黑洞半径

【物理公式】⿊洞中隐藏的5个公式

北京时间4⽉10⽇21时，⼈类历史上⾸张⿊洞照⽚正式披露。

⿊洞，这个神秘莫测，看不见摸不着，能吞噬⼀切物质，甚⾄连光都不放过的宇宙怪兽，第⼀次不再活在科幻⼤⽚的虚

拟设想中，真正与我们见⾯。

成功拍下的⿊洞照⽚的事件视界望远镜，据科学家声称，对深空天体的观察能⼒，相当于在纽约能数清洛杉矶的⼀个⾼

尔夫球表⾯的凹痕。

对于物理学家来说，可能他们需要照⽚来证实⾃⼰的理论。

但对于数学家来讲，他们⽆需任何照⽚，这100多年来，他们通过对公式的演算就能推导出⿊洞的各种性质。

这5个与⿊洞相关的数学公式，才是破解⿊洞真相的密钥。

01

爱因斯坦“引⼒场⽅程”

发现⿊洞？

很少有⼈⽐发现⿊洞存在的这个⼈更讨厌⿊洞：他就是爱因斯坦。

1915年，爱因斯坦发表了⼴义相对论，提出了著名的“引⼒场⽅程”。

本来希望⼤家⽤这个⽅程能认真理解物质是如何引起时空弯曲的——就像⼀个铅球放在弹簧垫上，就会引起弹簧垫表⾯

会向下凹陷。

但没想到这个弹簧垫上⼀个⽉后直接破了个洞，史⽡西在场⽅程中找到了第⼀个⾮平坦时空的准确解时，意外地发现了

⼀个密度⾜够⼤的物体，它最终将在时空中形成⼀个被称作奇点的“⽆底洞”，即⿊洞就是场⽅程的⼀个解。

我们来看下场⽅程，⾥奇曲率张量减去⼆分之⼀的度量张量与⾥奇标量的乘积，与能量-动量-应⼒张量成正⽐。

我们来看下场⽅程，⾥奇曲率张量减去⼆分之⼀的度量张量与⾥奇标量的乘积，与能量-动量-应⼒张量成正⽐。

也就是说，如果已知⼀个恒星、⼀个⿊洞甚⾄⼀个宇宙，可以算出物质能量浓度周围的曲率。

按照⼴义相对论，物质决定时空如何弯曲，⽽光和物质的运动将由弯曲时空的曲率决定，当曲率⼤到⼀定程度时，光线

就⽆法跑出去了，⿊洞的概念也就由此⽽⽣。

那⿊洞究竟长什么样⼦？

如果⼀切都如⼴义相对论的预期，那么我们看到的⿊洞图像将会是：

⼀个圆形“剪影”被⼀圈明亮的光⼦圆环所围绕。

观测⿊洞的剪影⾮常重要，因为它的形状和⼤⼩是由爱因斯坦的⼴义相对论所决定的。

科学家⼀直很渴望在⿊洞这样极端的引⼒环境中，检验⼴义相对论的有效性。

02

史⽡西半径公式

⿊洞的⼤⼩？

史⽡西，不仅是使⽤⼴义相对论⽅程证明⿊洞的确能够形成的第⼀⼈，更是⾸次发现了史⽡西半径存在的⼈。

爱因斯坦使⽤传统的直⾓坐标系去破解⾃⼰的场⽅程，最终得到了⼀个近似解。这让向来具有强迫症的史⽡西实在看不

下去，于是，他另辟蹊径地引⼊了⼀个类似于极坐标系的坐标系，使得场⽅程变得更优雅明确，并导出了场⽅程的第⼀

个精确解。

这个解给出了⼀个静态球对称⿊洞（即史⽡西⿊洞）的描述，并定义了任何具有质量的物质都存在的⼀个临界半径特征

值，即“史⽡西半径”。

式中，Rs为天体的“史⽡西半径”，G为万有引⼒常数，M为天体的质量，c为光速。

