特殊值法

特殊值法在解题中的应用

周翠

江西省九江市星子县星子中学332800

摘要：对于某些有关一般值的数学问题，有时可以不需就一般值去考虑，直接在符合条件的范围内恰当地选

择某一个或几个特殊的值代入去研究解决。

关键词：特殊值解题应用

辩证唯物主义认识论告诉我们：人们总是认识特殊的事物或事物的特殊性质，而后才认识一般

的事物或事物的一般性质。这样就启发我们去从事物的特殊性中包含事物的普遍性，于是对于某些

有关一般值的数学问题，有时可以不需就一般值去考虑，直接在符合条件的范围内恰当地选择某一

个或几个特殊的值代入去研究解决，这就是特殊值法。特殊值选取是否恰当，当然是因人而异的，

因此也常有一定的技巧。

一、应用于解选择题

国内外大学入学试题都大量采用选择题，如何用最短时间去选择，对学生来说无疑是十分重要

的，特殊值法往往能事半功倍。

例1、当a,b是非负实数，且满足arctgbarctgaba则,2)1)(1(的值必是[]

A.

2



B.

4



C.

3



D.

6



若直接计算，虽不太繁难，但远不如用特殊法来得容易。若设

0a

，则

b

必为1，此时

4



arctgbacrtga，答案B即可确定。

例2、当a,b是两个不相等的正数时，下列三个代数式：

)

1

)(

1

(

b

b

a

a2)

1

(

ab

ab

2)

2

2

2

(







a

ba

中间最大的一个是[]

A.必定是B.必定是C.必定是D.一般不确定，而与a,b取值有关

因式=

)

1

)(

1

(

b

b

a

a=,2

11



ab

ab

b

a

a

b

ab

ab

而式=2)

1

(

ab

ab=,2

1



ab

ab

所以式>式，因此是不可能最大的，现在我们从利用a,b的特殊值来选择正确答案（即来

比较、大小）。取,1,2ba这时式的值=5，式的值=

36

169

，这时有式的值>式的值。再

取,2,3ba这时式的值=

3

25

，式的值=

100

841

，这时有式的值<式的值。由此可见式与

式的值孰大孰小并不确定，而与a,b取值有关，因而本题正确答案为D。

二、应用于待定系数法解题

例3、已知多项式dcxbxx23的系数都是整数，并且

cdbd

是奇数。证明：这个多项式

不能分解为两个整系数多项式的乘积。

证明：假设多项式能够分解为两个整系数多项式的乘积，则必定一个是一次多项式，一个是二

次多项式。不妨设dcxbxx23=))((2rqxxpx（p,q,r均为整数），由

cdbd

是

奇数，可以推知

cb

和

d

都是奇数。又因是关于x的恒等式，对于x的一切实数值均能成立。取

x的特殊值0，代入式两边，得prd，因d是奇数，故

rp,

都是奇数。再取x的特殊值1代入

式，得左边=

dcb1

是奇数，右边=)1)(1(rqp是偶数（p1是偶数），这得到一个

奇数与一个偶数相等，这不可能，所以原假设错误，故整系数多项式dcxbxx23不能分解为

两个整系数多项式的乘积。

三、应用于解定值问题

例4、已曲线

,

2

3

2cos

2

sin)3(:bkx

k

xkyC]

2

,0[



x。x在上述范围变化，曲线

C恒过一定点，求出这个定点。

解：因为

]

2

,0[



x时，曲线C对于

k

的某些特殊值它都恒过一定点，于是不妨令

0k

，代入

曲线C方程得bxysin3，再令

3k

，代入曲线C方程得

2

3

2cos

2

3

xy，联立，

解得

2

3

,3xy，即曲线C恒过定点)3,

2

3

(。

四、应用于证明不等式

例5、关于数a和

b

，已知不等式

13coscosxbxa

没有解，证明：1b。

证明：不等式

13coscosxbxa

没有解，就是对于任何实数x都有

13coscosxbxa

，因此我们可以尝试用一些特殊的x值分别代入式，得到一些只含ba,的不等式，由些消去a而

得到所求证的1b，

11ba

，当

3



x时，1

2

1

ba；当

3

2

x时，1

2

1

ba，

1

2

1

1ba，即

222ba

，+得

333b

，即1b。

参考文献

汤服成《中学数学解题思想方法》广西师范大学出版社