有理项

二项式展开

1

二项式展开定理

一、定理及基本概念

1.*)()(110NnnCbaCbaCaCbann

n

rrnr

n

n

n

n

n

n;

2.项数：一共

1n

项；

3.通项:rrnr

nr

baCT





1

；一定注意两点:

1)涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；

2)注意项数与系数r的关系。

4.二项式系数与各项系数之间的联系与区别。

二、性质

1.二项式系数的对称性：rn

n

r

n

CC;

2.二项式系数和：n2

;

3.奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=12n;

4.二项式系数最大项：

1)当n是偶数时，此时项数

1n

是奇数,中间项的二项式系数2

n

n

C最大;

2)当n是奇数时，此时项数

1n

是偶数，中间两项的二项式系数2

1n

n

C=2

1n

n

C最大。

5.系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。

二项式展开

2

基本题型解题思路及步骤

一、利用通项公式求某项系数

1.写出通项公式的时候注意:

1)所有的系数写在最前面，包括符号；

2)所有根式都写出分数次数形式;

3)明白什么是有理项；

4)注意r的取值范围。

2.只有一个式子:写出通项公式，根据系数关系,确定满足条件的项。

3.有两个式子相乘：

1)分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项;

2)只打开一个,观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；

3)有多个

i

r的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。

二、赋值求系数和

1.常用的赋值是令1,1,0x,具体要通过所求的式子来判断赋值；

2.所有系数之和：令

1x

；二项式系数之和:n2

；

3.所有系数绝对值之和：令

1x

；变换原来式子里的符号,边为相加；再令

1x

；

4.求导和积分的形式。

三、对二项式定理的理解：组合项、整除

1.二项式定理的ba,理解:都表示一个整体；

2.根据所求的问题，对前面的ba,进行重新组合.

例题讲解

二项式展开

3

一、求某项的系数

1.求9

2

)

1

(

x

x

展开式中第几项为常数项,并求常数项的值。

解：直接用通项公式打开:rrrrrr

r

xCxxCT39

9

29

91

)1()()(



；（注意系数都放一起）

常数项即x的次数为0，也即：

3039rr

；所以常数项为第4项;

且常数项为：84)1(33

9

C

2.在二项式nx

x

)

1

(4

3

3

的展开式中,第四项的系数为56，求

x

1

的系数.

解：第四项的系数为56：注意：项数与展开式中r的取值的关系。此时:

3r

。

3

n

C=56,解得：

8n

；

再利用通项公式：12

3213

8

4

3

8

81

)()(3

1











r

rrrr

r

xCxxCT；

要求

x

1

的系数，所以：

2

2

1

12

3213





r

r

；

故

x

1

前的系数为：282

8

C

3.求二项式102)

2

1

3(

x

x展开式中常数项的值。

解：2

540

10

10

2

1

102

101

)

2

1

()3()

2

1

()3(

r

rrrrrr

r

xCxxCT













，所以

8r

;

常数项的值为:

256

405

)

2

1

(3828

10

C

。（一定严格按步骤来，注意系数的符号)

4.求二项式8

3)2(xx展开式中有理项的系数和。

解：什么是有理项？kx

，当

Zk

时为有理项；

二项式展开

4

用通项公式打开：6

24

8

3

1

8

2

1

81

)2()2()(

r

rrrrr

r

xCxxCT







;

要满足有理项，即：

Z

r





6

24

且Zrr,80,所以：

0r

或

6r

当

0r

时，1)2(00

8

C；当

6r

时，1792)2(66

8

C;

故：有理项的系数和为

1793

.

5.求多项式106)1()

1

(x

x

x展开后常数项。

解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式,所取的

21

,rr的取值范围；

6)

1

(

x

x展开：111)()(2

1

6

6

rrrxxC

；10)1(x展开：222)1()(10

2

1

10

rrrxC

所以：106)1()

1

(x

x

x展开后:2

322

106

12

221)1(

rr

rrrxCC



（100,60

21

rr）

所以：0322

12

rr，所以：10,4

21

rr或7,5

21

rr或4,6

21

rr；

当10,4

21

rr时，15)1(1010

10

4

6

CC；

当7,5

21

rr时，720)1(77

10

5

6

CC；

当4,6

21

rr时，210)1(44

10

6

6

CC；

所以常数项为：

49572021015

。

6.求展开式34)21()31(xx中，2x

的系数。

解：4)31(x展开:11)3(

4

rrxC；3)21(x展开：22)2(

3

rrxC;

所以：34)21()31(xx展开：212121)2(3

34

rrrrrrxCC,其中：30,40

21

rr;

二项式展开

5

所以:











2

0

2

1

r

r

或











1

1

2

1

r

r

或











0

2

2

1

r

r

;

故系数为：6)2(3)2(3)2(3020

3

2

4

111

3

1

4

202

3

0

4

CCCCCC

7.已知n

x

xxx)

1

)(1(

3

2

（

82n

）的展开式中没有常数项，则n的值为.

解:n

x

x)

1

(

3



展开：11111

4

3)()(rnr

n

rrnr

n

xCxxC



；

由题意可知，展开式中没有常数项.则24,14,04

111

rnrnrn，

所以：24,14,4

111

rnrnrn，所以：

5n

。

8.求67

3

)

1

2()

3

(

x

x

x

x中，1x的系数.

9.求592)2()13(xxx的展开式中,2x

前的系数为？

10.求8732)1()1()1()1()1(xxxxx的展开中3x

的系数。

二、系数最值

1.在nba2)(的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。

解：展开式式中一共有：

12n

项。所以中间项为：第

1n

项。一定要时刻注意项数与次数的关系.

2.在n

x

x)

1

(2

的展开式中,只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为？

二项式展开

6

解:只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以:

6n

。

通项公式:rrrrr

r

xC

x

xCT312

6

62

61

)

1

()(





，常数项

4r

,所以：154

6

C。

3.已知nx)2

2

1

(

，若展开式中第5，第6与第7项二项式系数为等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系

数是多少?

解:通项公式为：rnrr

n

rrnr

nr

xCxCT



2

1

2)2()

2

1

(

；

二项式系数为等差数列，所以：6452

nnn

CCC，解得

7n

或

14n

；

当

7n

时，二项式系数最大是第4项和第5项，故:

2

35

2763

74

CT

，70214

75

CT；

当

14n

，二项式系数最大是第8项，故:34327

148

CT。

注意题目的问题：是二项式系数最大项的系数！

4.求7)21(x的展开式中系数最大的项？

解：通项公式为:rrrrr

r

xCxCT2)2(

771





，各项系数的通项为：rrC2

7

则:















11

77

11

77

22

22

rrrr

rrrr

CC

CC

解得：

5r

；

所以系数最大项为第6项；5555

76

6722xxCT.

5.求6)23(x的展开式中系数最小的项是第几项？

三、赋值

1.若n

x

x)

1

(

3

2

的展开式中偶数项系数和为

256

，求n的值。

解：令

1x

，得所有项的系数和0)11(n;

故

951225622nn.

注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别;