行列式乘法

§8拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则

一、拉普拉斯定理

定义9在一个n级行列式D中任意选定k行k列(nk)，位于这些行和列的

交点上的2k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一

个k级子式.在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的kn级

行列式M



称为k级子式M的余子式.

从定义立刻看出，M也是M



的余子式.所以M和M



可以称为D的一对互

余的子式.

例1在四级行列式

3100

1200

1210

4121



D

中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M：

10

42

M,

M的余子式为

10

20





M.

例2在五级行列式

5554535251

2524232221

1514131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

D





中

454342

252322

151312

aaa

aaa

aaa

M

和

5451

3431

aa

aa

M



是一对互余的子式.

定义10设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是

kk

jjjiii,,,;,,,

2121

，则M的余子式M



前面加上符号)()(

2121)1(kk

jjjiii后

称做M的代数余子式.

因为M与M



位于行列式D中不同的行和不同的列，所以有下述

引理行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都

是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致.

定理6(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了k(11nk)个行.由

这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式

D.

例3利用拉普拉斯定理计算行列式

1310

3101

1210

4121



D

从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定

理主要是理论方面的应用.

二、行列式的乘积法则

定理7两个n级行列式

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D









21

22221

11211

1



和

nnnn

n

n

bbb

bbb

bbb

D









21

22221

11211

2



的乘积等于一个n级行列式

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C









21

22221

11211



,

其中

ij

c是

1

D

的第i行元素分别与

2

D的第j列的对应元素乘积之和：







n

k

kjiknjinjijiij

babababac

1

2211



.

这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.