角动量守恒的条件

第五节-角动量角动量

守恒定理

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第五章角动量角动量守恒定理

本章结构框图

学习指导

本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许

多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问

题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量

与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定

理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问

题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天

体问题、粒子问题中的应用。

基本要求

1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。

2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。

3.理解力矩的物理意义,会进行简单计算。

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4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。

5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定

理，熟练进行有关计算。

6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。

内容提要

1.基本概念

刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理

量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到

转轴距离平方之积的总和。即：

I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。

质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动

运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、

定轴刚体的角动量进行了比较。

表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量

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力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图

5.1）：

即：

大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指

向由右手定则确定。

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对于力矩的概念应该注意明确以下问题：

•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上

任意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对

原点的力矩在三个坐标轴上的投影：

由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。

•明确质点系内力矩的矢量和恒为零：由于内力总是成对出现，作用力和

反作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为

零。当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。

•明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对

同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的

作用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是

存在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出

其合力，再由得到重力的合力矩。

由此还可以得到：作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零（图

5.2）；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零（图5.3）。

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•明确有心力对其力心的力矩恒为零：力的作用线始终通过某定点的力称为有心

力。该定点称为力心。显然，有心力对其力心的力臂为零。所以，有心力对其

力心的力矩恒为零。

力矩的角冲量（冲量矩）：见表5.2

表5.2力矩的角冲量

2.基本规律

角动量定理：质点和质点系角动量定理的微分、积分形式如表5.3所

示。请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式

而已。

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表5.3质点和质点系的角动量定理

角动量守恒定律：当质点系所受对某参考点（轴）的合外力矩为零时，质

点系对该参考点（轴）的总角动量不随时间变化（表5.4）。角动量守恒定律

反映了空间的旋转对称性（见第7章），是自然界普遍适用的基本定律之一，

在生活、技术及科学研究中有非常广泛的应用。

表5.4角动量守恒定律

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重点与难点

1.重点

质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。

刚体定轴转动定律及应用。

质点和质点系角动量定理及应用。

角动量守恒定律及应用

2.难点

①区别动量定理和角动量定理。

②区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。

③动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。

1.动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？

质点动量，角动量，由于v和r都是相对量，与参考系

的选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。

动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。

2.区别动量定理与角动量定理

动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积

--冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系

所受的外力矩的矢量和的时间累积--角冲量相对应。两者是不同的概念。例

如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不

断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩

始终为零。

3.动量和角动量守恒的条件质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系

的动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，

质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区

别两个守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为

零时，系统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反

之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动

量不一定是守恒。（参看教材P.91【例2】）。

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对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，

因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，

因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的

角动量。

例1水分子的形状如图5-2所示。从光谱分析得知水分

子对AA′轴的转动惯量是，对

BB′轴的转动惯量是。试由此

数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离d和夹角。假设各原子都可

当质点处理。

解：由图可得

此二式相加，可得

上二式相比，可得

例2一质量m=2200kg的汽车以的速度

沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d=50m的一点的角动量是多

大？对公路上任一点的角动量又是多大？

解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d=50m的一点P

1

的角动量的大

小为

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汽车对公路上任一点P

2

的角动量的大小为

例3两个质量均为m的质点，用一根长为2a、质量可忽略不

计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质

点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，

求质点组对O点的角动量大小及方向。

解:设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相

同（与OA和mv组成的平面垂直）。

角动量的大小为

例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，

半径分别为R

1

、R

2

。对各自转轴的转动惯量分别

为J

1

、J

2

。Ⅰ轮转动的角速度为，Ⅱ轮不转

动。移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平

行，由于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定

后，两轮的角速度各为多少？

辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，

如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。

解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m

1

g，轴给轮的力T

1

，以及摩擦力f

1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m

2

g，轴给轮的力T2

，以及摩擦力f

2

、轮Ⅰ施加的正压力N

2

，以及外加力F。f1

和f

2

大小相等、方向相反，对轮Ⅰ

和轮Ⅱ组成的系统来说，f

1

和f

2

是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总

角动量。轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T

1

、T

2

、m

1

g和m

2

g，它们对O1

轴或者O

2

轴的合外力矩皆不为零，这个系统对O

1

或者O

2

的角动量都不守恒。所以应对

轮Ⅰ、轮Ⅱ分别运用角动量定理。

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对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向

（1）

对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负

（2）

联立（1）、（2）两式可得

（3）

转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即

（4）

联立（3）、（4）解得

例5唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作

用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转

盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩M

f

和唱片由放上去

到具有角速度所需的时间t

1

。

解：唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是

唱片的动力矩。

在唱片上选为半径为r，宽度为dr的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为

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上式中，是唱片的密度。

整块唱片受的摩擦力矩为

视唱片为刚体，据转动定律

分离变量有

积分上式

例6如图5-7所示，两物体质量分别为m

1

和m

2

，定滑轮的质量为m，半径为

r，可视作均匀圆盘。已知m

2

与桌面间的滑动摩擦系数为，求m

1

下落的加速

度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴

受的摩擦力忽略不计。

解：

对m

1

，由牛顿第二定律

对m

2

，由牛顿第二定律

对滑轮，用转动定律

又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑

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联立解以上诸方程，可得

例7如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R

1

和R

2

，质量分别为M

1

和M

2

。二

者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。

今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m

1

和m

2

的两个物体。求在重力作

用下，m

2

下落时轮的角加速度。

解：如图示，由牛顿第二定律

对m

1

：

对m

2

：

对整个轮，由转动定律

又由运动学关系

联立解以上诸式，即可得

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例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设

