上极限

上、下极限的等价性定义及其应用

摘要

数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念．在不同版本的数学

分析教材中，往往以不同形式给出其定义．关于数列上、下极限的概念，常用的

表示方法有三种（文中的定义1、2、3）．除此之外，本文又给出了两种定义方式

（文中的定义4、5）．接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭

区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的

等价性．在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程．其

次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题．最后，

举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用．

关键词：上极限，下极限，聚点，上确界

AbouttheEquivalenceoftheDefinitionsofSuperiorLimit

andInferiorLimitandItsapplications

YuLi

(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)

Abstract

Theconceptofthesuperiorandinferiorlimitonquenceistwoimportant

conceptsinmathematicalanalysis．Indifferentversionsoftextbooksofmathematical

analysis，oftengivedifferentformsofitsdefinition．Onthequenceofthesuperior

andinferiorlimitoftheconcept，therearethreecommonlyudmethods(the

definitionofpaper1、2、3)．Inaddition，thisarticlegivestwodefinitions(thedefinition

ofarticle4、5)．Byusingofknowledgeofcompletenessofrealandlimittheory，such

as：theoremofthepointofaccumulation，theoremofnestedinterval，definitionsof

quencelimitandthepropertiesofconvergencequence，thisarticlestrictlyproofs

theequivalenceofthefivedefinitions．Onthebas，wediscusssomepropertiesof

thesuperiorandinferiorlimit，andgivetheproof．Secondly，usingthedefinitionsand

propertiesofthesuperiorandinferiorlimit，wegivesomepropositionsaboutthe

superiorandinferiorlimit．Finally，thispapergivexamplestoillustratethe

applicationoftheoperationoflimitandthetheoryofriesofthesuperiorandinferior

limit．

Keywords:superiorlimit，inferiorlimit，accumulation，leastupperbound

目录

引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

一、上、下极限的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

（一）上、下极限的5种定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

（二）上、下极限定义的等价性证明„„„„„„„„„„„„„„„„„2

二、上、下极限的相关应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5

（一）上、下极限的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

5

（二）有关上、下极限的若干命题„„„„„„„„„„„„„„„„„„

8

（三）上、下极限在极限教学中的作用„„„„„„„„„„„„„„„

12

1．上、下极限在极限运算中的作用„„„„„„„„„„„„„„„„12

2．上、下极限在数列与级数论中的作用„„„„„„„„„„„„„„13

结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14

参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14

致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15

1

引言

一个有界数列

n

x不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极

限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍受

教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内

容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大

多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极

限的教学.事实上，上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要

的应用，例如：实变函数论，概率论，测度论等学科都从不同角度应用到了上、

下极限的概念，所以对上、下极限有个清楚的认识是必要的.本文将从上、下极限

的定义、性质、定理、应用四个方面作深入细致的探讨，期望对数学分析的教学

有所帮助.关于上、下极限的概念，我们常常在不同的教材看到其定义各不相同，

为了深刻认识其内涵，本文给出了上、下极限的五种定义方式，并证明了五种定

义的等价性.

一、上、下极限的定义

（一）上、下极限的5种定义

定义1（用“数列的聚点”来定义）若()ab表示数列

n

x的最大（小）聚点，

则lim

n

n

x



=a(lim

n

n

xb



).

定义2（用“数列的收敛子列”来定义）设

n

x是有界数列，若()ab表示数

列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者，则lim

n

n

x



=a（lim

n

n

x



=b）.

定义3（用“数列的确界”来定义）lim

n

sup

k

kn

x



=a称为数列

n

x的上极限，

lim

n

inf

k

kn

x



=b称为数列

n

x的下极限.

定义4

1

inf

n

sup

k

kn

x



称为数列

n

x的上极限，

1

sup

n

inf

k

kn

x



称为数列

n

x的下极限.

定义5（1）若对

>0,有无穷多个n使得

n

x>a,同时至多有有限个n

使得

n

x>a,数a称为数列

n

x的上极限，记作lim

n

n

x



=a.

