在22

12

22

arsinhln()

dxx

CxxaC

a

xa





中取ai替换

a

得：

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2

22

2

22

2

arsinharcoshcosharsinharcosh1sinharsinh

arcosh1arcosh

dxxxx

CCC

aiaiai

xa

xax

CC

aia

















2

222222

2232222422

22223

2222222422

(76).ln

22

3

(77).()(25)ln()

88

1

(78).()

3

1

(79).(2)ln()

88

xa

xadxxaxxaC

x

xadxxaxaaxxaC

xxadxxaC

x

xxadxxaxaaxxaC

















在（56）~（59）四式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面四式的正确性。

22

22

2

222

22

22

2222

22

2

1

(80).arccos

||

(81).

(82).arccos

||

(83).ln

dxa

C

ax

xxa

dxxa

C

ax

xxa

xaa

dxxaC

xx

xaxa

dxxxaC

xx



























在（60）~（63）四式中，引入虚数单位，并ai替换a即可证明上面四式的正确性。其中对于较为特殊的

（80）和（83）中，我们注意以虚数单位替换之后，原本的对数表达式变为了附带虚数单位的表达式：

2

2

22222222

LnLnlnarg

||||||||||||||

0arcsinarcsinarccos

||||2||

xaaixaaixaaxaai

i

xxxxxxx

aaa

iii

xxx





























于是：

22

22

22222

11

arccosarccos

||2||2

arccosarccos

||2||2

dxaa

iCC

aixaxa

xxa

xaaaa

dxxaaiCxaaC

xxx









































公式十含22(0)axa的不定积分14式

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22

223222

22

22

22322

22

22

22

2

22322

(84).arcsin

(85).

()

(86).2

1

(87).

()

(88).arcsin

22

(89).arcsin

()

dxx

C

a

ax

dxx

C

axaax

x

dxaxC

ax

x

dxC

axax

xxax

dxaxC

a

ax

xxx

dxC

a

axax





































（84）（86）（87）均以凑的方式即可证明，其中（84）利用了反正弦函数的微分公式，（86）（87）

实际上就是幂函数的复合所得，因此可以考虑凑出根式内的微分，然后以幂函数的积分公式计算最终结

果。

（85）以三角换元完成计算：

sin

2222

223222322

cos11

tan

cos

()(sin)

xaydxaydydyx

y

ayaa

axaayax







对（88）（89）各自使用分部积分即可完成演算：





2

222222

22

2

222222

2

2

222

2222

()

cos1cos2

2

(/)1/

sin2

arcsin

2422

x

dxxdaxxaxaxdx

ax

a

xaxatdtxaxtdt

axaxa

atatax

xaxxaxC

a















将上式所得最后的第三项分式进行处理，将其中一个

a

乘进根式里，再与第一项合并即可。（89）式在处

理的思想上是与之一致的，考虑分部积分，然后利用三角换元或者之前已经给出的不定积分式处理：

2

223222222

1

()

xxdx

dxxd

axaxaxax













22

22

22

2

222

1

(90).ln

||

(91).

dxaax

C

ax

xax

dxax

C

ax

xax

















显然使用三角换元是容易的：

2

22

sin

22

22

sin

2222

222

11sin

1111

cscln|csccot|lnln

sin

11cos1

sinsin

xay

xay

y

dxaax

ydyyyCC

aaayax

xax

dxdyyax

CC

ayayax

xax























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2

2222

22322224

2222

4

2222222

(92).arcsin

22

3

(93).()(5)2arcsin

88

1

(94).

