函数连续的条件

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课题：２．5函数的连续性

教学目的:

1．理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上,会判断函数在一点是否连续.

2.要会说明函数在一点不连续的理由.

３．要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.

4.要了解闭区间上连续函数的性质,即最大值最小值定理

教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．

教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理.

授课类型：新授课课时安排：１课时

教学过程:

一、复习引入：

1.0

00

lim()lim()lim()

xx

xxxx

fxafxfxa







其中0

lim()

xx

fxa





表示当

x

从左侧趋近于0

x

时的左极限，0

lim()

xx

fxa





表示当

x

从右侧趋近于0

x

时

的右极限

2.我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数,不同的是函数的定义域往往

是连续的.而数列的定义域是自然数集,是一个一个离散的点.而在我们日常生活中,也会碰到这种情况.比

如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降,这是一种连续变化的情况；再比如邮寄

信件的邮费,随邮件质量的增加而作阶梯式的增加（打个比方:2０克以内是8毛钱邮票，21克~30克是

１元，3１克~４0克是1.２元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题

二、讲解新课：

１．观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看,一个函数在一点ｘ=ｘ０处连续,就是说图象

在点ｘ＝x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续

情况，以及极限情况.

分析图，第一,看函数在ｘ０是否连续．第二，在x0是否有极限，若有与f（ｘ0)的值关系如何:

图(1),函数在x0连续,在ｘ0处有极限,并且极限就等于ｆ（x0).

图(2),函数在x０不连续,在x0处有极限,但极限不等于f(x０),因为函数在x0处没有定义．

图(3)，函数在ｘ0不连续，在x0处没有极限．

图(4),函数在x０处不连续，在x0处有极限，但极限不等于ｆ(x0）的值．

函数在点ｘ＝x0处要有定义，是根据图(2）得到的,根据图（3）,函数在x＝ｘ0处要有极限，根据图(４)，

函数在x=x0处的极限要等于函数在x＝ｘ0处的函数值即f(x０).函数在一点连续必须满足刚才的三

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个条件.

.函数f(ｘ)在点ｘ=x0处连续必须满足下面三个条件.

（１)函数f（x)在点x=x0处有定义;（2)0

lim

xxｆ(ｘ)存在;

(3)0

lim

xxｆ(ｘ)=f（ｘ0),即函数f（x)在点ｘ0处的极限值等于这一点的函数值．

如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可

以给出函数在一点连续的定义.

2．函数在一点连续的定义:如果函数f(x）在点x=x0处有定义，0

lim

xxf(x)存在，且0

lim

xxf(x)=f（x0),

那么函数f（x)在点x=x0处连续.

由第三个条件，0

lim

xxｆ(x）=f(ｘ0)就可以知道0

lim

xxf(ｘ)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点.

函数f(x)在点x０处连续的定义．

如果函数y＝ｆ(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0

lim

xxｆ(x)=ｆ(x０)，就说函数f(x）在点ｘ0处连

续.

那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间（a，ｂ)内连续的定义.区间是由点构成的，只要函

数f（x)在开区间内的每一个点都连续,那么它在开区间内也就连续了．

３.函数f(x)在（a,b)内连续的定义:

如果函数f(ｘ)在某一开区间(a，ｂ）内每一点处连续，就说函数ｆ(ｘ）在开区间(ａ,b)内连续，或f(x)

是开区间(ａ,b)内的连续函数.

f(x)在开区间（ａ，b）内的每一点以及在ａ、b两点都连续,现在函数f（x)的定义域是［a,b]，若在a

点连续,则f(x)在a点的极限存在并且等于f(ａ),即在a点的左、右极限都存在,且都等于f(a),f(ｘ)在(a,b)

内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b)．

４.函数ｆ(x）在［ａ，ｂ]上连续的定义：

如果ｆ(x）在开区间(ａ,b)内连续，在左端点x=ａ处有ax

lim

ｆ(x)＝ｆ(ａ)，在右端点x=b处有bx

lim

ｆ

（x）=f（ｂ），就说函数f(x)在闭区间［a，b]上连续,或f(ｘ)是闭区间[ａ,b］上的连续函数.

如果函数ｆ(x)在闭区间[a,b］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.

我们来看这张图，它是连续的,在ａ、b两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，

假设在x1这点最高;那么它的函数值最大,就是说［a,b］区间上的各个点的值都不大于x1处的值,用数

学语言表示就是f(ｘ1)≥ｆ(ｘ)，x∈［a,ｂ],同理，设x2是最低点,f（x2)≤f(x)，x∈[ａ,b］.

５．最大值f(ｘ)是闭区间[ａ,b]上的连续函数，如果对于任意x∈[a，b］,f(x１)≥f(x),那么f(ｘ)在点

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x1处有最大值ｆ（x1).

６.最小值f(x)是闭区间[a，b］上的连续函数,如果对于任意ｘ∈[a,b]，f（x2)≤f（x)，那么f（x)在点

x2处有最小值ｆ(x2).

由图我们可以知道,函数f(x)在［a,b]上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性

质．最大,最小值可以在(a,b)内的点取到，也可以在a,b两个端点上取到．

7.最大值最小值定理

如果ｆ(ｘ)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间［ａ，b］上有最大值和最小值

我们现在已经学习了函数在一点连续的定义,和需要满足的三个条件,下面看两个例子，看在给定点处是

否连续,都要说明理由的

三、讲解范例：

例1讨论下列函数在给定点处的连续性.

(１)f(x)=

x

1

，点ｘ=0.(２)g(x)=sｉnx,点x＝0．

分析:我们如果要很直观地看在给定点是否连续,画图方法最方便.

我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，

函数ｆ(ｘ)=

x

1

在点x=0处不连续，因为函数ｆ（x)=

x

1

在点x=0处没有定义．

函数ｇ（x）=siｎx在点x=0处连续，因为函数g（x）=sinｘ，在x＝０及附近都有定义,0

lim

xsinx存在

且0

lim

xsｉｎx=0而ｓiｎ0=0.

解:(1)∵函数f(x)＝

x

1

在点x=0处没有定义∴它在点x＝0处不连续.

解：(2)∵0

lim

nsinx=０=siｎ０，∴函数g(x）=sinx在点ｘ＝0处是连续的．

点评：写ｇ(x)=sinx在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以,因为它已经包含前两个条件了,我

们已经知道函数在一点连续的定义了.

四、课堂练习：

2,1

104

P

五、小结：这节课主要学习了函数在一点连续的定义,以及必须满足的三个条件:①函数ｆ(x)在点x=x

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０处有定义.②0

lim

xxｆ（x)存在.③0

lim

xxｆ(ｘ)=f(x0).还有函数在开区间,闭区间上连续的定义．以及闭区

间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理

六、课后作业：

4,3,2

105

P