两向量垂直

学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平

面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.

知识点一向量法判断线线垂直

思考

若直线l

1

的方向向量为μ

1

＝(1，3，2)，直线l

2

的方向向量为μ

2

＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量

法判断两条直线垂直的一般方法是什么？

答案l

1

与l

2

垂直，因为μ

1

·μ

2

＝1－3＋2＝0，所以μ

1

⊥μ

2

，又μ

1

，μ

2

是两直线的方向向量，所以l

1

与l

2

垂直.

判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量AB

→

与CD

→

的坐标，若AB

→

·CD

→

＝0，则两直线垂直，否则不垂直.

(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.

梳理设直线l的方向向量为a＝(a

1

，a

2

，a

3

)，直线m的方向向量为b＝(b

1

，b

2

，b

3

)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a

1

b

1

＋a2

b

2

＋a

3

b

3

＝0.

知识点二向量法判断线面垂直

思考

若直线l的方向向量为μ

1

＝













2，

4

3

，1

，平面α的法向量为μ

2

＝













3，2，

3

2

，则直线l与平面α的位置关系是怎样

的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

答案垂直，因为μ

1

＝

2

3

μ

2

，所以μ

1

∥μ

2

，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线⇒l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内.

(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.

梳理设直线l的方向向量a＝(a

1

，b

1

，c

1

)，平面α的法向量μ＝(a

2

，b

2

，c

2

)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R).

知识点三向量法判断面面垂直

思考

平面α，β的法向量分别为μ

1

＝(x

1

，y

1

，z

1

)，μ

2

＝(x

2

，y

2

，z

2

)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是

什么？

答案x

1

x

2

＋y

1

y

2

＋z

1

z

2

＝0.

梳理若平面α的法向量为μ＝(a

1

，b

1

，c

1

)，平面β的法向量为ν＝(a

2

，b

2

，c

2

)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔

a

1

a

2

＋b

1

b

2

＋c

1

c

2

＝0.

类型一证明线线垂直

例1已知正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC

1

上的点，且CN＝

1

4

CC

1

.求证：AB

1

⊥MN.

证明设AB中点为O，作OO

1

∥AA

1

.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO

1

为z轴建立如图所示的

空间直角坐标系.

由已知得A













－

1

2

，0，0

，B











1

2

，0，0

，C













0，

3

2

，0

，N













0，

3

2

，

1

4

，B1









1

2

，0，1

，

∵M为BC中点，

∴M











1

4

，

3

4

，0

.

∴MN

→

＝













－

1

4

，

3

4

，

1

4

，AB1

→

＝(1，0，1)，

∴MN

→

·AB1

→

＝－

1

4

＋0＋

1

4

＝0.

∴MN

→

⊥AB1

→

，

∴AB

1

⊥MN.

反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向

量垂直→得到两直线垂直.

跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA

1

＝4，求证：AC⊥BC

1

.

证明∵直三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC、BC、C

1

C两两垂直.

如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1

(0，0，4)，B(0，4，0)，

∵AC

→

＝(－3，0，0)，BC1

→

＝(0，－4，4)，

∴AC

→

·BC1

→

＝0.∴AC⊥BC1

.

类型二证明线面垂直

例2如图所示，正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的所有棱长都为2，D为CC

1

的中点.

求证：AB

1

⊥平面A

1

BD.

证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC－A1

B

1

C

1

中，平面ABC⊥平面BCC

1

B

1

，

所以AO⊥平面BCC1

B

1

.

取B1

C

1

的中点O

1

，以O为原点，以OB

→

，OO1

→

，OA

→

分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A

1

(0，2，3)，A(0，0，3)，B

1

(1，2，0).

所以AB1

→

＝(1，2，－3)，BA1

→

＝(－1，2，3)，BD

→

＝(－2，1，0).

因为AB1

→

·BA1

→

＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.

AB1

→

·BD

→

＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.

所以AB1

→

⊥BA1

→

，AB1

→

⊥BD

→

，即AB1

⊥BA

1

，AB

1

⊥BD.

又因为BA1

∩BD＝B，所以AB

1

⊥平面A

1

BD.

反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

方法一：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

方法二：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.

跟踪训练2如图，在长方体ABCD－

A

1

B

1

C

1

D

1

中，AB＝AD＝1，AA

1

＝2，点P为DD

1

的中点.求证：直线PB

1

⊥平面PAC.

证明如图建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B

1

(1，1，2)，PC

→

＝(1，0，－1)，PA

→

＝(0，1，－1)，

PB1

→

＝(1，1，1)，B1C

→

＝(0，－1，－2)，B1A

→

＝(－1，0，－2).