大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳

分别与物体m1

和物体m

2

相连，m

1

和m

2

分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9

（a）所示。设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1

=m

2

=2kg，且开

始时m1

、m

2

离地均为h=2m，求：

（1）柱体转动时的角加速度；

（2）两侧细绳的张力；

（3）m1

经多长时间着地？

（4）设m1

与地面作完全非弹性碰撞，m

1

着地后柱体的转速如何变化？

解：设a1

、a

2

分别为m1

、m

2

的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)

所示。

（1）m1

、m

2

的平动方程和柱体的转动方程如下：

式中：;;;

；

联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为

图5-9(a)

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代入数据后得

（2）由(1)式得

由(2)式得

（3）设m1

着地时间为t，则

（4）m1

着地后静止，这一侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉

力的阻力矩，柱体转速将减小，m2

减速上升。

讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1

、m

2

选做一个系统，系统

受的合外力矩，则加速度

本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体

的转动、m1

和m

2

的平动。

例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m的甲、乙二人分

别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。

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（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否

守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？

（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各

是多少？

解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动

相同，因为

所以二人的加速度相同，二人的速度为

因初速度v

0

=0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达

顶点。

以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg)>0，故系统的动量不

守恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显

然人在上升中机械能在样加。但

甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M=TR-TR+mgR-mgR）等于零，系统对

轴的角动量守恒。

（2）设甲的速度、乙的速度为，从解（1）知二人的速度相等，即

，这个结果也可用角动量守恒得到，因

故

设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v

0

向下，那么滑轮右侧的v

0

一定向

上，根据速度合成定理

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所以

则

讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能

改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和

速度皆相同，二人总是同时到达顶点。

例10哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的距离是

，此时它的速率是。它离太阳最远时的速

率是，这时它离太阳的距离r

2

是多少？

解：慧星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太

阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的径矢方向垂直，所以角动量

守恒给出

由此得

例11太阳的热核燃料耗尽时，它将急速塌缩成半径等于地球半径的一颗白矮

星。如果不计算质量散失，那时太阳的转动周期将变为多少？太阳和白矮星均

按均匀球体计算，目前太阳的自转周期按26d计。

解：由太阳的自转角动量守恒可得

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=3.1(min)

例12一质量为M，半径为R，并以角速度旋转着的飞轮，某瞬时有一质量

为m的碎片从飞轮飞出。假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，

如图5-11所示。求余下圆盘的角速度、角动量。

解：破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒

得

余下圆盘角速度不变。

余下圆盘的角动量

例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。由于地球自转，楼

顶和楼根对地心参考系都有线速度。

（1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为，其中为地球自转角速度。

（2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根

东侧约处。这就是落体偏东现象。计算h=30m时，着地点偏东

的距离。（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。实际上

物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。利用这一点，并取楼高对

地球半径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果。）

证：

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（1）楼顶的线速度为楼根的线速度为。二者之差

。

（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度平移，则落体下落时间为

而着地时偏东的距离为

以

代入上式可得

例14地球的自转轴与它绕太阳的轨道平面的垂线间的夹角是23.5o（图5-

13）。由于太阳和月亮对地球的引力产生力矩，地球的自转轴绕轨道平面的垂

线旋进，旋进一周需时间约26000a。已知地球绕自转轴的转动惯量为

。求地球自旋角动量矢量变化率的大小，即，并求太

阳和月亮对地球的合力矩多大？

解：

太阳和月亮对地球的合力矩的大小为

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例15一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。管是

刚性的，环半径为R。一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14

所示。由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三

种说法是否正确，并说明理由。

（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。

（b）小球的动量不守恒。

（c）小球对OO′轴的角动量守恒。

辨析

（a）不正确。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管

与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管

壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂

直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。系统中只有保

守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。

（b）正确。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不

同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。

（c）不正确。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重

力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力

矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置A对

OO′轴的角动量为零，在B处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴

的角动量不再是零，到达最低点C时，对OO′轴的角动量又等于零。

运用刚体定轴转动定律解题

转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤

为：

1)隔离物体：即明确研究对象。

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2)具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出受

力图。

3)选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。

4)建立方程：用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程

。

5)要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。还要注意

此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和

角速度为正，反之为负。

6)求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。

请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：

与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。

刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。处理

方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛

顿第二定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方

程组。

运用角动量定理或角动量守恒定律解题

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因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮

的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。在力

矩持续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定

理。对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动

量定理，也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定

理，再用力矩表达式将二者联系起来。运用角动量定理或角动量守恒定律

解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不

过用角量取代相应的线量：

1.选系统：即确定研究对象。

2.建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。

3.选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。对于综合

性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。

4.算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分

析系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。

5.列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：

对固定点：

对定轴：

如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程：

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对固定点：

对定轴：

6.求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。

请特别注意：

请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的角动

量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向

都不变。所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是

合外力矩的角冲量为零。

请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。在

对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、

负号。

请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。例如，区分图

5.4中的两种不同的冲击摆：在图5.4（a）中，m、M系统的动量及对

O的角动量均守恒。而在图5.4（b）中，轴O对系统的约束力不能忽

略，但该约束力对O轴的力矩为零，所以，系统所受合外力不为零，

系统总动量不守恒；系统所受对O轴的合外力矩为零，对O轴的角动

量守恒。

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图5.4两种冲击摆