ln运算法则

学习要求：

1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中

认识质变的一种辩证唯物主义的思想

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．

3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限

4.掌握无穷等比数列各项的和公式.

学习材料：

一、基本知识

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数

n

无限增大时，无穷数列}{

n

a的项

n

a无限趋近于

．．．．．

某个常数

a

（即

n

aa无限趋近

于0），那么就说数列}{

n

a以a为极限，或者说a是数列}{

n

a的极限．记作lim

n

n

aa



，读作“当n趋向

于无穷大时，

n

a的极限等于a”

“

n

”表示“

n

趋向于无穷大”，即

n

无限增大的意思lim

n

n

aa



有时也记作：当

n

时，

n

aa

．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.

“随着项数

n

的无限增大，数列的项

n

a无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项

n

a趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大

n

a越来越接近于a；另一方面，

n

a不是一般地趋近

于

a

，而是“无限”地趋近于

a

，即

n

aa随n的增大而无限地趋近于0.

2.几个重要极限：

（1）0

1

lim

nn

（2）CC

n





lim（C是常数）

（3）lim0n

n

a



(

a

为常数1a)，当1a时，lim1n

n

a



；当1a或1a时，limn

n

a



不存在。

3.数列极限的运算法则:

与函数极限的运算法则类似,如果,lim,limBbAa

n

n

n

n





那么

BAba

nn

n





)(limBAba

nn

n





)(lim

BAba

nn

n

.).(lim



)0(lim



B

B

A

b

a

n

n

n

特别：若C为常数，则lim()lim

nn

nn

CacaCA





推广：上面法则可以推广到有限

．．

多个数列的情况如，若

n

a，

n

b，

n

c有极限，则

n

n

n

n

n

n

nnn

n

cbacba



limlimlim)(lim

二、基本题目

1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，

2

1

，

3

1

，…，

n

1

，…；

（2）

345

2,,,,

234

…，

1

(1)n

n

n



，…；

（3）

10

10

100(10)

1

(10)n

n

a

n

n

















2.（1）若

1

lim()0

2

n

n

a

a



，则a的取值范围是。

（2）数列}{

n

a的前n项和为

n

S，且

2

1

3nn

Sa，求lim

n

n

a



的值。

3．已知,5lim



n

n

a

3lim



n

n

b，求).43(lim

nn

n

ba



解：因为,5lim



n

n

a

3lim



n

n

b，

所以lim(34)lim3lim43lim4lim15123

nnnnnn

nnnnn

ababab





4．求下列极限：（1）)

4

5(lim

nn





；（2）2)1

1

(lim

nn

解：（1）

44

lim(5)lim5lim505

nnnnn

；（2）222

11

lim(1)(limlim1)(01)1

nnnnn



5．求下列极限：

(1))

21

(lim

2nnn





.(2)

n

n

n

23

lim





.(3)

23

2

lim

2

2





n

nn

n

.(4)

24

3

2

3

lim

nn

nn

n





.

解：(1)000

1

lim20

2

lim

1

lim)

21

(lim

22



nnnnnnnnn

.

(2)(方法一)303

1

lim23

2

lim3lim)

2

3(lim

23

lim



nnnn

n

nnnnn

.

(方法二)∵

n

，∴0n.分子、分母同除

n

的最高次幂.

3

1

3

1lim

)

2

3(lim

1

2

3

lim

23

lim

















n

n

nn

nn

n

n

.

第二个题目不能体现“分子、分母同除

n

的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方

法就简单多了.因为分母上是232n，有常数项，所以(2)的方法一就不能用了.

(3)

3

2

03

02

2

lim3lim

1

lim2lim

)

2

3(lim

)

1

2(lim

2

3

1

2

lim

23

2

lim

222

2

2









































n

n

n

n

n

n

n

nn

nn

nn

n

n

nn

.

规律一：一般地，当分子与分母是关于

n

的次数相同的多项式时，这个公式在

n

时的极限是分

子与分母中最高次项的系数之比.

(4)分子、分母同除

n

的最高次幂即4n，得.

0

02

00

1

lim2lim

1

lim

3

lim

1

2

13

lim

2

3

lim

2

3

2

3

24

3































n

nn

n

nn

nn

nn

nn

nn

nn

.

规律二：一般地，当分子、分母都是关于

n

的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当

n

时，这个分式极限为0.

6．求下列极限.

(1))

1

3

(lim

2

n

n

n

n









.(2)

21

323

lim





n

n

n

.(3)

1

513

lim





n

n

n

.

解：(1)1

1

1

3

1

lim

1

3

lim

1

3

lim)

1

3

(lim

222



























n

n

n

n

n

nnn

n

n

n

nnnn

.

(2)3

01

03

21

1

32

3

lim

21

323

lim



















n

n

n

n

n

n

nn

.

(3)0

01

00

1

lim1lim

5

lim

13

lim

1

1

513

lim

1

513

lim

22































n

nnn

n

nnn

n

n

nn

nn

nn

.

说明：当

n

无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不

能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不

一定不存在

7．求下列极限：

（1）)

1

12

1

7

1

5

1

3

(lim

2222













n

n

nnnn

；（2）)

3931

2421

(lim

1

1









n

n

n



解：先求和再求极限

（1）)

1

12

1

7

1

5

1

3

(lim

2222













n

n

nnnn



2

222

2

2

[3(21)]

1

357(21)2

2

limlimlimlim1

1

111

1nnnn

nn

nnn

n

nnn

n















（2）

1

1

21

2[()]

1242212(21)

33

lim()limlimlim0

11

139331

(31)1

23

n

nnn

n

nn

nnnn

n

n

















8．公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限

公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列

各项的和.

设无穷等比数列,,,,,1

1

2

111

nqaqaqaa的公比q的绝对值小于1，则其各项的和S为

q

a

S





1

1)1(q

（1）求无穷等比数列，，，…各项的和.

解：，，，…的首项

1

0.3a，公比0.1q所以s=+++…=

0.31

10.13





（2）将无限循环小数

。。

92.0化为分数.

解：0.290.290.00290.000029＝

2

246

2

1

11129

10

29()29

1

10101099

1

10





练习：如图，在边长为l的等边ABC中，圆

1

O为ABC的内切圆，圆

2

O与圆

1

O外切，且与,ABBC相

切，…，圆

1n

O



与圆

n

O外切，且与,ABBC相切，如此无限继续下去，

记圆

n

O的面积为*()

n

anN

.

(Ⅰ)证明{}

n

a是等比数列；

（Ⅱ）求

12

lim()

n

n

aaa



的值.