3

(95).(2)arcsin

88

xax

axdxaxC

a

xx

axdxaxaxaC

a

xaxdxaxC

xax

xaxdxxaaxC

a

















（92）式的证明与（56）式的推理类似，虽然我在前面指出（56）式的思路使用三角换元是显然的，

但是真正处理起是来略微不便的：

22

sin

2222

22

2222

sin2

cos

24

sin1sin

arcsin

2222

xayayay

axdxaydyC

ayy

ayaxxax

CC

a











因此如果我们在已经建立了积分公式2

2222arsinh

22

xax

xadxxaC

a

的情形下，承认并使用这

个积分公式来推导（92）式会比单独在证明（92）容易得多：在上述实数积分中引入虚数单位

i

并承认

21i

，则令自变量以

ix

替换之，则可立刻得：

22

22222222

11

()()arsinharcsin

2222

xiaxxax

axdxixadixaxiCaxC

iiaa

















这样就完全可将（92）式与（56）式统一为同一公式。而同理的，可以在（57）（58）（59）中均引入虚

数单位，则（93）（94）（95）的证明可以大幅度化简：

22322322224

22224

113

()[()]()(25)arsinh

88

3

(52)arcsin

88

ixx

axdxaixdixxaxaaiC

iia

xx

axaxaC

a



















2222223

1

()()()()

3

xaxdxixixadixxaC

222222

44

22222222

1

()()()

1

(2)arsinh(2)arcsin

8888

xaxdxixixadix

i

ixaxxax

xaxaiiCxaaxC

iaa



















2222

22

2222

2

(96).ln

||

(97).arcsin

axaax

dxxaaC

xx

axaxx

dxC

xxa













在关于22xa

的积分中指出

2222

22

2222

2

ln

||

arsinh

xaxaa

dxxaaC

xx

xaxax

dxC

xxa



























，即公式（62）和公式（63），

同上之所证，利用虚数及公式（62）（63）可证明（96）（97）：

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22

222222

2222

22

222222

22

()

()lnln

||||

()

11

()arsinharcsin

()

axi

axxaaaax

dxdxixaaCxaaC

xxixx

xia

axxaxaxx

dxdxiiCC

xixiixiaxa































公式十一含

xa

xb







，

()()xaxb

，

0,0ab

的积分4式：

2

(98).()()ln(||||)

(99).()()arcsin,()

(100).2arcsin,(),()

()()

2()

(101).()()()()arcsin

44

xaxa

dxxbbaxaxbC

xbxb

xaxaxa

dxxbbaCab

bxbxba

dxxa

Cabab

ba

xabx

xabbax

xabxdxxabx































,()

a

Cab

ba







由分部积分公式得：

2

2

1

()()()()

2()

1

()()

2()2

()()

Kb

xaxaxaxaabxb

dxxKxKdxKxKdx

xbxbxbxbxbxa

xabaxKxbxaba

xKdxxbdx

xbxbxaxb

xaxb





















其中：







||||

11

()()||||()()

||||

111

2

||||||||||||

||||||||

222ln||||

||||||||

xaxb

dxdx

xaxbxaxbxaxb

dxadxb

dxdx

dxdx

xaxbxaxbxaxb

dxadxbdxaxb

xaxbC

xaxbxaxb



































带回上式得()ln||||

22

xaxababa

dxxbxaxbC

xbxb













即为（98）式之所证。

（98）式的给出，亦可使用还原的方式证明，考虑到不定积分本身具有根号，其干扰运算性太强，

考虑强行抹消根号，于是令2

222

2

()

1(1)

xaabttdt

txdxab

xbtt







：

对于上式第二项中积分，可令，则得到，然后以三角函数处

理，得：

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接着是计算式中的诸三角函数，可利用三角恒等式，如果限定了k为锐角，亦可借助直角三角形，我在

此选择后者：

最后把

xa

t

xb







带回，即得：

同理对于（99）式换元之后，亦可解之，但鉴于计算复杂，这里不用换元的方法，我依然采用分部积分

的方式：

2

2

1

()()()()

2()

1

()()

2()2

()()

Kb

xaxaxaxababx

dxxKxKdxKxKdx

bxbxbxbxbxxa

xabaxKbxxaab

xKdxxbdx

bxbxxaxb

xabx





















其中：





2

111

22

()()()()

