xlnx求导

基本求导公式(总2页)

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这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求

ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^nΔY=(X+Δx)^n-X^n把(X+Δx)^n展开（按n为正整

数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是

（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数

是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是

X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方

次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，

其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都

成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时

也是成立的。）(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需

加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n,第三项系数是[n(n-1)]/(1*2)

10～12是利用函数的商的求导法则。如(cx)'＝cx*tanx。

(cx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝cx*tanx

13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。

如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。

y＝arcsinx的反函数是x＝siny。已知dx/dy＝(siny)'＝cosy＝√(1－x^2)。所以dy/dx＝1/(dx/dy)

＝1/√(1－x^2)。即(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)

f(x)=c,则f'(x)=0f(x)=x^n,则f'(x)=nx^n-1f(x)=sinx,则f

'(x)=cosxf(x)=cosx,则f'(x)=-sinxf(x)=a^x,则f

'(x)=a^xlna(a>0)f(x)=e^x,则f'(x)=e^xf(x)=logax,则f'(x)=1/xlna(a>0

且a不等于1)

f(x)=lnx,则f'(x)=1/x

四、基本求导法则与导数公式

１.基本初等函数的导数公式和求导法则

???基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的

作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳

如下：

基本初等函数求导公式

(1)

0)(



C

(2)

1)(

xx

(3)

xxcos)(sin



(4)

xxsin)(cos



(5)

xx2c)(tan



(6)

xx2csc)(cot



(7)

xxxtanc)(c



(8)

xxxcotcsc)(csc



(9)

aaaxxln)(



(10)

(e)exx



(11)

ax

x

aln

1

)(log



(12)

x

x

1

)(ln



，

3

(13)

21

1

)(arcsin

x

x







(14)

21

1

)(arccos

x

x







(15)

2

1

(arctan)

1

x

x







(16)

2

1

(arccot)

1

x

x







函数的和、差、积、商的求导法则

设

)(xuu

，

)(xvv

都可导，则

（1）

vuvu











)(

（2）

uCCu







)(

（

C

是常数）

（3）

vuvuuv











)(

（4）

2v

vuvu

v

u























反函数求导法则

若函数

)(yx

在某区间

y

I

内可导、单调且

0)(



y

，则它的反函数

)(xfy

在对应区间

x

I

内也可导，且

)(

1

)(

y

xf







或

dy

dx

dx

dy1



复合函数求导法则

设

)(ufy

，而

)(xu

且

)(uf

及

)(x

都可导，则复合函数

)]([xfy

的

导数为

dydydu

dxdudx



或

()()yfux



上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．

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