对称矩阵的逆矩阵

摘要.........................................................................................................错误！未定义书签。

关键词.........................................................................................................错误！未定义书签。

Abstract.....................................................................................................错误！未定义书签。

Keywords.................................................................................................错误！未定义书签。

前言..............................................................................................................错误！未定义书签。

1.对称矩阵的基本性质.....................................................................错误！未定义书签。

1.1对称矩阵的定义........................................................................错误！未定义书签。

1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………

错误！未定义书签。

2.对称矩阵的对角化..........................................................................错误！未定义书签。

2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明..............................错误！未定义书签。

2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例...................错误！未定义书签。

3.对称矩阵的正定性..........................................................................错误！未定义书签。

3.1正定矩阵的定义........................................................................错误！未定义书签。

3.2对称矩阵正定性的判别.........................................................错误！未定义书签。

4.应用举例...............................................................................................错误！未定义书签。

总结..............................................................................................................错误！未定义书签。

参考文献...................................................................................................错误！未定义书签。

对称矩阵的性质及应用

1

摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对

称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次

型，线性变换和欧式空间问题中的应用等.

关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用

ThePropertiesandApplicationsofSymmetryMatrix

Abstract:Thearticlemainlyelaboratesthedefinitionsofsymmetrymatrixand

discusspropertiesandapplicationsofit,includingthebasicpropertiesofsymmetry

matrices,diagonalizationofsymmetrymatrices,positivedefinitenessofsymmetry

matricesandapplicationsinquadraticform,lineartransformationsandEuclidean

spaceproblemtc.

Keywords:symmetrymatrix;diagonalization;positivedefiniteness;application

前言

矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重

要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为

变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性

质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就

使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类

型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利

工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅

谈一下对称矩阵的各种性质和应用.

1.对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反

对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.

1.1对称矩阵的定义

定义1设矩阵()

ijsn

Aa



，记()T

jins

Aa



为矩阵的转置.若矩阵A满足条件

TAA，则称A为对称矩阵.由定义知：

2

1.对称矩阵一定是方阵.

2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即

ijji

aa，对任意i

、j都成

立.对称矩阵一定形如

11121

12222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

aaa





















.

定义2形式为

1

2

00

00

00

l

a

a

a





















的矩阵，其中

i

a是数

(1,2,,)il

，通常称为

对角矩阵.

定义3若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称矩阵.

定义4若矩阵A满足TAA，则称A为反对称矩阵.由定义知：

1.反对称矩阵一定是方阵.

2.反对称矩阵的元素满足

ijji

aa，当ij时，

iiii

aa，对角线上的元素

都为零.反对称矩阵一定形如

121

122

12

0

0

0

n

n

nn

aa

aa

aa

























.

下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.

1.2对称矩阵的基本性质及简单证明

性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.

证设A、B是n阶对称矩阵，即TAA,TBB.则：

T

TTABABAB，TT

TTTABABABAB，

,T

TkCkAkAkA.

性质2设A为n阶方阵，则TAA，TAA，TAA是对称矩阵.

证因为TT

TTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵.

因为TT

TTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵，同理可证TAA也是对称矩阵.

3

性质3设

A

为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1A是对称矩阵（反

对陈矩阵）.

证（1）因为

A

可逆，TAA，1

11

T

TAAA

，所以1A是对称矩阵.

（2）因为

A

可逆，TAA，1111()()()TTAAAA，则1A是

对称矩阵.

性质4任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

证设

A

为nn矩阵，11

22

TTAAAAA，由性质2易证1

2

TAA

是对称矩阵，111

222

T

TTTAAAAAA，则1

2

TAA是反对称矩阵.

性质5设

A

为对称矩阵，X

与

A是同阶矩阵，则TXAX是对称矩阵.

证因为TT

TTTTTTTXAXXAXXAXXAX,所以TXAX是对称矩

阵.

性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A

、

B可交

换.

证必要性：若AB为对称矩阵，则TABAB

，又T

TTABBABA

，

ABBA，因此，A、B可交换.

充分性：若ABBA，则T

TTABBABAAB，AB为对称矩阵.

2.对称矩阵的对角化

任意一个n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，

那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如

何判别呢？下面的讨论将给出答案.

2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明

定理1实对称矩阵的特征值都是实数.

证设A是n阶实对称阵，



是的特征值，

12

,,,T

n

Xxxx是属于



的特

4

征向量，于是有AXX.令

1

2

n

x

x

X

x

















，其中

i

x是

i

x的共轭复数，则

________

AXX，

考察等式

________

____

()()()TTTTTXAXXAXAXXAXX

，其左边为

____

TXX

，右边为

____

TXX

.故

____

TXX=

____

TXX

，又因X是非零量，

____

1122

0T

nn

XXxxxxxx

故，即



是一个实数.

注意，由于实对称矩阵A的特征值

i

为实数，所以齐次线性方程组

0

i

AEx为实系数方程组，由0

i

AE知必有实的基础解系，从而对应

的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.

