丨1

1、分数乘整数与整数乘法的意义一样。都是求几个一样加数的和的简便运算。

（例如：65×5表示求5个65的和是多少?1/3×5表示求5个1/3的和是多少?）

2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。（例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。）

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。留意：

当带分数进展乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进展计算。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算；也可以干脆约分。（穿插约分）

分数化简约分的方法：分子分母同时除以它们的最大公因数。

4、小数乘分数，可以先把小数化为分数再计算；也可以把分数化成小数再计算

（建议把小数化分数再计算）；也可以将小数与分母干脆约分再计算。

1、一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。

2、一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。

3、一个数(0除外)乘1，积等于这个数。

分

数

乘

法

的

计

算

法

分

数

乘

法

的

意

义

乘

法

中

比

拟

大

小

的

规

律

分

数

乘

法

小结：分数混合运算的运算依次和整数的运算依次一样。

整数混合运算依次：先算乘除，后算加减；

同级运算从左往右按依次计算；

带括号的先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面的。

整数乘法的交换律、结合律和安排律，对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法安排律：(a+b)×c=ac+bc

(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，留意两条线段的左边要对齐。

(2)局部和整体的关系：画一条线段图。

1、单位“1”在分率句中“分数”的前面；

2、或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。

1、求一个数的几分之几是多少：用单位“1”的量×分数=详细量

2、求比一个数多（少）几分之几的数是多少：

（1）单位“1”的量×(1+分数)=另一个部重量

（2）已知占单位“1”的几分之几的部重量+单位“1”的量-=要求的部重量

找

单

位

丨

分

数

混

合

运

算

解

决

问

题

画

线

段

图

分

数

乘

法

的

解

决

问

题

分

数

乘

法

1、八个方向：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。

其中，东对西、南对北、东北对西南、西北对东南。

2、地图一般依据“上北下南，左西右东”进展绘制的。

3、观测点不同，物体位置的描绘方向也会有所不同。

1、“东偏南30°方向”就是以东为起始边，向南旋转30°的方向。

（“东偏南30°方向”也可以说成“南偏东60°方向”，但一般我们会选择角度更小的描绘方法）

2、物体的方向和间隔是我们在描绘物体详细位置时不行或缺的两个因素。

3、物体位置关系的相对性：方向相反，角度一样，间隔一样。

角的画法：角的顶点对齐量角器圆心，起始边对齐量角器底边，

依据量角器上的度数确定角度并打上点做好标记，连接点与顶点，擦除多余线条。

确定物体位置的方法：1、先找观测点；

2、再定方向（看方向夹角的度数）；

3、最终确定间隔（看比例尺）。（注：记得标注起点、终点、角度、间隔）

路途图的描绘：每次描绘都要说明起点、方向、间隔和终点；语句可以用先、然后、接着、最终等词

语进展连接。（留意：观测点会随着挪动的改变而改变）

路途图的绘制：1、确定起点、长度标准、北面的方向；

2.建立方向标，并依据描绘画出路途图；（方向标运用虚线绘制）

3、检查并标注起点、终点、角度、间隔。

位

置

与

方

向

（

二

）

位

置

与

方

向

（

一

）

位

置

与

方

向

（

二

）

描

绘

物

体

的

位

置

确

定

物

体

的

位

置

描

绘

并

绘

制

路

途

图

1、倒数的意义：乘积是一的两个数互为倒数。

强调：倒数是两个数的关系，它们相互依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(要说清谁是谁的倒数)

2.求倒数的方法：(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

(4)、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。

3、1的倒数是1，0没有倒数。

4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义一样，表示已知两个因数的积和其中一个因数，

求另一个因数的运算。（乘法：因数×因数=积除法：积÷一个因数=另一个因数）

2、分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（留意：除法转化成乘法时，被除数不变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。）

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。

4、分数除法比拟大小时的规律：(1)当除数大于1，商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;