（2）若对

>0,有无穷多个n使得

n

xb，同时至多有有限个n使得

n

xb，数b称为数列

n

x的下极限，记作lim

n

n

x



=b.

2

（二）上、下极限定义的等价性证明

为了方便起见，仅就上极限的情形予以证明，下极限的情形依此即可.

证明12因为a是数列

n

x的聚点的充要条件是：存在子列

n

x收敛于a，

由此可见

n

x的最大聚点，便是

n

x的收敛子列极限的最大值.

23令

n

h=sup

k

kn

x



，由2必存在子列

k

n

x收敛于a.

因为

kk

nn

xh，于是有

a=limlim

kk

nn

kk

xh



，

我们说后面的不等式只能取等号.

如若不然，设lim

k

n

k

h



=a

a，

那么由

k

n

ha



，必

1

k

n使

1

11

k

n

aha



.依

k

n

h的定义，必

1

k

n





1

k

n,使

1

11

k

n

axa





.由

k

n

ha



，又必

2

k

n

1

k

n



,使

2

11

22k

n

aha



.依

2

k

n

h的定

义，必

2

k

n





2

k

n,使

2

11

22k

n

axa





.

如此类推，一般地

由

k

n

ha



，必

i

k

n

1i

k

n





,使

11

k

i

n

aha

ii



.

依

k

i

n

h的定义，必

i

k

n





i

k

n,使

11

k

i

n

axa

ii



.

令i可见a



也是

n

x的收敛子列的极限，这就与已知a是最大的子列极限矛

盾，于是只有a=lim

k

n

k

h



.

又因为

n

h递减且有下界，

n

h必收敛，从而

n

h必与其子列

k

n

h同极限，

所以

a=lim

n

n

h



=lim

n

sup

k

kn

x



.

34因为

n

x非空且有下界，从而

n

h也非空且有下界.因而

n

h的下确

3

界存在，记为a



=

1

inf

n

n

h



.于是有a



n

h且

>0，必N使

N

ha

.又因为

n

h递

减，故当nN时，必有

nN

hh，从而

nN

aahha

.

可见

n

ha



，但由3已知

n

ha，故aa



，

既是

lim

n

n

h



=

1

inf

n

n

h，

亦即

lim

n

sup

k

kn

x



=

1

inf

n

sup

k

kn

x



.

45已知a=

1

inf

n

n

h



=

1

inf

n

sup

k

kn

x



，由此先证

>0,必有无穷多个n,使得

n

x>a，

如若不然，则

>0,必N，对nN有

n

xa，

取1，则a1便是从第n项起以后的项的上界，于是有

n

h=sup

k

kn

x



a1，及

1

inf

n

n

h



a1.

再由已知得a



a1矛盾.

今再证至多有有限个n,使得

n

x>a.因为已知a=

1

inf

n

n

h



，由下确界定义并注

意到

n

h递减，

>0,必N，对nN有

n

ha.

而

n

h

1

sup,,

nn

xx



，于是当nN时，对一切自然数都有

nk

x





n

ha，

这意味着大于a的

n

x就至多有有限项.

51由5可知，

>0,必有无穷多个n,使

n

x(,)aa，这意味着a便

是

n

x的聚点.

今证

n

x再无大于a的聚点，否则，设a



是大于a的又一聚点.取

2

aa







,

4

即aa

，

由所设a



是聚点，必有无穷多个n,使得

n

x>aa

,

这与已知至多有有限个n使得

n

x>a矛盾.

至此已证完了一个圈，因此本文所给出的数列上下极限的5种定义是等价的.

既然等价，任取其一作为上极限的定义（记作lim

n

n

x



=a）也就未尝不可，而由于

其优点各异（1、2容易想象，3、4便于运用，5介乎其间），不同的教材侧重于

不同的优点，自然就会出现不同形式的定义了.

这里只证了一个圈，我们还可证其它的圈，还可写出并证明相应的下极限的

等价命题.同时我们还可以尝试用其它的方法来描述上、下极限的概念.这样做，

不仅可以加深对上、下极限概念的理解，而且对训练自己的发散思维和创造思维

能力等都有一定的帮助.