例如，

124

003

001

A















，

1,2

1，

3

0均为实数，而A不是对称的.

定理2设A是实对称矩，定义线性变换,

11

22

nn

xx

xx

A

xx

















......(1)，则对任意

向量,nR，有,,或TT.

证只证明后一等式即可.T

TTTTA.

定理3设A是实对称矩阵，则nR中属于A的不同特征值的特征向量必正交.

证设

12

,是A的两个不同的特征值，

12

,XX分别是属于

12

,的特征向

量：

111

AXX,

222

AXX.定义线性变换如定理2中的（1），于是

111

XX，

222

XX.由

1212

,,XXXX，有

112212

,,XXXX.因为

12

，所

以

12

,0XX.即

12

,XX正交.

定理4对任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵P，使

1TPAPPAP成为对角形且对角线上的元素为A的特征值.

证设A的互不相等的特征值为

12

,,,

s

()sn，它们的重数依次为

5

12

,,,

s

rrr

12s

rrrn.则对应特征值

i

(1,2,,)is

，恰有

i

r个线性无关的

实特征向量，把它们正交化并单位化，即得

i

r个单位正交的特征向量，由

12s

rrrn知，这样的特征向量共可得n个.由定理3知对应于不同特征值的

特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵

P，则1TPAPPAP，其对角矩阵中的对角元素含

1

r个

1

，…,

s

r个

s

，

恰是A的n个特征值.

2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例

定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.

定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A对角化找出正交阵P的方法，具体步

骤如下：

1.求出实对称矩阵的A全部特征值

12

,,,

s

.

2.对每个

i

(1,2,,)is，由0

i

EAX求出的特征向量.

3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量

组.

4.以这组向量为列，作一个正交矩阵P，它就是所要求的正交阵.

根据上述讨论，下面举例说明.

例1求一正交矩阵P，将实对称矩阵

400

031

013

A













化为对角阵.

解由于2

400

031(2)(4)

013

AE













，

A的特征值为

1

2，

23

4.

对

1

2，由20AEx得基础解系

1

0

1

1

















，

6

对

23

4，由40AEx得基础解系

2

1

0

0















，

3

0

1

1















，

2

与

3

恰好

正交，所以

1

，

2

，

3

两两正交.

再将

1

，

2

，

3

单位化，令1,2,3i

i

i

i







，得

1

0

12

12

















，

2

1

0

0















，

3

0

12

12















，于是得正交阵

123

010

,,12012

12012

P















，

则1

200

040

004

PAP













.

例2设

21

12

A













，求nA.

解（1）先将A对角化求出正交阵P.

21

(1)(3)0

12

AE













，

12

1,3.

由0AEx，30AEx分别得基础解系

1

1

1











，

2

1

1













.则



12

11

,

11

P











，1

11

1

11

2

P











，则1

10

03

PAP









.

（2）利用1nnPAP求nA.

1

111011

1313

11

110311

22

1313

nn

nn

n

nn

APP





















.

3.对称矩阵的正定性

二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因

此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义

以及判别正定性的条件和方法.

3.1正定矩阵的定义

7

定义1实二次型

12

,,,T

n

fxxxXAX称为正定的，如果对于任意一组不

全为零的实数

12

,,,

n

ccc都有

12

,,,0

n

fccc.

定义2实对称矩阵A称为正定的，如果二次型TXAX正定.

由定义可知：

1.二次型222

1212

,,,

nn

fxxxxxx是正定的，因为只有在

12

0

n

ccc时，222

12n

ccc才为零.一般地，不难验证，实二次型

222

121122

,,,

nnn

fxxxdxdxdx是正定的当且仅当0,1,2,,

i

din.非退

化的线性替换保持正定性不变.

2.任意n阶实对称矩阵A正定就是指，对于任意n维非零列向量X，都有

0TXAX.

3.复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可.

4.正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵

的和仍是正定矩阵.事实上，设A、B都是n阶正定矩阵，则对于任意非零列向量



12

,,,T

n

Xxxx，有0TXAX，0TXBX，那么，

0TTTXABXXAXXBX，所以AB仍是正定矩阵.

3.2对称矩阵正定性的判别

定理1n元实二次型

12

,,,T

n

fxxxXAX是正定的充分必要条件是它的

正惯性指数等于n.

证设二次型

12

,,,

n

fxxx经过非退化实线性替换变成标准形

222

1122nn

dydydy（1）.上面的讨论表明，

12

,,,

n

fxxx正定当且仅当（1）

是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,

i

din，即正

惯性指数为n.

由定理1可以得到下列推论：

8

1.实对角阵

1

2

n

d

d

d















正定的充要条件是0,1,2,,

i

din.

2.实对称矩阵A正定的充要条件是

12

,,,T

n

fxxxXAX的秩与正惯性指

数都等于n.

3.实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全为正.事实上，由第二部分

对称矩阵对角化的讨论可知，A可对角化为

1

2

n





















，,1,2,,

i

in是

A的特征值，A正定即二次型

12

,,,T

n

fxxxXAX正定，而

12

,,,

n

fxxx的

标准形为222

1122nn

xxx，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有

0,1,2,,

i

in，

A的特征值全为正.