(3)当除数等于1，商等于被除数。

1、先把连除运算或乘除混合运算转换成连乘运算，再按乘法混合运算的法则进展计算。

2、连续除以两个数等于除这两个数的乘积。（即：a÷（b×c）=a÷b÷c）

3、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。

分

数

除

法

分

数

除

法

倒

数

的

相

识

分

数

乘

除

混

合

运

算

（1）理解题意，找出单位“1”的量；

1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数：方程法（2）画图分析，列出数量关系式；（注3：肯定要解设）

（3）依据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

算式法：分数对应量÷对应分数=单位“1”的量（依据关系式）

2、已知比一个数多（少）几分之几的（比少）：详细量÷(1-分率)=单位“1”的量

数是多少，求这个数：例如:桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。50÷（1-1/6）

（比多）：详细量÷(1+分率)=单位“1”的量

例如:一种商品如今是80元，比原价增加了1/7，原价多少？

3、分数和倍问题：（1）理解题意，找出两个数量之间的数量关系；

（2）列出数量关系式，并解设一个未知量为X；

（3）依据数量关系式列出方程并解答。

4、工程问题：（1）工作总量未知的状况下，我们可以假设一个工作总量或者假设工作总量为单位“1”；

（假设为详细的数量时要写明假设的详细数字，并且计算结果要带单位）

（2）合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（1/时间+1/时间）

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作效率=工作时间

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率之和=工作时间之和

总路程÷速度和=相遇时间

解

决

问

题

分

数

除

法

1、比的意义：两个数的比表示两个数相除。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，

叫做比值。（比值后面不带单位）

例如15：10=15÷10=3/2(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)

15∶10＝3/2

前项比号后项比值

3、比可以表示两个一样量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。

也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。

4、依据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

5、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

6、比和除法、分数的联络：

7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

8、依据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

比前项比号“：”后项比值

除法被除数除号“÷”除数商

分数分子分数线“—”分母分数值

比

比

的

意

义

1、依据比、除法、分数的关系：（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一样的数(0除外)，商不变。

（2）分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一样的数时(0除外)，

分数值不变。

（3）比的根本性质：比的前项和后项同时乘或除以一样的数(0除外)，

比值不变。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

3、依据比的根本性质，可以把比化成最简洁的整数比。

4.化简比：（1）整数比：比的前项和后项同时除以最大公因数；

（2）分数比：先比的前项和后项同时乘分母的最大公倍数，化成整数比，

再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。

（3）小数比：先比的前项和后项同时乘10、100或1000，化成整数比，

再前项和后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。

（4）小数、分数混合比：先把小数化成分数或者把分数化成小数，再同上。

（留意：比中有单位时，化简和求比值要先化成一样的单位，再化简和求比值，结果没有单位。）

按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种方法通常叫做按比例安排。

解法：归一法：先求出总份数，再求出每一份是多少，最终分别乘它们的份数求详细数量是多少。

分数法：按比例安排通常把总量看作单位一，即转化成分数。

先求出总份数，再求出“几份”占总份数的几分之几，最终再用总量分别乘相应份数。

（例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？）

比

比

的

根

本

性

质

比

的

应

用

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上随意一点的间隔都相等。

3、半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的间隔就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同一个圆内或等圆内，有多数条半径，有多数条直径。全部的半径都相等，全部的直径都相等。

7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2。

8、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有1条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：长方形；只有3条对称轴的图形是：等边三角形；

只有4条对称轴的图形是：正方形;有多数条对称轴的图形是：圆、圆环。

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率试验：滚动法：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。

（化曲为直）绳测法：用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长。

发觉，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即３倍多一点。

圆

的

周

长

圆

圆

的

相

识

3、圆周率：随意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

（1）圆周率是一个固定不变的无限不循环小数，用字母π(pai)表示。在计算时，一般取π≈3.14。

（2）在推断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

4、圆的周长公式：C=πd或C=2πr（依据所给条件选择相应的公式）

已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍，用字母表示r=C÷2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：(1)圆周长的一半：等于圆的周长÷2。计算方法：2πr÷2即C半=πr

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：C半圆=πr+d

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。

2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。

3、圆的面积公式：S圆=πr2

4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度)

