奇函数除以偶函数

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函数的奇偶性讲稿

（一、导入新课）

现在开始上课，今天我为大家讲解一下有关函数奇偶性的概念以及如何判断

函数奇偶性。

在此之前，先回忆一下之前讲的有关对称的概念，我们会发现生活中有很多

对称的例子。例如：汽车车轮，人（一般只要是圆柱，圆锥，球，正方体，长方

体几何体都是轴对称图形），篮球，羽毛球拍等.

而数学中也存在对称的例子，例如今天所要讲的奇函数和偶函数。大家可以在纸

上画出函数y=x，y=1/x，y=cosx,y=x²的图象，看一下这些函数有什么特点。

(y=x，y=1/x图象关于原点对称,=cosx,y=x²的图象关于y轴对称)。

（二、讲解新课）

如何从数值角度研究对称函数图象的自变量与函数值之间的规律。

下面以函数y=x²为例（画出函数图象），首先我们知道,对于任意x,-x与x

关于y轴对称，即x²与(－x)²两点到坐标y轴的距离相等，而且x²=(-x)²，也就

是说函数y=x²的定义域上每一点都成立x²=(－x)²，而这样的函数我们通常称之

为偶函数。

所以可以给出偶函数的定义：一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个

x,都有f(x)=f(－x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

注意“任意”两字。

（让大家举出一些偶函数的例子）既然关于y轴对称的函数我们称为偶函数，

那么关于原点对称的函数呢？当然也有一个特定称谓叫做奇函数。而奇函数的自

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变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?可以以函数y=1/x为例(同时画出出

y=1/x的图象)，

我们可以类似的方法,得出函数y=1/x的定义域上每一点都成立1/x=-1/(-x),

所以奇函数的定义.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么

函数f(x)就叫做奇函数.

下面如何判定函数奇偶性？

(三、例题讲解

写下：例1判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x＋1/x;(2)f(x)=1／x²;

(3)f(x)=2x;(4)f(x)=|x|－2;

(5)f(x)=(1－x2)1/2;(6)f(x)=－x²,－3≤x≤1;

(7)f(x)=2x－1;）

前三个题做完，可以发现判断奇偶性,只需验证f(x)与f(－x)之间的关系.

那如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说说它为什么不是偶函数呢?

（因为f(x)≠f(－x)），所以判断一个函数不具有奇偶性只需举一个反例就可说

明.

另一个需要注意的是，通过第(6)题我们可以得出：定义域关于原点对称是函

数具有奇偶性的先决条件。

在这几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数也有既不是奇

函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?

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（当然有，例如函数f(x)=0）。那是不是具备这样性质的函数的解析式都只能

写成这样呢?我们可以用下面这个例题来证明。

（例2已知函数f(x)既是奇函数也是偶函数,求证:f(x)=0.

证明:∵f(x)既是奇函数也是偶函数,

∴f(－x)=f(x),且f(－x)=－f(x)

∴f(x)=－f(x)

即2f(x)=0；∴f(x)=0）

我们可以再想一想：这样的函数应有多少个呢?

（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现,f(x)=0是解析式的特征,若改

变函数的定义域,如f(x)=0,x∈[－1,1],f(x)=0，x∈﹛－2,－1,0,1,2﹜,它们

显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）

今天这一节我们主要介绍了函数奇偶性的定义及判定，而且知道利用函数的

奇偶性还可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.同学们还

有什么问题？

那么这节课就先讲到这里，今天的作业是P

36

1、2题；P

37

6题.

（下课）

函数的奇偶性教案

课题类型

新知课

教学方法

讲解法、数形结合法

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教学目标

从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念;

会利用定义判断简单函数的奇偶性.

教学重难点

教学重点:函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.

教学难点:对函数奇偶性的概念的理解

教具

板书

教学过程

(一)导入新课

先举现实生活中对称美的例子,然后告诉学生数学中也存在这种对称美,试让

学生举例.

