铅直渐近线

4.7函数的渐近线

当前讲授

下面是一些我们非常熟悉的基本初等函数的图形．它们分别是反比例函数、

指数函数、、对数函数、正切函数和反正切函数

的图形．

当前讲授

请同学们对照图形，发挥想象力，思考两个问题：

1、“函数的渐近线”这一说法从字面上顾名思义，可理解为函数曲线可以无限去趋近

的直线．按照这样的理解，以上这些函数曲线有没有渐近线呢？

2、如果你认为上面给出的曲线有渐近线，你觉得应该用什么样的数学语言去描述比较

确切呢？

定义1考察函数在某个点处的极限．如果

函数在该点的极限（或左极限，或右极限）为无穷大，则称

直线是曲线的铅直渐近线．

定义2考察函数当自变量趋于无穷大时的极

限．如果极限为某常数C，即（或

，或），则称直线

为曲线的水平渐近线．

简言之，在自变量的某个变化过程中，曲线上的动点与某条直线的距离趋于零，那么

这种直线叫做该曲线的渐近线．

反比例函数

因为，所以直线即轴是函数的铅直渐近线．因为

，所以直线即轴是函数的水平渐近线．

指数函数

因为，，所以直线是指数函数、的

水平渐近线．

自然对数函数

因为，所以直线即轴是对数函数的铅直渐近线．

正切函数

因为，，所以直线，都是正切函

数的铅直渐近线．

反正切函数

因为，，所以直线，都是反

正切函数的水平渐近线．

典型例题

例4.7.1求曲线的渐近线．

解:

首先考察函数有无水平渐近线．

∵，∴曲线有水平渐近线．

其次考察曲线有无铅直渐近线．

因为，有间断点和．

∵，∴是曲线的铅直渐近线．

∵，∴是曲线的铅直渐近线．

例4.7.2求曲线的渐近线．

解函数的定义域为．

首先考察函数有无水平渐近线．

∵，∴曲线有水平渐近线．

其次考察函数有无铅直渐近线．

∵，∴曲线有铅直渐近线．