这个半径，也是⿊洞的视界半径，即⿊洞的重⼒场捕捉光使其不能逃逸的范围。

通过公式，我们可以计算出⼀个物体想要变成⿊洞，其半径要缩⼩到多少才⾏，太阳需要缩⼩成3千⽶才有机会变成⿊

洞，⽽地球的史⽡西半径只有约9毫⽶。

史⽡西为⿊洞确⽴了⼀个“视界”。

这个视界是光⼦的牢笼，光⼦只能被禁闭在“视界”之内，“视界”之外的空间仍然是平直的欧⼏⾥德空间，光⼦仍然遵守地

球空间中的⼀切物理定律。

在它的中⼼，所有的物质都被⽆限压缩，时空被⽆限弯曲，“⼀切科学预见都失去了效果”。

没有时间，也没有空间。

它就像宇宙中的⽆底洞，任何物质⼀旦掉进了这个“引⼒陷阱”，基本就再也逃不出来了。

03

⿊洞熵公式

⿊洞有“⽑”吗？

这个公式让我们了解⿊洞本⾝的性质。

如果往⿊洞⾥倒⼀杯热茶会怎样？

20世纪70年代，作为“熵+定律”的忠实粉丝，惠勒向“经典⿊洞”提出了质疑。

热茶既有热量⼜有熵，但⼀切物质被⿊洞吞下后就不见了，造成总体的“熵值”似乎不是增加⽽是减少了，这不是有悖“熵

+定律”吗？

⼴义相对论所预⾔的“经典⿊洞”，奉⾏的是“⿊洞⽆⽑定理”，也被戏称为“⿊洞三⽑定理”。

所谓三⽑，指的是⽆论什么样天体，⼀旦塌缩成为⿊洞，就剩下电荷Q、质量M和⾓动量L三个最基本的性质。

天体的形状、⼤⼩、磁场分布、物质构成的种类等等，都在引⼒塌缩的过程中丢失了。对⿊洞视界之外的观察者⽽⾔，

只能看到M、L、Q这三根⽑。

那熵，这个代表微观信息不确定度的物理量在哪？

1972年霍⾦证明的“⿊洞视界的表⾯积永远不会减少”给了贝肯斯坦极⼤的启迪。

借助于史⽡西半径为⿊洞确⽴的“视界”，1972年，贝肯斯坦发表了⼀篇霸⽓论⽂《⿊洞和熵》，提出⿊洞的熵就是它的

表⾯积除以普朗克常数平⽅再乘以⼀个⽆量纲数。或者说，越⼤的⿊洞熵越多，熵和表⾯积完全成正⽐。

贝肯斯坦的⿊洞熵概念使得“熵增加原理”对⿊洞仍然成⽴。

⽐如说，当你扔进⿊洞⼀些物质，就像惠勒所说的⼀杯茶，之后，⿊洞获得了质量。⽽⿊洞的⾯积是和质量成正⽐的，

质量增加使得⾯积增加，因⽽熵也增加了。⿊洞熵的增加，抵消了被扔进去的茶⽔的熵的丢失。

04

⿊洞温度公式

⿊洞温度有多⾼？

传统上认为，⿊洞有进⽆出，任何东西都不能从⿊洞的视界之内逃逸出来。

当贝肯斯坦提出⿊洞熵概念后，所有⼈都觉得：这个⼈⼀定是疯了！

当年的专家们都确信“⿊洞⽆⽑”，可以被三个简单的参数所唯⼀确定，那么，⿊洞与代表随机不确定性的“熵”应该扯不上

任何关系！

霍⾦⼀开始也表⽰不相信：如果⿊洞具有熵，那它也应该具有温度，要有温度就⼀定要向外发出热辐射，这怎么可能？

然⽽与贝肯斯坦战⽃、进⾏了⼀系列的计算后，霍⾦发现原来“⿊洞不⿊”！

承认了贝肯斯坦“表⾯积即熵”的观念，霍⾦在此基础之上提出了著名的“霍⾦辐射”：原本经典理论上“⼀⽑不拔”的⿊洞在