(学生可能会举出y=x和y=1/x,y=－x等例子)其中哪些函数的图象关于y轴对称？

以函数y=x²为例，画出图象,让学生说出判断其图象关于y轴对称的方法.

在数学上将图象关于y轴对称的函数叫做偶函数.今天将从数值角度研究图象

关于y轴对称函数的自变量与函数值之间的规律.

(二)讲解新课

引导学生先将规律具体化,再用数学符号表示.从而发现对定义域内任意一个x,

都有f(x)=f(－x)成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方

予以提示或调整.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(－x),那么函

数f(x)就叫做偶函数.

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注:强调“任意”两字.

给出定义后可让学生举例检验他们对概念的初步认识

提出新问题:图象关于原点对称的函数的自变量与函数值之间具有怎样的数

值规律呢?(同时画出y=1/x的图象让学生观察研究)

引导学生用类比的方法,得出结论,让学生给出奇函数的定义.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么

函数f(x)就叫做奇函数.

(三)例题讲解

例1判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x＋1/x;(2)f(x)=1／x²;

(3)f(x)=2x;(4)f(x)=|x|－2;

(5)f(x)=(1－x2)1/2;(6)f(x)=－x²,－3≤x≤1;

(7)f(x)=2x－1;

前三个题做完，进行一次小结,判断奇偶性,只需验证f(x)与f(－x)之间的关

系.此时提出问题如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说明怎样解

决它不是偶函数的问题呢?引导学生得出只需举一个反例就可说明.

通过第(6)题引导学生得出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条

件的结论.

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,提出新的问题:在刚才的几个函数中有是

奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那

么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

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经学生思考,可找到函数f(x)=0.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数

的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2已知函数f(x)既是奇函数也是偶函数,求证:f(x)=0.

证明:∵f(x)既是奇函数也是偶函数,

∴f(－x)=f(x),且f(－x)=－f(x)

∴f(x)=－f(x)

即2f(x)=0；∴f(x)=0

进一步提问：这样的函数应有多少个呢?

（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现,f(x)=0是解析式的特征,若改

变函数的定义域,如f(x)=0,x∈[－1,1],f(x)=0，x∈﹛－2,－1,0,1,2﹜,它们

显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）

小结

函数奇偶性的定义;

函数奇偶性的判定;

利用函数的奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶

函数.

作业

P

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1、2题；P

37

6题.

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函数的奇偶性

y=x²

1、一般地,如果对于函数

f(x)的定义域内任意一个x,

都有f(x)=f(－x),那么函数

f(x)就叫做偶函数.

y=1/x

2、一般地,如果对于函数

f(x)的定义域内任意一个x,

都有f(x)=-f(－x),那么函数

f(x)就叫做奇函数.

3、函数奇偶性的判定

f（﹣x）=f（x）f（x）是

偶函数；

f（﹣x）=﹣f（x）f（x）

是奇函数

例1判断下列函数的奇

偶性

(1)f(x)=x＋1/x;

(2)f(x)=1／x²;

(3)f(x)=2x;

(4)f(x)=|x|－2;

(5)f(x)=(1－x2)1/2;

(6)f(x)=－x²,－3≤x

≤1;

(7)f(x)=2x－1;

解：(1)奇函数

(2)偶函数

(3)奇函数;

(4)偶函数;

(5)偶函数;

(6)既不是奇函数也不是

偶函数;

(7)既不是奇函数也不

是偶函数.

注：定义域关于原点对称是函数

具有奇偶性的先决条件。

4、存在既不是奇函数也不是偶函

数?

f(x)=0

例2已知函数f(x)既是奇函数

也是偶函数,求证:f(x)=0.

证明:∵f(x)既是奇函数也

是偶函数,

∴f(－x)=f(x),且f(－x)=

－f(x)

∴f(x)=－f(x)

即2f(x)=0；∴f(x)=0

f(x)=0,x∈[－1,1]；

f(x)=0，x∈﹛－2,－1,0,1,2﹜

P

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1、2题；P

37

6题.