211

22arcsin

1

1

dxdxadxa

xabxbxbaxa

xaxa

dxadC

baba

baxa

xa

ba

ba









































带回则完成证明。

根据反三角的计算公式，考虑到根式恒正，因此上式中的反三角亦可写作：

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2arcsinarcsinarcsinarcsin21

2()()

arcsin

xaxaxaxaxa

bababababa

xabx

ba

































因此写作2()()

1

arcsin

()()

xabx

dxC

ab

xabx

















亦是正确的。亦可通过公式（67）

22

12

arcsin

4

dxaxb

C

a

axbxcbac







来计算，得到：

22

2()2()

arcsinarcsin

()()

()()4

dxdxxabxab

CC

ab

xabx

xabxababab













通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的：

2111

2arcsin

()()

12

dxa

dxbaba

xaxaxabx

baba





















2

2

2()

2

444()

()

2

2()1212

arcsin

1[]

11

()()

xab

abxxab

ab

ab

dxab

dxababab

xabx

abxaxbx





























2()222

2

2()1221

arcsin

()()

()44()()

1[]xab

ab

dxab

dxabab

xabx

abxxabab





















换言之，我们得到

1

()()xabx

具有三个我们可能会计算出的原函数：

2arcsin

xa

ba





，

2()()

arcsin

xabx

ab













以及

2()

arcsin

xab

ab





当我们得到该结论之后，对于第（100）式的证明方法就很多了，最简单的就是通过已建立的公式（68）

来完成

对于不定积分公式（100），其推理在（99）之中已经给出。

由公式（68）：2

22

32

242

arcsin

4

84

axbbacaxb

axbxcaxbxcC

a

abac







，得：

2

2

2

1

2

2

1

2

2

()()()

2()()42()

()arcsin

48

()4

2()()2()

()()arcsin

48

2()()

:()()arcsin

44

2()

:(

4

xabxdxxabxabdx

xababacxab

xabxabC

abab

xababxab

xabxC

ab

xababxa

orxabxC

ba

xab

orx



























2

3

2()()

()

)()arcsin

8

xabx

ab

abxC

ab







































上式所给出三个不定积分的形式，均是正确的。

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公式十二含三角函数的不定积分23式

除了基本初等三角函数之外，本组公式总结更为复杂的三角积分，其中包含了递推关系，凑微分以

及分部积分等方法来完成其推理。

2

2

2

2

2

2

1

(102).sinsin2

24

1

(103).cossin2

24

(104).tantan

(105).cotcot

(106).ctan

(107).csccot

x

xdxxC

x

xdxxC

xdxxxC

xdxxxC

xdxxC

xdxxC

























（102），（103）以降幂公式变形，再以基本初等函数的积分直接积分得到。（104）~（105）实质上

就是导数公式的逆，因此我们如果要证明，只需以导数公式指出即可：

22

22

2

2

22

sincossin

(tan)'()'c1tan

coscos

tan(tan)'tan

ctantan

xxx

xxx

xx

xdxxdxdxxxC

xdxdxxdxxC

























22

22

2

cossincos

(cot)'()'csc(1cot)

sinsin

xxx

xxx

xx





2

22

cot(cot)'cot

csccotcot

xdxxdxdxxxC

xdxdxxdxxC





















12

12

12

12

11

(108).sinsincossin

11

(109).coscossincos

1sin2

(110).c

cos1cos1cos

1cos2

(111).csc

sin1sin1sin

nnn

nnn

n

nnn

n

nnn

n

xdxxxdx

nn

n

xdxxxxdx

nn

dxxndx

xdx

xnxnx

dxxndx

xdx

xnxnx





































先以凑微分对积分变量进行替换，紧接着以分部积分对之变形，当等式左右两侧都出现相同的项时，

通过移项的方式得到不定积分（108）的递推关系。（109）与之同理。

1122

12

12

12

sinsin(cos)cossin(1)cossin

cossin(1)(sinsin)