定理2实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.

证由定理1可知，正定二次型

12

,,,

n

fxxx的规范形为222

12n

yyy，

而规范型的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位

矩阵E合同.

由此得：

1.正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A与单位矩阵E合同，所以有可

逆矩阵C使TTACECCC，两边取行列式，就有20TACCC.

2.正定矩阵A的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A的逆仍是对称矩阵，又A

与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P使TAPEP，两边取逆111

TAPEP，

令1

TQP，则1TAQEQ，所以1A也与单位矩阵合同.

有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，

为此，引入：

9

定义3子式

11121

21222

12

1,2,,

i

i

i

iiii

aaa

aaa

Pin

aaa













称为矩阵

ij

nn

Aa



的顺序

主子式.

定理3实二次型

12

,,,T

n

fxxxXAX或矩阵A是正定的充分必要条件为

矩阵A的顺序主子式全大于零.

证必要性：设二次型

12

11

,,,

nn

nijij

ij

fxxxaxx





是正定的.对于每个k，

1kn

，令

12

11

,,,

kk

kkijij

ij

fxxxaxx



.我们来证

k

f是一个k元的正定二次型.

对于任意一组不全为零的实数

1

,,

k

cc，有



11

11

,,,,,0,,00

kk

kkijijk

ij

fccaccfcc



.因此

12

,,,

kn

fxxx是正定的.

由上面的推论，

k

f的矩阵的行列式

111

1

0

k

kkk

aa

aa









，1,,kn.这就证明了矩阵

A的顺序主子式全大于零.

充分性：对作数学归纳法，当1n时，2

1111

fxax，由条件

11

0a显然有



1

fx是正定的.

假设充分性的论断对于1n元二次型已经成立，现在来证n元的情形.令

111,1

1

1,11,1

n

nnn

aa

A

aa























，

1

1,

n

nn

a

a

















，于是矩阵A可以分块写成1

T

nn

A

A

a













.

既然A的顺序主子式全大于零，当然

1

A的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，

1

A是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n级矩阵G使

11

T

n

GAGE



，这里

1n

E



代

表1n级单位矩阵.令

1

0

01

G

C









，于是

10

1

11

0

0

01

01

T

T

T

n

T

T

nn

nn

A

G

EG

G

CAC

a

Ga





































.

再令1

201

T

n

EG

C















，有

1

1

1

1

2112

0

0

0

1

01

T

T

n

n

TT

n

n

TT

T

T

nn

nn

E

E

EG

EG

CCACC

aGG

G

Ga

















































.

令

12

CCC，TT

nn

aGGa，就有

1

1

TCAC

a

















.两边取行列式，

2CAa.由条件，0A，因此0a.显然

11

11

11

11

1a

aa

































.

这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或者说，二次型



12

,,,

n

fxxx是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.

应用定理3完成下题.

例3若二次型222

1231231223

,,2422fxxxxxxxxtxx正定，则t的取值范

围是什么？

解设f对应的矩阵为A，则

210

11

04

At

t













，它的三个顺序主子式为

1

2，

2

21

1

11

，2

3

42At.

所以当2420t时，即

22t

时，f为正定二次型.

4.应用举例

例4设,AB均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P使TPAPB的充要条

件是的,AB特征多项式的根全部相同.

11

证必要性：由条件可知

,AB

相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证.

充分性：设

,AB

的特征多项式的根全部相同，记它们为

12

,,,

n

，则存正

交阵

12

,PP使

1

11

T

n

PAP



















，

1

22

T

n

PBP



















，那么

1122

TTPAPPBP，

所以11

2112

PPAPPB，取1

12

PPP为正交阵，则有TPAPB.

例5欧式空间V中的线性变换:VV称为反对称变换，若

,,,,V.证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的

矩阵是反对称矩阵.

证充分性：设()

ijnn

Aa



是线性变换在标准正交基

12

,,,

n

下的矩阵，

且A反对称，即TAA，任给,V，记11

,,,,,

nn

XY，

则有

11

,,,,,

nn

AXAY，那么

,,T

TTTAXYXAYXAY，所以为反对称变换.

必要性：设是反对称变换，且

1212

,,,,,,

nn

A，其中矩阵

()

ijnn

Aa



，

12

,,,

n

为V的标准正交基，那么，

1

1

,,

n

i

i

ni

a

a















，1

1

,,

n

j

j

nj

a

a















.

因此,,,

ijjiijij

aa，所以,,

ijijijji

aa.即知

A为反对称矩阵.

例6设:An阶正定阵，:Bn阶实对称阵.证明：AB的特征值为实数.

证设AB，其中0，由于A正定，则1A存在且正定，则

11,TTBABA，那么

11,TTTTBABA.

因此11TTAA，则10TA.又1A也正定，且0，则

12

10TA，则0，即



为实数.

总结

本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵

可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其

中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思

考，努力掌握好对称矩阵的相关问题.

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