不动点法求数列通项

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不动点法求数列通项公式

通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、

f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点

法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数

f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法

可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样

认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有

区别的.

首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比

如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点.

下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.

◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项.

【说明：这题是“相异不动点”的例子.】

先求不动点

∵a[n+1]=2/(a[n]+1)

∴令x=2/(x+1),解得不动点为：x=1和x=-2【相异不动点】

∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2)【使用不动点】

=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)

=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)

=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)

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=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)

∵a[1]=2

∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4

∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列

∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)

解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2

◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.

【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的

方法.】

∵a[n]=2-1/a[n-1]

∴采用不动点法,令：x=2-1/x

即：x^2-2x+1=0

∴x=1【重合不动点】

∵a[n]=2-1/a[n-1]

∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1【使用不动点】

a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]

两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)

即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1

∵a[1]=3

∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列

即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2

∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)

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例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通

项.

【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在

看个不动点方程系数包含n的例子.】

∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)

∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n

将上面两式相减,得：

a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)

(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n

(n+2)a[n+1]=na[n]+2

a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2)【1】

采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)

解得：x=1【重合不动点】

设：a[n]-1=b[n],则：a[n]=b[n]+1【使用不动点】

代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)

b[n+1]=b[n]n/(n+2)

即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)

于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】

b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1)【这里保留分母】

b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n【这里保留分母】

b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)

b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)

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b[5]/b[4]=4/6

b[4]/b[3]=3/5

b[3]/b[2]=2/4【这里保留分子】

b[2]/b[1]=1/3【这里保留分子】

将上述各项左右各自累乘,得：

b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]

∵a[1]=1/2

∴b[1]=a[1]-1=-1/2

∴b[n]=-1/[n(n+1)]

∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]

◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.

【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他

解法.】

∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3

求不动点：x=(2x+1)/3,得：x=1【重合不动点】

∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1【使用不动点】

即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)

∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列

即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)

∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)

【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3

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∴3a[n+1]=2a[n]+1

这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：

3a[n+1]-3=2a[n]-2

∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)

【下面同上】

◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通

项.

【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】

∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])

∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)

y^2=2

解得不动点是：y=±√2【相异不动点为无理数】

∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)【使用不动点】

={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}

=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)

={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2

∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2

∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}【取

对数】

∵x[1]=2>√2

∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2

∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数

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列

即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)

(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]

x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)

x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2

∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}

◎例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通

项.

【说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动

点法,但采用其他解法可能更方便.】

求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：

x[1]=i,x[2]=-i【相异不动点为虚数,i为虚数单位】

∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i)【使用不动点】

={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}

=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)

={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}

=i(a[n]-i)/(a[n]+i)

∵a[1]=2

∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的

等比数列

即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)

(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)

.

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2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1)

{2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)

a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]

∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]

【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.】

∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])

∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tan

θ]=tan(π/4+θ)

∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])

∴上面两式相减,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4

∵a[1]=2

∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数

列

即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4

∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]