根号五

3.3直线的交点坐标与距离公式

一·两条直线的交点坐标

设两条直线的方程是l

1

:A

1

x+B

1

y+C

1

=0,l

2

:A

2

x+B

2

y+C

2

=0

两条直线的交点坐标就是方程组的解

若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；

若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。反之亦成立

二·两点之间的距离

平面上的两点P

1

(x

1

，y

1

)，P

2

(x

2

，y

2

)间的距离公式

|P

1

P

2

|＝

原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝

三·点到直线的距离

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d=

（使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式）

四·两条平行直线间的距离

两条平行线Ax＋By＋C

1

＝0与Ax＋By＋C

2

＝0间的距离

d=

使用两平行线间的距离公式时

1）首先直线的方程化成一般形式

2）还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C

1

、C

2

的值.

基本问题

一.两直线的交点问题：

(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．

(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，

则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线

l2)，设出方程后再利用其他条件求解．

二．距离问题

三．对称问题

1．中心对称

(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得

(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已

知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式

得到所求直线方程．

2．轴对称

(1)点关于直线的对称

若两点P

1

(x

1

，y

1

)与P

2

(x

2

，y

2

)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P

1

P

2

的中点在对称轴l

上，而且连接P

1

P

2

的直线垂直于对称轴l，由方程组

可得到点P

1

关于l对称的点P

2

的坐标(x

2

，y

2

)(其中B≠0，x

1

≠x

2

)

(2)直线关于直线的对称

此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线l

1

与对称轴l相交，则交点必在

与l

1

对称的直线l

2

上，然后再求出l

1

上任一个已知点P

1

关于对称轴l对称的点P

2

，那么经过交点

及点P

2

的直线就是l

2

；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l

1

对称的直线和l

1

到直线l的距离相等，

由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l

1

的对称直线,或者在已知直线上任取一点，找它

关于对称轴的对称点，用点斜式求方程．

习题

直线的交点坐标与距离公式

1.已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为(D)

A.{3,–1}B.3,–1C.(3,–1)D.{(3,–1)}

2.已知直线y=kx+2k+1与直线y=–

2

1

x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(C)

A.–6

6

1

6

1

2

1

D.

2

1

3．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(C)

A.B．2－C.－1D.＋1

4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是(A)

A．(1，－3)B．(3，－1)C．(－3,1)D．(－1,3)

5．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为(B)

6.点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是(C)

A．2B.6C.22D.10

7．一条直线经过P(1,2),且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线l为(C)

A.4x+y－6=0B.x+4y－6=0

C.3x+2y－7=0和4x+y－6=0D.2x+3y－7=0,x+4y－6=0

8．过两直线x–

3

y+1=0和

3

x+y–

3

=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(B)

A.0条B.1条C.2条D.3条

9．经过点A(1,0)和B(0,5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有

(B)

A.1组B.2组C.3组D.4组

10.已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（B）

A.（4,0）B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)

11.两直线位置关系的判定

已知直线l

1

：（m+3）x+4y=5-3ml

2

:2x+(m+5)y=8

问：m为何值时1）l

1

‖l22）l1与l2重合3）l1与l2垂直

12.两直线的交点问题

求经过直线l

1

：3x＋2y－1＝0和l

2

：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l

3

：3x－5y＋6＝0的直

线l的方程．

（5x＋3y－1＝0）

13.距离问题

已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

（x＝2或3x－4y－10＝0.|2x－y－5＝0根号五）