常见的等价无穷小

等价无穷小性质的理解、延拓及应用

【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算

中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能

取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一

些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。

【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法

等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅

仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的

敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性

质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时

还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便

恰当运用，达到简化运算的目的。

1等价无穷小的概念及其重要性质［1］

无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数

f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。

当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

常见性质有：

设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存

在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ

性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极

限的运算法则，可继续拓展出下列结论：

③若α～α′,β～β′，且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′

证明：∵limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1∴α+β～α′+β′

而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～

α′,β～β′，则有α+β～α′+β′

④若α～α′,β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且

limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代

换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”

的使用。

2等价无穷小的应用

2.1在求极限中经常用到的等价无穷小有x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～

ex-1,1-cosx～12x2,n1+x～1+xn,(x→0)

例1limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)

=12

此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。

∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。

例2limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。

例3limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4(∵sinx～x)

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44(∵tanx～x)

=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(c2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23(∵tanx～x)

两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～

x-xcosx(注意limx→0sinx-xcosx=-1),由性质③sinx-xcosx并不等价于x-xcosx。从解法2

又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，

特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。

2.2在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷

小的一个应用。

比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正项级数，①如果

limn→∞unvn=l(0≤l<+∞)，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。

②如果limn→∞unvn=l>0或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un

发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同

敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。

例4判定∑∞n=11n2-lnn的敛散性

解：∵limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1又∑1n2收敛∴∑∞n=11n2-lnn收敛

例5研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性

解：limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1而∑1n发散∴∑∞n=11ln(1+n)发散

3等价无穷小无可比拟的作用

以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：

原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(cx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·cx

=limx→0cx(tan2x-c2x)-1tan2x+4x·tanx·cx+x2cx(c2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求

出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后

进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：

例6［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+c2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)c2x2sin(tanx)（用罗比塔法则）

=limx→0+c2(sinx)cosxcos(tanx)c2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx)（分离非零极限乘积因

子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx)（算出非零极限）

=limx→0+cos(sinx)c2x2sin(tanx)c2(sinx)cosx2tan(sinx)（用罗比塔法则）

=limx→0+cos(sinx)c2xc2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。

∵x～sinx～tanx(x→0)

∴原式=limx→0+xx=1而得解。

由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。

只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。

【参考文献】

1同济大学应用数学系，主编.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：

56～59.

2杨文泰，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学报，2005，10（2）：11～13.

3王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学报，2001，12（4）：

56～58.