对于一般的数列，在此约定

1、如果

n

x是无上界数列，其上极限为.记为lim

n

n

x



=

2、如果

n

x是无下界数列，其下极限为.记为lim

n

n

x



=

于是，任一数列的上下极限都存在.今用部分极限证明如下：

1）先证任一数列都有子列极限，因为若

n

x无上界，则必有子列以为极

限，若

n

x有上界但无下界，则必有子列以为极限，若

n

x上下都有界，并

且有无穷多项取同一数值a，则便是一个常数列的子列极限，若

n

x上下有界，

但至多只有有限项相同，则由致密性定理知

n

x必有收敛的子列存在.

2）再证任一数列的子列极限必有一个是最大的，一个是最小的，因为若

是

n

x的子列极限，当然它就是最大的，若不是子列极限，则

n

x必有上界.

这时若

n

x无有限的子列极限，则由1），

n

x必以为唯一的子列极限，所以

也就是

n

x的最大的子列极限（当然也是最小的子列极限）.若

n

x有有限的子列

极限，那么这些子列极限的集合A必有上界，从而有上确界，记为a.

今证aA，若aA，即a非子列极限，则0，在a的领域,aa

中，必只含

n

x的有限项.

但因supaA，对上述0，必xA，使axaa，而xA，表

明x是

n

x的子列极限，于是必存在子列

k

n

x收敛于x，从而必存在充分大的

0

k，

使得

0

kk的一切项有

k

n

x,aa，这就产生矛盾，故只有aA，这样，a

便是最大的子列极限.

同理可证

n

x有最小的子列极限.

5

3）将2用于2），便得任一数列的上、下极限都存在.

二、上、下极限的相关应用

（一）上、下极限的性质

性质1limlim

nn

n

n

xx





，当且仅当lim

n

n

x



存在时取等号.

证明因为infsup

nn

kn

kn

xx





,

从而liminflimsup

n

nknn

kn

x





.

此即limlim

nn

n

n

xx





.

下证取等号的条件：当lim

n

n

x



=lim

n

n

x



时，因为

infsup

nnn

kn

kn

xxx





,

由迫敛性便知lim

n

n

x



存在.

当lim

n

n

x



存在时，设lim

n

n

x



=a.若a，则0,,NnN有

n

axa,

从而infsup

kn

kn

kn

axxa





.

可见liminflimsup

kk

nknn

kn

xax





.

此即limlim

nn

n

n

xx





.

若a，则0,,MNnN有

n

xM，从而

inf,sup

kk

kn

kn

xMxM





.

于是liminflimsup

kk

nknn

kn

xx





.

也得

limlim

nn

n

n

xx







.

若a，同理可证.

总之，当且仅当

n

x收敛时，

limlim

nn

n

n

xx







.

性质2若

nn

xy1,2,n，则

limlim

nn

nn

xy





，limlim

nn

nn

xy



.

6

证明设lim

n

n

xa



，lim

n

n

yb



.

假设ab，取0

2

ab





，则

n

x中大于

2

ab

aab



的项有无限多个，

由于

nn

yx1,2,n，故

n

y中大于b的项有无限多个，这与lim

n

n

yb



矛盾.

同理可证limlim

nn

nn

xy



.

性质3（1）若0c，则limlim

nn

n

n

cxcx





，limlim

nn

n

n

cxcx





.

（2）若0c，则limlim

nn

nn

cxcx





，limlim

nn

nn

cxcx



.

证明仅证0c的情况.由确界的定义知

infsup

kk

kn

kn

cxcx







，supinf

kk

kn

kn

cxcx







令n即可得证.

性质4limlim

nn

nn

xy



lim

nn

n

xy



limlim

nn

n

n

xy







lim

nn

n

xy



limlim

nn

nn

xy



.

式中只要不出现就成立，并且当

n

x与

n

y之一收敛时取等号.

证明仅证明limlim

nn

nn

xy



lim

nn

n

xy





.

设lim

n

n

xa



，lim

n

n

yb



，lim

nn

n

xy



c.

