函数奇偶性的判断口诀

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下

面再介绍几种判定方法.

一、定义域判定法

例1判断函数f(x)＝x＋1·x－1的奇偶性.

分析一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函

数具有奇偶性的前提条件.若定义域不关于原点对称，则此函数既不

是奇函数也不是偶函数.

解要使函数f(x)有意义，则





x－1≥0，

x＋1≥0.

解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}.

因为定义域不关于原点对称，

所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

评注用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通

过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性.

二、变式法

例2判断f(x)＝

1＋x2＋x－1

1＋x2＋x＋1

的奇偶性.

分析直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证

fx

f－x

＝

±1(f(x)≠0).

解f(x)的定义域为R，关于原点对称.

当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点.

因为当x≠0时，

f－x

fx

＝

1＋x2－x＋12

1＋x2－x－12

＝－1，

所以f(－x)＝－f(x).

又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数.

评注为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验

证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或

fx

f－x

＝

±1(f(x)≠0).

三、图象法

例3判断函数f(x)＝









x＋2，x＜－1，

0，－1≤x≤1，

－x＋2，x＞1

的奇偶性.

分析本题可用图象法较为直观地判断.

解作出函数f(x)的图象，如图所示.

因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数.

评注一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函

数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数

也不是偶函数.