环形的面积公式：S

圆环

=πR2-πr2或S圆环=π(R2-r2)（建议用这个公式）。

5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小一样的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

6、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。

圆

圆

的

周

长

圆

的

面

积

7、随意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π。

8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。

反之，面积一样时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。

9、外方内圆（内切圆）：公式S=0.86r2推导过程：S=S正-S圆=d2-πr2

10、外圆内方（外切圆）：公式S=1.14r2推导过程：S=S圆-S正

（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）

1、弧：图上A、B两点之间的局部叫做弧，读作“弧AB”。

2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关：同一个圆中，圆心角越大，扇形越大，圆心角越小，扇形越小；

5、扇形面积的求法：S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360

6、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。

常用各π值结果：π=3.14；2π=6.28；3π=9.42；4π=12.56；5π=15.7；6π=18.84；7π=21.98；8π=25.12

9π=28.26；10π=31.4

圆

圆

的

面

积

扇

形

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。（例如：今日全校学生的出勤率为95%表示……）

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

2、百分数的读法：先读百分号，再读数。

3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之几。

4、百分数有时比1小，有时比1大，有时和1相等。（百分数中的数也可以是小数）

5、百分数和分数的主要联络与区分：联络：都可以表示一个数是另一个数的几分之几。

（即：都可以表示两个量的倍数关系。）

区分：百分数只表示两个数的倍数关系，不能带单位；

而分数既可以表示两个数的倍数关系，又可以表示一个详细的数，

表示详细数时可以带单位。

百分数与小数的互化小数化成百分数：把小数点向右挪动两位（数位不够用0补位），同时在后面添上百分号。

百分数化成小数：把小数点向左挪动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。

百分数的和分数的互化百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。

分数化成百分数：①用分数的根本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，

再写成百分数形式。②先把分数化成小数(除不尽时，通常保存三

位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）

百

分

数

百

分

数

的

意

义

和

读

写

百

分

数

和

分

数

、

小

数

的

互

化

1、常见的百分率的计算方法：

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能到达100%，出米率、出油率达不到100%，

完成率、增长了百分之几等可以超过100%。

2、求一个数是另一个数的百分之几：用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。

3、求一个数的百分之几和求一个数的几分之几意义一样：用单位“1”的量×百分数=详细量

4、求一个数比另一个数多（少）百分之几：用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几

例如：教师安排改40本作业，实际改了50本，实际比安排多改了百分之几？列式是：（50－40）÷40=0.25=25%

（说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。）

5、求比一个数多（少）百分之几的数是多少：（1）单位“1”的量×(1+分数)=另一个部重量

（和求比一个数多（少）几分之几的数是多少方法一样）（2）多（少）局部+单位“1”的量-=要求的部重量

6、用单位“1”解决实际问题：（1）原价未知的状况下，我们可以假设一个原价或者假设原价为单位“1”；

（假设为详细的数量时要写明假设的详细数字，并且计算结果要带单位）

（2）计算结果和假设的价钱没有干脆关系；（3）涨跌幅度一样时先涨再跌和先跌再涨结果一样。

百

分

数

用

百

分

数

解

决

问

题

1、扇形统计图的相识：用整个圆的面积表示总数量，每个扇形分别表示总体中的不同局部，扇形的大小反映各

局部数量占总数的百分之几。这样的统计图叫做扇形统计图。

2、扇形统计图的特点：扇形统计图可以清晰的反映出各局部数量与总数之间的关系。

1、条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少。

2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减改变状况。

3、扇形统计图：可以清晰的反映出各局部数量与总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率）

依据已知条件和所要反映的数据选择适宜的统计图。

扇

形

统

计

图

扇

形

统

计

图

的

相

识

常

用

统

计

图

的

优

点

1、从1开场的连续奇数的和等于这串数个数的平方。

例如：1+3+5+7+9+11=52

2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即

n×（n+1）。

3、

（极限思想）

数形结合：在数学领域中，有时会遇到一些比拟麻烦的问题，假如借助图形的扶植，这些麻烦的数学问题就很快

会得到解决。

数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休

数

与

形