用反证法，假设cab，则根据下极限的定义知，对

0

0

2

abc





，



nn

xy中有无穷多项小于

0

c

2

abc

.

另一方面，由于lim

n

n

xa



，lim

n

n

yb



，

故

n

x中至多只有有限项小于0

2

a



，

n

y中至多只有有限项小于0

2

b



，

从而

nn

xy中至多只有有限项小于

02

abc

ab



，

这与前面所述矛盾.

所以cab，即limlim

nn

nn

xy



lim

nn

n

xy



.证毕.

性质5若0

n

x1,2,n，则

1

lim

n

n

x



1

lim

n

n

x



.

7

证明设lim

n

n

xa



0a.则

>0,至多只有有限项小于a，而有无穷多

项小于a.因此至多只有有限项满足：

1

n

x



1

11

aa









，

而有无穷多项满足：

1

n

x



2

11

aa









，

其中

1

0，

2

0，且由于可以任意小，因而

12

,也可以任意小.

故有

1

lim

n

n

x

1

a



1

lim

n

n

x



.证毕.

性质6若0

n

x，0

n

y1,2,n，则

lim

n

n

x



lim

n

n

y



lim

nn

n

xy





limlim

nn

n

n

xy





lim

nn

n

xy



limlim

nn

nn

xy



.

式中只要不出现0就成立，并且当

n

x与

n

y之一收敛时取等号.

证明先证明lim

n

n

x



lim

n

n

y



lim

nn

n

xy



（1）若lim

n

n

x



0，则因lim

n

n

y



存在，故0M

，使得

0

n

yM1,2,n.

当lim

n

n

x



0，及0

n

x，因此

0，有无穷多个n，使得

0

n

x

M



.

从而对于这样的无穷多个n，有

0

nnn

xyxM，

故lim

nn

n

xy



0.

（2）若lim0

n

n

y



，则化归为（1）.

（3）若lim

n

n

x



0a，lim0

n

n

yb



，

用反证法，假设cab.则根据下极限的定义知，

对于0abc，有无穷多个n,使得

8

22nn

xycab



.

又因至多只有有限个n,使得

2n

xa

b



以及

2n

yb

a



，

从而至多只有有限个n,使得

22nn

xyab

ba











2

4

ab

ab



.

（4）取如此之小使它同时满足

1

42ab



，

则至多只有有限个n,使得

2nn

xyab



，

由此得到矛盾，故cab，即lim

n

n

x



lim

n

n

y



lim

nn

n

xy



.

性质7若

n

x为递增数列，则limlim

nn

nn

xx



.

证明若

n

x有界，则由单调有界定理，极限lim

n

n

x



存在，从而有limlim

nn

nn

xx



.

若

n

x无界，则lim

n

n

x



，从而对任给正数M，

n

x中大于M的项有无限多个，

设

N

xM，由

n

x的递增性，当nN时，有

nN

xxM，所以lim

n

n

x



.

（二）有关上、下极限的若干命题

定理

21若0

n

x1,2,n，则

1limn

n

n

x

x





limn

n

n

x



limn

n

n

x



1limn

n

n

x

x





.

证明仅证明后一部分.

假设1limn

n

n

x

x





a.只须证明0a.

因1limn

n

n

x

x





a，所以0，N，使当iN有1i

i

x

a

x

.

任取nN，令,1,,2,1iNNnn将所得的nN个不等式相乘得

121

121

NNnn

NNnn

xxxx

xxxx





nNa.

9

此即Nnn

nN

xxaaMa，其中N

N

Mxa.

从而n

n

x

nMa.

令n取上极限得

limn

n

n

x



nMa

a.

由的任意性得

limn

n

n

x



a.

定理2若0

n

x1,2,n，且

1

limlim1

n

nn

n

x

x



，则

n

x收敛.

证明根据性质5知：

1

lim

n

n

x



1

lim

n

n

x



，

又因

1

limlim1

n

nn

n

x

x



，所以limlim

nn

n

n

xx





.故

n

x收敛.

定理3若0

n

x1,2,n，则1

1

lim11n

n

n

x

n

x















.

