cos的平方

1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【最新考纲】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.

会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差

的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和(差)、二倍角

公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角

公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝

tanα±tanβ

1∓tanαtanβ

．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan2α＝

2tanα

1－tan2α

．

3．有关公式的变形和逆用

(1)公式T(α＋β)的变形：

2

①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；

②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．

(2)公式C2α的变形：

①sin2α＝

1

2

(1－cos_2α)；

②cos2α＝

1

2

(1＋cos_2α)．

(3)公式的逆用

①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；

②sinα±cosα＝2sin













α±

π

4

.

4．辅助角公式

ɑsinα＋bcosα＝ɑ2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝

b

a

)．

1．(质疑夯基)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的

打“×〞)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()

(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()

(3)公式tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

可以变形为tanα＋tanβ

＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()

(4)公式ɑsinx＋bcosx＝ɑ2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的

值无关．()

答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

3

2．(2021·课标全国Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝

()

A．－

3

2

B.

3

2

C．－

1

2

D.

1

2

解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋

cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝

1

2

.

答案：D

3．(经典再现)sin2α＝

2

3

，那么cos2(α＋

π

4

)＝()

A.

1

6

B.

1

3

C.

1

2

D.

2

3

解析：∵sin2α＝

2

3

，∴cos2













α＋

π

4

＝

1＋cos













2α＋

π

2

2

＝

1－sin2α

2

＝

1－

2

3

2

＝

1

6

.

答案：A

4．(2021·重庆卷)假设tanα＝

1

3

，tan(α＋β)＝

1

2

，那么tanβ＝

()

A.

1

7

B.

1

6

C.

5

7

D.

5

6

解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝

tan〔α＋β〕－tanα

1＋tan〔α＋β〕·tanα

＝

1

2

－

1

3

1＋

1

2

×

1

3

＝

1

7

.

4

答案：A

5．假设锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，那么α

＋β＝________．

解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，

可得

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝3，即tan(α＋β)＝3.

又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝

π

3

.

答案：

π

3

一点注意

三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是

防止增解的有效措施．

两个技巧

1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β

＝

α＋β

2

－

α－β

2

，

α－β

2

＝













α＋

β

2

－











α

2

＋β

.

2．化简技巧：切化弦，“1〞的代换等．

三种变化

1．变角：设法沟通所求角与角之间的关系．

2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化〞、“升

幂与降幂〞等．

3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．

5

一、选择题

1．假设sin

α

2

＝

3

3

，那么cosα＝()

A．－

2

3

B．－

1

3

C.

1

3

D.

2

3

解析：cosα＝1－2sin2

α

2

＝1－2×











3

3

2

＝

1

3

.

答案：C

2.

3－sin70°

2－cos210°

＝()

A.

1

2

B.

2

2

C．2D.

3

2

解析：原式＝

3－sin70°

1

2

〔3－cos20°〕

＝

2〔3－sin70°〕

3－sin70°

＝2.

答案：C

3．sinα＋cosα＝

1

3

，那么sin2











π

4

－α

＝()

A.

1

18

B.

17

18

C.

8

9

D.

2

9

解析：由sinα＋cosα＝

1

3

得1＋sin2α＝

1

9

，解得sin2α＝－

8

9

，

所以sin2











π

4

－α

＝

1－cos











π

2

－2α

2

＝

1－sin2α

2

＝

17

18

.答案：B

6

4．α∈













π，

3

2

π

，且cosα＝－

4

5

，那么tan











π

4

－α

等于()

A．7B.

1

7

C．－

1

7

D．－7

解析：因α∈













π，

3

2

π

，且cosα＝－

4

5

，

所以sinα＜0，即sinα＝－

3

5

，所以tanα＝

3

4

.

所以tan











π

4

－α

＝

1－tanα

1＋tanα

＝

1－

3

4

1＋

3

4

＝

1

7

.

答案：B

5．sinα＝

5

5

，sin(α－β)＝－

10

10

，α，β均为锐角，那么角β

等于()

A.

5π

12

B.

π

3

C.

π

4

D.

π

6

解析：∵α，β均为锐角，∴－

π

2

＜α－β＜

π

2

.

又sin(α－β)＝－

10

10

，∴cos(α－β)＝

310

10

.

又sinα＝

5

5

，∴cosα＝

25

5

，

∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝

5

5

×

310

10

－

25

5

×













－

10

10

＝

2

2

.

∴β＝

π

4

.答案：C

7

二、填空题

6．假设sin











π

2

＋θ

＝

3

5

，那么cos2θ＝________．

解析：∵sin











π

2

＋θ

＝cosθ＝

3

5

，

∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×











3

5

2

－1＝－

7

25

.

答案：－

7

25

7．(2021·山东卷)函数y＝

3

2

sin2x＋cos2x的最小正周期为

________．

解析：原式＝

3

2

sin2x＋

1＋cos2x

2

＝sin













2x＋

π

6

＋

1

2

，

∴周期T＝

2π

2

＝π.

答案：π

8．(2021·课标全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)

的最大值为________．

解析：∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－

2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x

＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，

∴f(x)的最大值为1.

答案：1

8

9．设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，假设f(x)＝

2f′(x)，那么

sin2x－sin2x

cos2x

＝________．

解析：f′(x)＝cosx－sinx，由f(x)＝2f′(x)得

sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx，

于是

sin2x－sin2x

cos2x

＝

sin2x－2sinxcosx

cos2x

＝

sin2x－6sin2x

9sin2x

＝－

5

9

.答案：－

5

9

三、解答题

10．α∈











π

2

，π

，且sin

α

2

＋cos

α

2

＝

6

2

.

(1)求cosα的值；

(2)假设sin(α－β)＝－

3

5

，β∈











π

2

，π

，求cosβ的值．

解：(1)因为sin

α

2

＋cos

α

2

＝

6

2

，两边同时平方，得

sinα＝

1

2

.又

π

2

＜α＜π，所以cosα＝－

3

2

.

(2)因为

π

2

＜α＜π，

π

2

＜β＜π，

所以－π＜－β＜－

π

2

，故－

π

2

＜α－β＜

π

2

.

又sin(α－β)＝－

3

5

，得cos(α－β)＝

4

5

.

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝－

3

2

×

4

5

＋

1

2

×













－

3

5

＝－

43＋3

10

.

9

11．(郑州质检)函数f(x)＝

1－2sin













2x－

π

4

cosx

.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－

4

3

，求f(α)的值．

解析：(1)要使f(x)有意义，那么需cosx≠0，

∴f(x)的定义域是













x|x≠kπ＋

π

2

，k∈Z

.

(2)f(x)＝

1－2











2

2

sin2x－

2

2

cos2x

cosx

＝

1＋cos2x－sin2x

cosx

＝

2cos2x－2sinxcosx

cosx

＝2(cosx－sinx)．

由tanα＝－

4

3

，得sinα＝－

4

3

cosα.

又sin2α＋cos2α＝1，且α是第四象限角，

∴cos2α＝

9

25

，那么cosα＝

3

5

，sinα＝－

4

5

.

故f(α)＝2(cosα－sinα)＝2











3

5

＋

4

5

＝

14

5

.