arctan1

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考研数学训练题

高等数学1——极限与连续练习题

1．填空题

（1）极限



)]1ln()3[ln(limxxx

x

；（2）

（2）已知极限8

2

lim



















x

xax

ax

，则

a

；（2ln）

（3）已知极限)0(

)1(

lim

2008





AA

nn

n

kk

n

，则k，A；（2009，

2009

1

）

（4）已知当0x时，1)1(3/12ax与1cosx是等价无穷小，则

a

；（

2

3

）

（5）若极限0

)(6sin

lim

3

0





x

xxfx

x

，则





2

0

)(6

lim

x

xf

x

；（36）

（6）若极限2

)2(

lim

0



xf

x

x

，则极限

x

xf

x

)4(

lim

0

；（1）

（7）设)(xp是多项式，且2

)(

lim

2

3





x

xxp

x

，1

)(

lim

0



x

xp

x

，则)(xp；

（xxxxp232)(）

（8）曲线

1e

1

xxy

的斜渐近线是；（2xy）

（9）当0x时，函数

2

32e2cos

)(

2

x

x

xf

x

，则)0(f时，函数)(xf在

)(，内连续；（1）

（10）设函数

bxa

x

xf

e

)(



在)(，内连续，且0)(lim



xf

x

，则常数ba、应满足

．（00ab，）

2．单项选择题

（1）如果极限6

)31)(21)(1(

lim

0





x

axxx

x

，则

a

（）；（A）

（A）1；（B）1；（C）2；（D）3．

（2）若极限

2

)e1()21ln(

)cos1(tan

lim

2

0











x

xdxc

xbxa

，其中022ca，则必有（）（D）

（A）db4；（B）db4；（C）ca4；（D）ca4．

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（3）当1x时，函数1

1

2

e

1

1

)(





x

x

x

xf的极限（）；（D）

（A）等于2；（B）等于0；（C）是；（D）不存在，但不是．

（4）设函数232)(xxxf，当0x时，)(xf是

x

的（）无穷小；（B）

（A）等价；（B）同阶但不等价；（C）高阶；（D）低阶．

（5）设函数43

sin

0

2)(,dsin)(xxxgttxfx，当0x时，)(xf是)(xg的（）

无穷小；（B）

（A）等价；（B）同阶但不等价；（C）高阶；（D）低阶．

（6）当0x时，函数)1(e)(2bxaxxfx是比2x的高阶无穷小，则（）；（A）

（A）1

2

1

ba，；（B）11ba，；（C）1

2

1

ba，；（D）11ba，．

（7）当0x时，函数xxxfee)(tan与kax为等价无穷小，则（）；（C）

（A）1

3

1

ka，；（B）

3

1

3ka，；（C）3

3

1

ka，；（D）

3

1

3

1

ka，．

（8）若数列}{}{

nn

yx、满足0lim



nn

n

yx，则下列断言中正确的是（）；（D）

（A）若数列

}{

n

x发散，则数列}{

n

y也发散；（B）若数列}{

n

x无界，则数列}{

n

y必有界；

（C）若数列

}{

n

x有界，则

n

y为必无穷小；（D）若

n

x

1

为无穷小，则

n

y为必为无穷小．

（9）设函数)()(xgxf、在)(，内有定义，0)(xf为连续函数，)(xg有间断点，

则（）必有间断点；（D）

（A）)]([xfg；（B）2)]([xg；（C）)]([xgf；（D）

)(

)(

xf

xg

．

（10）0x点是函数

x

xf

1

arctan)(

的（）间断点.(A)

(A)可去；(B)跳跃；(C)无穷型；(D)振荡型.

3．求极限

1

lim

2

1



x

nxxxn

x



（

n

是正整数）.（

2

)1(nn

）

4．求极限)

1

arctan(arctanlim2





n

a

n

a

n

n

.（

a

）

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5．求极限























x

x

x

x

x

sin

e1

e2

lim

/4

/1

0

.（1）

6．求极限)]

1

1ln([lim2

x

xx

x





.（

2

1

）

7．求极限





n

k

nkkk

1

)2)(1(

1

lim.(

4

1

）

8．求极限





n

k

nnn

k

1

lim.（

3

2

）

9．求极限

1

3

1)1(

)1()1)(1(

lim







n

n

xx

xxx

.（

!

1

n

）

10．求极限





n

k

k

n

x

1

2

coslim（0x）.（

x

xsin

）

11．求极限n

n

nnn

n

)12()1(

1

lim



.（

e

4

）

12．已知极限0

arctan

1

)(

1

lim

2

2

0







c

x

x

xf

x

，求ba、的值，使得0x时，)(xf与bax为

等价无穷小.（42bca、，

34

P例48）

13．已知极限A

a

x

xf

x

x







1

)

sin

)(

1ln(

lim

0

（10aa，），求极限

2

0

)(

lim

x

xf

x

.（aAln，

36

P例53）

14．已知极限0)

3sin

(lim

23

0





b

x

a

x

x

x

，求常数ba、．（

2

9

3ba，）

15．已知

21

1

)(

x

xf





，

x

xg







1

1

)(，且0)0()0(gf，求极限















)(

1

)(

1

lim

0xgxfx

.

（2/1）

16．设)(xf是三次多项式，且满足1

4

)(

lim

2

)(

lim

42







ax

xf

ax

xf

axax

（0a），求极限

ax

xf

ax3

)(

lim

3

.（

2

1

）

17．设函数





















.1,2

,2,1,

2

)(2

2

x

xx

xx

baxx

xf求

a

、b的值，使得函数)(xf在1x点

连续.（4a、5b）

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18．设函数

x

xbaxx

xf

2

2

sin

sinsinsin1

)(



，若0x是)(xf的可去间断点，求

a

、

b的值，并求)(lim

0

xf

x

.（

2

1

1ba，，

8

3

)(lim

0





xf

x

）