证明用反证法.假设此结论不成立，则N，使当nN时，有

1

1

11n

n

x

n

x













.这个不等式等价于

1

1

11

nn

xx

nnn





.

依次取n为N,1,,1NNk并把所得结果相加，得

111

12NNNk





NNkN

xxx

NNkN





.

这与调和级数

1

1

i

i





的发散相矛盾.

为证1不能以更大的数代替，设

n

xkn1,2,n，则

1

1

1n

n

x

n

x













1k

k



，

此式对于大的k可任意靠近1，或者若设ln

n

xnn，则有lim

n

1

1

1n

n

x

n

x













1.

10

定理

24若0

n

x1,2,n，则11lim

n

n

n

n

xx

e

x















.

证明不妨设

1

1x.用反证法.假设此结论不成立，则N2，使当nN时，

有1

1n

n

n

x

e

x













，即

1

1

nn

xnx



.

依次取n为N,1,,1NNk得：

N

x

1

1

N

Nx



,

12

11

NN

xNx



,

1

11

NkNk

xNkx



.

因此有



2

111

NN

xNNx









2

2

1

N

Nx



2

3

121

N

NNx











3

3

11kk

NNk

NxNxN



.

注意到k为任意正整数，N2，这与

N

x是有限数相矛盾.证毕.

定理5设满足条件：0

nmnm

xxx



，证明limn

n

x

n

存在.

证明因为

111

0

nn

xxxnx



，可见

1

0n

x

x

n

，即n

x

n







有界，从而其

上、下极限必都是有限数.

下证它们相等即可.

为此固定m，并定义

0

0x，当n充分大时，由已知有

0

nqmrmr

xxqxxrm



,

即0nm

r

xx

x

qm

nmqmrqmr





.

从而

0supkm

r

kn

xx

x

qm

kmqmrqmr





.

令n，这时q，于是得

0limnm

n

xx

nm

.

再让m并对右端取下极限得

limlimlimnmn

n

nn

xxx

nmn



.

11

所以limn

n

x

n

存在.

定理

26

若数列

n

x有界且

1

lim()0

nn

n

xx





.则此数列的聚点之集合是区间

[,]lL

，其中lim

n

n

lx



，lim

n

n

Lx



.

证明因为数列

n

x有界，故由聚点定理知，此数列至少有一个聚点.设l为

最小聚点，L为最大聚点.

若lL

，则此命题不证自明，故设lL，

(,)alL

.由于

1

lim()0

nn

n

xx





，

故0，N，使当nN时，有

1

||2

nn

xx



，

即当n充分大时，数列

n

x之相邻两项的距离小于2

.

由于lim

n

n

xl



，故必存在

1

nN，使

1

n

x落在l的邻域内.

又因lim

n

n

xL



，故必存在

2

nN，使

2

n

x落在L的邻域内.不妨设

12

nn，且

12

nn

xaax.

所要证明的就是存在

3132

()nnnn，使

3

n

axa.

今若

112

121

,,,

nnn

xxx



无一落在a的邻域内，则因

1

n

xa，而

2

n

xa，

不妨设

112

12

,,,

nnn

xxx



中第一个大于a的为

1

np

x



，

即

11

1npnp

xaax



.

从而

11

1

||2

npnp

xx



，

由此得出矛盾.故

3

n

x落在a的邻域内，此即a为

n

x的聚点.证毕.

注若数列

n

x无下界，则lim

n

n

x



；

若数列

n

x无上界，则lim

n

n

x



.

定理7证明柯西收敛准则（充分性）

证明由已知，0，N，,nmN，有||

nm

xx.固定m得

mnm

xxx.

12

从而有infsup

mknkm

knkn

xxxxx



.

因而supinf2

kk

knkn

xx



.

令n得limlim2

nn

n

n

xx





.

为进一步理解上极限的含意，特作如下对比：

lim

n

n

xa



，即是

>0,N，nN，有

n

axa.

lim

n

n

xa



，即是

>0,N，nN，有

n

xa,N



,nN



,使

n

xa



.