PB1

→

·PC

→

＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，

所以PB1

→

⊥PC

→

，即PB1

⊥PC.

又PB1

→

·PA

→

＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，

所以PB1

→

⊥PA

→

，即PB1

⊥PA.

又PA∩PC＝P，所以PB1

⊥平面PAC.

类型三证明面面垂直

例

3在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AA

1

⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA

1

＝1，E为BB

1

的中点，求证：平面A

EC

1

⊥平面AA

1

C

1

C.

证明由题意知直线AB，BC，B

1

B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB

1

所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1

(2，0，1)，C(0，2，0)，C

1

(0，2，1)，E(0，0，

1

2

)，

故AA1

→

＝(0，0，1)，AC

→

＝(－2，2，0)，AC1

→

＝(－2，2，1)，AE

→

＝(－2，0，

1

2

).

设平面AA1

C

1

C的法向量为n

1

＝(x，y，z)，

则











n1·AA1

→

＝0，

n1·AC

→

＝0，

即









z＝0，

－2x＋2y＝0.

令x＝1，得y＝1，故n1

＝(1，1，0).

设平面AEC1

的法向量为n

2

＝(a，b，c)，

则











n2·AC1

→

＝0，

n2·AE

→

＝0，

即









－2a＋2b＋c＝0，

－2a＋

1

2

c＝0.

令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2

＝(1，－1，4).

因为n1

·n

2

＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，

所以n1

⊥n

2

.

所以平面AEC1

⊥平面AA

1

C

1

C.

反思与感悟证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.

(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.

跟踪训练

3在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，

求证：平面BEF⊥平面ABC.

证明以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C











3

2

a，

3

2

a，0

，

D(0，3a，0)，E











3

4

a，

3

4

a，

a

2

，F(0，

3

2

a，

a

2

)，

故AB

→

＝(0，0，－a)，BC

→

＝











3

2

a，

3

2

a，0

.

设平面ABC的法向量为n1

＝(x

1

，y

1

，z

1

)，

则











n1·AB

→

＝0，

n1·BC

→

＝0，

即









－az1＝0，

x1＋y1＝0，

取x1

＝1，

∴n

1

＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量.

设n2

＝(x

2

，y

2

，z

2

)为平面BEF的一个法向量，

同理可得n2

＝(1，1，－3).

∵n

1

·n

2

＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，

∴平面BEF⊥平面ABC.

1.下列命题中，正确命题的个数为()

①若n

1

，n

2

分别是平面α，β的法向量，则n

1

∥n

2

⇔α∥β；

②若n

1

，n

2

分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n

1

·n

2

＝0；

③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.

2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()

A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)

B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)

C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)

D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)

答案B

解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.

3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()

A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交

答案B

解析∵a∥μ，∴l⊥α.

4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系

是()

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定

答案C

解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，

∴两法向量垂直，从而两平面垂直.

5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为_____

___.

答案5

解析∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，

∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.

空间垂直关系的解决策略

几何法向量法

线线

垂直

(1)证明两直线所成的角为90°.

(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内

所有直线垂直

两直线的方向向量互相垂直

线面

垂直

对于直线l，m，n和平面α

(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相

交，则l⊥α.

(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α

(1)证明直线的方向向量分别与平面内

两条相交直线的方向向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面的法向

量是平行向量

面面

垂直

对于直线l，m和平面α，β

(1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β.

(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.

(3)若平面α与β相交所成的二面角为直

角，则α⊥β

证明两个平面的法向量互相垂直

40分钟课时作业

一、选择题

1.设直线l

1

，l

2

的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l

1

⊥l

2

，则m等于()

A.－2B.2C.6D.10

答案D

解析因为a⊥b，故a·b＝0，

即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.

2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()

A.10B.－10C.

1

2

D.－

1

2

答案B

解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，

所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，

解得x＝－10.

3.已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为()

A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1)

答案C

解析由题意知AB

→

＝(－1，－1，－1)，AC

→

＝(2，0，1)，AP

→

＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有AB

→

·AP

→

＝

(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①

AC

→

·AP

→

＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②

联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).

4.在正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，若E为A

1

C

1

的中点，则直线CE垂直于()

.A

1

DD.A

1

A

答案B

解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，

0，0)，A

1

(0，1，1)，C

1

(1，0，1)，E











1

2

，

1

2

，1

，

∴CE

→

＝













－

1

2

，

1

2

，1

，AC

→

＝(1，－1，0)，

BD

→

＝(－1，－1，0)，A1D

→

＝(0，－1，－1)，A1A

→

＝(0，0，－1)，

∵CE

→

·BD

→

＝(－1)×(－

1

2

)＋(－1)×

1

2

＋0×1＝0，

∴CE⊥BD.