⿊洞量⼦⼒学中也可以通过⼀定的机制发射⿊体辐射！

根据熟知的热⼒学公式，温度可以看作是使得系统的熵增加1⽐特所需要的能量。因此，从⿊洞熵的表达式，可得史⽡

西⿊洞的温度：

C表⽰光速，h是普朗克常数，G是⽜顿引⼒常数，π是圆周率，⽽k是玻尔兹曼常数。

这个公式表明，⼀个⿊洞犹如⼀个具有温度的热体⼀样发射辐射，其温度只与它的质量有关。

⿊洞的质量越⼩，其温度就越⾼。

通过这个⿊洞公式，热⼒学，⼒学和量⼦⼒学被结合在了⼀起，这也成了霍⾦的成名之作。

05

⿊洞⾏为

拉马努⾦公式

1919年，印度的贡伯⼽讷姆。

拉马努⾦躺在病床上，他的⼥神在梦⾥给了他最后⼀个公式——模θ函数。

这个公式令同时代所有的数学⼤师都不解，没有⼈能看懂它描述的啥。

2012年，这个神秘的公式终于被破解，科学家发现它有助于研究⿊洞⾏为。

然⽽在100年前，还没有⼀个⼈知道⿊洞是什么！

⼀个世纪后的拉马努⾦，⼜⽤他⾃学成才的数学天赋再⼀次征服了宇宙。

这个征服宇宙的神秘函数，本质上是模形式。

拉马努⾦猜测，在输⼊特殊值时，也许能这样描述模θ函数：它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇

点，靠近这些点时，函数值趋向⽆穷⼤。

如函数f（x）=1/x，它有⼀个奇点x=0。随着x⽆限接近0，函数值f（x）渐增⾄⽆穷⼤。

这位对数学有着野兽般直觉的天才相信，对于每⼀个这样的函数，存在⼀个模θ函数使得它们不仅奇点相同，奇点的函

数值也以⼏乎同样的速率趋近于⽆穷。

⽽⿊洞的中⼼其实就是⼀个奇点。

在这个奇点上，史⽡西半径⼏乎为0，时空曲率和物质密度都趋于⽆穷⼤，时空流形达到尽头，引⼒弯曲成了⼀个“陷

阱”，成了⼀个⽆限吞灭物质的⽆底洞。

从奇点到奇点，冥冥之中，这似乎喻⽰着模θ函数与⿊洞之间早就写下了⼀场缘分。

这位⼀⽣坚信着“娜玛卡⼥神在梦中⽤公式向他启⽰”、写下3900个公式的数学⼤师，在⽣命弥留之际，⼀定也曾点亮⼀

盏油灯，虔诚着向⼥神祈求灵感。

在那⼀刻，他⼀定是看到了奇点、最接近⽆限的⼈。

结语

数学家眼中的⿊洞

在数学家的眼中，宇宙是可以计算的：如果知道⽀配宇宙系统的基本定律，并且知道它的初始状态，就应该能据此⽆限

地推演它的发展直到未来。⽆论⽤⽜顿定律来预测台球的未来位置，还是麦克斯韦⽅程描述电磁场，或者是爱因斯坦的

⼴义相对论来预测时空形状的演变，这些原理都是成⽴的。

作为⼀个普通⼈，我们⽤五官去感知宇宙，所以这张照⽚对我们来说⾮常重要。

⽽对于⼀个数学家来说，他们更在乎的是公式是否严谨，只有公式严谨，这样推导出来的⿊洞才是正确的。

这让我们想起爱因斯坦的⼀段往事：当年全世界在为光线弯曲的实验震憾时，唯有爱因斯坦⾮常平静，因为他坚信⼴义

相对论的数学底层是坚实的，⽆需实验来证明，⼀切都在意料之中。