可见后者不同之处是：

n

x不必满足a的双侧邻域,aa，它从第1N

项起可以而且只可以溢出,aa的左端，但又不能全部溢出左端，在

,aa中仍需含有无穷项，这样a就必是

n

x的最大聚点，从而必有子列收

敛于a，使a为最大子列极限.

类似地可以对比函数极限与函数的上极限，从而发现它们的不同之处.还可将

函数的上极限与函数的右极限对比，从而可见所谓“右”不过是对自变量x而言，

所谓“上”不过是对因变量即函数值而言.

（三）上下极限在极限教学中的作用

1.上下极限在极限运算中的作用

例1已知lim

n

n

ss



，求证01lim

1

n

n

sss

s

n









.

这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误：

由于对任一0，存在常数N，当kN时，有

k

sss，所以

01

1

N

sss

n









1

nN

s

n









01

1

n

sss

n









01

1

N

sss

n









1

nN

s

n









(1)

令n，得到

01lim

1

n

n

sss

ss

n













.

再由的任意性得到

01lim

1

n

n

sss

s

n









.

错误是预先认定了极限01lim

1

n

n

sss

n







的存在.

13

这里如应用上、下极限，就可绕开极限是否存在这个问题.

正确的做法是：由（1），令n，得到

s01lim

1

n

n

sss

n







01lim

1

n

n

sss

n







s.

再由的任意性得到

01lim

1

n

n

sss

n







01lim

1

n

n

sss

s

n









.

于是推得01lim

1

n

n

sss

s

n









.

类似上述过程，不少书中直接写为：“令n，（1）式的左右两边分别趋于

s和s.”由于的任意性可得

01lim

1

n

n

sss

s

n









.

学生如无上、下极限的知识，就可能误解为前面指出过的错误过程.

2.上、下极限在数列与级数论中的作用

一个数列收敛，说明数列中的项，当n充分大时有大致相差不多的大小.一个

发散数列是没有这个性质的.上下极限正好用来补充说明一个发散数列，当

n

充分

大时，数列中的项大致的变化幅度.这一点在不少问题中很有用处.例如，一般分

析教科书中均提到当极限

lim||n

n

n

a



（8）存在时，

幂级数

0

n

n

n

az





（9）的收敛半径就是

1



.

这反映了幂级数的收敛半径是由其系数

n

a的绝对值大小来决定的.而实际

上，幂级数的收敛半径只由其绝对值最大的那一部分系数决定，即幂级数（9）式

的收敛半径等于

1lim||n

n

n

Ra



(10)

事实上，设（9）式收敛，则当n充分大时可有

||1n

n

aZ.

亦即1||||n

n

za.

令n，就得到||zR，所以收敛半径不超过R.

另一方面，由下极限的定义，对充分大的n,可有

1||n

n

aR.

14

亦即||n

n

aR.

于是当幂级数（9）式收敛时，所以（9）式的收敛半径是R.

结论

目前，一些教科书和数学杂志上面对上、下极限的研究还不深入，需要探究

和解决的问题还很多.为了充分的运用上、下极限的相关知识，这就需要我们多角

度、全方位的对其探讨.总之，在《数学分析》课程中引入上、下极限的相关知识

是非常必要的.不仅可以提高学生对极限的理解，以及相关的解题能力，而且上、

下极限的概念在许多后继课程中也起着很大作用.例如：实变函数中大家所熟知

的，关于Lebesgue积分有三大收敛定理，其中Faton引理的表述就用到了下极限

的概念，如果学生没有学习过有关下极限的知识，那么，学生在理解这个定理时

就会感到困难.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的，它所起的作用是

不可替代的.

参考文献：

[1][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海：科学技术出版社,1983：50-52.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2001：51-64.

[3]许万银.数列上、下极限的五种定义及其等价性[J].庆阳师专学报,1990,(1)：85-87.

[4]华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2001：

172-176.

[5]高等师范院校数学分析教学大纲[M].北京：人民教育出版社,1980.6.

[6]陈传璋,等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1983.5.

[7]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,1989.1.

[8]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996：48-52.

15