5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()

A.n

1

＝(1，2，1)，n

2

＝(－3，1，1)

B.n

1

＝(1，1，2)，n

2

＝(－2，1，1)

C.n

1

＝(1，1，1)，n

2

＝(－1，2，1)

D.n

1

＝(1，2，1)，n

2

＝(0，－2，－2)

答案A

解析∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，

∴n

1

·n

2

＝0，故选A.

6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()

A.－3B.6C.－6D.－12

答案B

解析α⊥β⇒μ·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.

二、填空题

7.在三棱锥S－

ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则异面直线SC与BC是否垂直______

__.(填“是”或“否”)

答案是

解析如图，以A为原点，AB，AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则由AC＝2，BC＝13，SB＝29，

得B(0，17，0)，S(0，0，23)，C













2

13

17

，

4

17

，0

，

SC

→

＝













2

13

17

，

4

17

，－23

，CB

→

＝













－2

13

17

，

13

17

，0

.

因为SC

→

·CB

→

＝0，所以SC⊥BC.

8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB

→

＝(2，－1，－4)，AD

→

＝(4，2，0)，AP

→

＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP

→

是平面ABCD的法向量；④AP

→

∥BD

→

.其中正确的是________.(填序号)

答案①②③

解析∵AP

→

·AB

→

＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正确；

∵AP

→

·AD

→

＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP⊥AD，即②正确；

又∵AB∩AD＝A，

∴AP⊥平面ABCD，

即AP

→

是平面ABCD的一个法向量，即③正确；

∵AP

→

是平面ABCD的法向量，

∴AP

→

⊥BD

→

，即④不正确.

9.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2，0)和点Q(cosx，－1，3)，其中x∈[0，

π].若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________.

答案

π

2

或

π

3

解析由题意得OP

→

⊥OQ

→

，

∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.

∴2cos2x－cosx＝0，

∴cosx＝0或cosx＝

1

2

.

又x∈[0，π]，

∴x＝

π

2

或x＝

π

3

.

10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝21，则n

的坐标为________________.

答案(－2，4，1)或(2，－4，－1)

解析据题意，得AB

→

＝(－1，－1，2)，AC

→

＝(1，0，2).

设n＝(x，y，z)，

∵n与平面ABC垂直，

∴











n·AB

→

＝0，

n·AC

→

＝0，

即









－x－y＋2z＝0，

x＋2z＝0，

可得









y＝4z，

y＝－2x.

∵|n|＝21，∴x2＋y2＋z2＝21，解得y＝4或y＝－4.

当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.

三、解答题

11.如图，在四棱锥P－

ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.证明：CD⊥平

面PAE.

证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

设PA＝h，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，

h).

易知CD

→

＝(－4，2，0)，AE

→

＝(2，4，0)，AP

→

＝(0，0，h).

因为CD

→

·AE

→

＝－8＋8＋0＝0，CD

→

·AP

→

＝0，

所以CD⊥AE，CD⊥AP，

而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD⊥平面PAE.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的

中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.

证明建立如图所示空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，F













0，

1

2

，

1

2

，D()3，0，0

，

设BE＝x(0≤x≤3)，

则E(x，1，0)，

PE

→

·AF

→

＝(x，1，－1)·













0，

1

2

，

1

2

＝0，

所以x∈[0，3]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.

13.已知正方体ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，E为棱CC

1

上的动点.

(1)求证：A

1

E⊥BD；

(2)若平面A

1

BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.

(1)证明以D为坐标原点，以DA，DC，DD

1

所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体

棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1

(a，0，a)，C

1

(0，a，a).

设E(0，a，e)(0≤e≤a)，

A1E

→

＝(－a，a，e－a)，

BD

→

＝(－a，－a，0)，

A1E

→

·BD

→

＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，

∴A1E

→

⊥BD

→

，即A1

E⊥BD.

(2)解设平面A

1

BD，平面EBD的法向量分别为n

1

＝(x

1

，y

1

，z

1

)，n

2

＝(x

2

，y

2

，z

2

).

∵DB

→

＝(a，a，0)，DA1

→

＝(a，0，a)，DE

→

＝(0，a，e)，

∴









ax1＋ay1＝0，

ax1＋az1＝0，









ax2＋ay2＝0，

ay2＋ez2＝0.

取x1

＝x

2

＝1，

得n1

＝(1，－1，－1)，n

2

＝(1，－1，

a

e

)，

由平面A1

BD⊥平面EBD得n

1

⊥n

2

，

∴2－

a

e

＝0，即e＝

a

2

.

∴当E为CC

1

的中点时，平面A

1

BD⊥平面EBD.