圆锥轴截面

精选中小学试题、试卷、教案资料第三讲圆锥曲线性质的探讨

3.3平面与圆锥面的截线

A级基础巩固

一、选择题

1．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为()

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．两条相交直线

答案：D

2．平面π与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是()

A．1B．2C.

1

2

D．无法确定

解析：由题意，知交线为抛物线，故其离心率为1.

答案：A

3．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面

去截圆锥面时，则所截得的截线是()

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．两条相交直线

答案：C

4．一组平行平面与一圆锥的交线，具有()

A．相同的焦距B．相同的准线

C．相同的焦点D．相同的离心率

解析：因为平行平面与圆锥轴线夹角相等，所以由e＝

cosβ

cosα

可知，它们有相

同的离心率．

答案：D

5．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()

A.2B.3

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C.

6

2

D．23

解析：由题意知2c＝3·

2a2

c

，所以e＝3.

答案：B

二、填空题

6．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会

出现四种情况：________、________、________、和________．

答案：圆、椭圆、抛物线、双曲线

7．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点

的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为________．

答案：

1

2

8．已知F

1

，F

2

是双曲线的两个焦点，PQ是经过F

1

且垂直于F

1

F

2

的弦．已

知∠PF

2

Q＝90°，则双曲线的离心率是________．

解析：如图所示，由对称性知△PF

2

Q是等腰直角三角形，点F

1

为PQ中点，

所以F

1

F

2

＝PF

1

，

设双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，

则PF

1

＝2c，所以PF

2

＝22c.

由双曲线结构特点，PF

2

－PF

1

＝2a，

即22·c－2c＝2a，所以

c

a

＝2＋1.

所以e＝2＋1.

答案：2＋1

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三、解答题

9．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O

，使SO＝3cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径．

解：如下图所示，OH＝

1

2

SO＝

3

2

cm，

HC＝OHsin60°＝

3

2

×

3

2

＝

33

4

cm.

所以球O的半径为

3

2

cm，切点圆的半径为

33

4

cm.

10．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使S

C＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为

45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到

两个焦点的距离之和．

解：由题可知，截出的圆锥曲线是椭圆．

e＝

cos45°

cos30°

＝

2

2

3

2

＝

6

3

.

设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为点F

1

、F

2

，MF

1

＋MF

2

＝AB.

设圆锥面内切球O

1

的半径为R

1

，内切球O

2

的半径为R

2

.

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因为SO

1

＝2R

1

，CO

1

＝2R

1

，

所以SC＝(2＋2)R

1

＝5，

即R

1

＝

5（2－2）

2

.

因为SO

2

＝2R

2

，CO

2

＝2R

2

，

所以SC＝(2－2)R

2

＝5，

即R

2

＝

5（2＋2）

2

.

因为O

1

O

2

＝CO

1

＋CO

2

＝2(R

1

＋R

2

)＝102，

所以AB＝O

1

O

2

cos30°＝O

1

O

2

·

3

2

＝56，

即MF

1

＋MF

2

＝56.

B级能力提升

1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与

圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于

圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()

A.

1

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

3

2

解析：Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰

好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c.

所以e＝

c

a

＝

c

b2＋c2

＝

c

2c

＝

2

2

.

答案：B

2．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成

30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是_____．

解析：圆锥轴截面为等腰直角三角形，则轴线与母线成45°角，又30°

<45°，故截线为双曲线．

答案：双曲线

3．已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45°，在轴线上取一点C，使SC＝

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5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30°，所截得的曲线是什么样的图形？求

两个焦球的半径．

解：所截得的曲线是双曲线．

设焦球O的半径为R.

因为SO＝2R，OC＝2R，

所以SC＝(2＋2)R＝5，

即R＝

5

2＋2

＝

5（2－2）

2

.

设另焦球O′的半径为R′，

则OO′＝

R＋R′

cos45°

＝2(R＋R′)，

又截面与轴线的夹角为30°，

所以R′－R＝

1

2

OO′＝

2

2

(R＋R′)，

所以R′＝(3＋22)R＝

5（2＋2）

2

.