sincossin(1)sin

11

sincossinsin

nnnn

nnn

nnn

nnn

xdxxdxxxnxxdx

xxnxxdx

nxdxxxnxdx

n

xdxxxxdx

nn





























1122

12

12

12

coscos(sin)sincos(1)sincos

sincos(1)coscos

cossincos(1)cos

11

cossincoscos

nnnn

nnn

nnn

nnn

xdxxdxxxnxxdx

xxnxxdx

nxdxxxnxdx

n

xdxxxxdx

nn



























依然可以考虑用同样的步骤完成（110）和（111）式，这是因为正割函数、余割函数与正切函数、

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余切函数都有恒等式的关系，因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算，不如使用割函数更为明了。

2

23

222222

22

cc(tan)

cos

tanc(2)tanc(tanc)

tanc(2)tanctanc(2)(c1)c

(1)ctanc(2)c

1

c

nn

n

nn

nnnn

nnn

n

dx

xdxxdx

x

xxnxxxxdx

xxnxxdxxxnxxdx

nxdxxxnxdx

xdx

n





























22

2

tancc

11

nn

n

xxxdx

n











2

23

22222

22

csccsc(cot)

sin

cotcsc(2)cotcsc(cotcsc)

cotcsc(2)(csc1)csccotcsc(2)(csccsc)

(1)csccotcsc(2)csc

csc

nn

n

nn

nnnnn

nnn

dx

xdxxdx

x

xxnxxxxdx

xxnxxdxxxnxxdx

nxdxxxnxdx



























22

12

cotcsccsc

11

nnn

n

xdxxxxdx

nn











对于正切函数、余切函数高次幂的不定积分，鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式，二次切

函数会单出一个积分变量，导致积分是困难的，不过下面等式给出了切函数积分的一种算法，其中它们

的幂都是取整数的：

112

112

11

(112).cossincossincossin

11

cossincossin

mnmnmn

mnmn

m

xxdxxxxx

mnmn

m

xxxx

mnmn





















11

1111

11

22

11

1

cossincossin(sin)

11

cossinsin(cossin)

1

cossin

1

sin[(1)cossin(1)cossin]

11

cossinsincos

mnmmmn

mnmnmm

mn

mnmmmm

mnnm

xxdxxxdx

mn

xxxdxx

mnmn

xx

mn

xmxxmxxdx

mn

m

xxx

mnmn







































222

112

(sincos)

11

cossinsincosmnnm

xxxdx

m

xxxxdx

mnmn















上面证明的分部积分是对正弦凑微分得到的，如果对余弦凑微分，则同理可得到

112

11

cossincossincossinmnmnmn

m

xxdxxxxx

mnmn











11

(113).sincoscos[()]cos[()]

2()2()

11

(114).cossincos[()]cos[()]

2()2()

11

(115).sinsinsin[()]sin[()]

2()2()

(116).coscos

axbxdxabxabxC

abab

axbxdxabxabxC

abab

axbxdxabxabxC

abab

axbxdx























11

sin[()]sin[()]

2()2()

abxabxC

abab





以积化和差公式是容易证明的。

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22

2222

22

22

2222

22

2tan(/2)

arctan,

(117).

sin

1tan(/2)

ln,

tan(/2)

2

arctantan,

2

(118).

tan

cos

1

2

ln

tan

2

axb

Cab

abab

dx

abx

axbba

Cab

baaxbba

ababx

Cab

ababab

dx

xab

abx

ab

ba

abba

x

































































22,Cab

ab

ba





























典型的采用万能变换，转化为有理函数的不定积分问题。因此我们很自然的会采取换元：

tan

2

x

t

，

于是由万能变换公式，得

22

22

sin,(2arctan)

11

t

xdxdtdt

tt





，于是所求的不定积分（117）即为

2

2

2

2

1

1

2

2

2