y0

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

1

第十七章多元函数的微分学

§1可微性

教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．

教学要求

(1)基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的

必要条件与充分条件．

(2)较高要求：切平面存在定理的证明．

教学建议

(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．

(2)通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数

与可微这三个分析性质之间的关系．

教学程序

一、可微性与全微分:

由一元函数可微性引入二元函数可微性.

定义1（可微性）设函数

(,)zfxy

在点

000

(,)Pxy的某邻域

0

()UP内有定

义，对于

0

()UP中的点

00

(,)(,)Pxyxxyy，若函数

f

在点

0

P处的全增量

可表示为

00

(,)(,)()zfxxyyfxyAxBy,其中A，B

是仅与点

0

P有关的常数，22,()xy是较高阶的无穷小量，则称函

数

f

在点

0

P处可微。

全微分:

当,xy充分小时

0000

(,)(,)()()

dzz

fxyfxyAxxByy



.

例1考查函数xyyxf),(在点),(

00

yx处的可微性.

二、偏导数

（一）、偏导数的定义、记法

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

2

),(yxf

在点),(

00

yx存在偏导数定义为：

0

000

00

),(),(

lim),(

0xx

yxfyxf

yxf

xx

x







或

x

yxfyxxf

yxf

xx

x







),(),(

lim),(0000

00

0

0

000

00

),(),(

lim),(

0yy

yxfyxf

yxf

yy

y







或

y

yxfyyxf

yxf

yy

y







),(),(

lim),(0000

00

0

偏导数的几何意义:

（二）、求偏导数:

例2

),(yxf

)12sin()32(2yxx.求偏导数.

例3),(yxf



1)1ln(2yxx.求偏导数.

例4),(yxf



22yx

yx





.求偏导数,并求)1,2(

x

f.

三、可微条件

（一）、必要条件

定理17.1设),(

00

yx为函数

),(yxf

定义域的内点.

),(yxf

在点),(

00

yx可

微的必要条件是),(

00

yxf

x

和),(

00

yxf

y

存在,且

),(

00),(

00

yxdfdf

yx

),(

00

yxf

x

x),(

00

yxf

y

y.

证明：

由于dyydxx,,微分记为

),(

00

yxdf),(

00

yxf

x

dx),(

00

yxf

y

dy.

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

3

定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法.但是两个偏导数存在只是可

微的必要条件,而不是充分条件.

例5．考查函数



















0,0

,0,

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf

在原点的可微性.

这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）

（二）、充分条件

定理17.2（可微的充分条件）若函数

),(yxfz

的偏导数在的某邻域

内存在,且

x

f和

y

f在点),(

00

yx处连续.则函数

f

在点),(

00

yx可微。

定理17.3（中值定理）设函数

f

在点),(

00

yx的某邻域内存在偏导数.若

),(yx

属于该邻域,则存在)(

010

xxx

和)(

020

yyy

,

10,10

21

,使得

))(,())(,(),(),(

00000

yyxfxxyfyxfyxf

yx



.

(证略)

推论若),(yxf

y

在点),(

00

yx处连续,),(yxf

x

点),(

00

yx存在,则函数

f

在点),(

00

yx可微

证明：fyyxxf),(

00

),(

00

yx

),(),(),(),(

00000000

yxfyxxfyxxfyyxxf

0000

(,)(,)01,0

yx

fxxyyyfxyxx

0000

(,)(,)

yx

fxyyfxyxx





0

yxyyxfxyxf

yx

),(),(

0000

.

即

f

在点),(

00

yx可微

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

4

例6





















.0,0

,0,

1

sin)(

),(

22

22

22

22

yx

yx

yx

yx

yxf

验证函数

),(yxf

在点

)0,0(

可微,但

x

f和

y

f在点

)0,0(

处不连续.

证明：

).0,0(),(,0

1

sin

),(

22

22



yx

yx

yx

yxf



因此

)(),(yxf

,即

)(00)0,0(),(yxfyxf

,

f

在点

)0,0(

可微,0)0,0(,0)0,0(

yx

ff.但

),(yx)0,0(

时,有

222222

1

cos

1

sin2),(

yxyx

x

yx

xyxf

x





,

沿方向

,kxy

2

0

22

01||

limlim

kx

x

yx

x

xx





不存在,沿方向

,kxy

极限

2222

0

1

coslim

yxyx

x

x

不存在;又

),(yx)0,0(

时,

0

1

sin2

22



yx

x,因此,

),(lim

)0,0(),(

yxf

x

yx

不存在,

x

f在点

)0,0(

处不连续.

由

f

关于x和y对称,

y

f也在点)0,0(处不连续.

（三）、连续、偏导数存在及可微之间的关系：

这三个概念之间的关系可以用下图表示（在),(

00

yx点）

3

12

4

在上述关系中，反方向均不成立。下面以)0,0(),(

00

yx点为例，逐一讨论。

例1



















0,0

0,

),(

22

22

22

yx

yx

yx

xy

yxf

x

f

，

y

f连续f可微

f连续

x

f，

y

f

存在

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

5

这是教材中的典型例题，0)0,0()0,0(

yx

ff均存在，但

),(yxf

在

)0,0(

点不可

微，且),(lim

0

0

yxf

y

x





不存在，即

),(yxf

在

)0,0(

点不连续。

例222),(yxyxf

，这是上半圆锥，显然在

)0,0(

点连续，

)0,0(0),(lim

0

0

fyxf

y

x







,

但















0,1

0,1

||)0,0()0,(2

x

x

x

x

x

x

x

fxf

故)0,0(

x

f不存在。由yx,的对称性，)0,0(

y

f不存在。从而，

),(yxf

在

)0,0(

点不可微（否则，)0,0(

x

f，)0,0(

y

f均存在）。

例3





















0,0

0,

1

sin)(

),(

22

22

22

22

yx

yx

yx

yx

yxf

0

1

sin

lim

)0,0()0,(

lim)0,0(

2

2

00







x

x

x

x

fxf

f

xx

x

，

由yx,的对称性，0)0,0(

y

f。

22

)0,0()0,0()0,0(),(

yx

yfxffyxf

yx





0

1

sin

1

sin)(

22

22

22

22

22















yx

yx

yx

yx

yx

（

0

0





y

x

）

故),(yxf在)0,0(点可微。且)0,0(df

dxf

x

)0,0(0)0,0(dyf

y























0,0

0,

1

cos

21

sin2

),(

22

22

222222

yx

yx

yxyx

x

yx

x

yxf

x

取点列),(

nnn

yxP，

n

x

n2

1

，0

n

y，显然))(0,0(),(nyxP

nnn

)(2cos22),(nnnyxf

nnx



故),(lim

0

0

yxf

x

y

x





不存在，从而),(yxf

x

在)0,0(点不连续。由yx,的对称性，),(yxf

y

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

6

在

)0,0(

点也不连续。

对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导。但对二元函数，

可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必。应特别引起注意。

四可微性的几何意义与应用

复习一元函数可微性的几何意义：切线引出二元函数可微性的几何意义、切

平面。

定义（切平面）设P是曲面S上一点，II为通过P的一个平面，曲面S上的

动点Q到P和到平面H的距离分别为d和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，

恒有

0

h

d



，则称平面

II为曲面S在点P处的切平面，P为切点。

定理17.4曲面

),(yxfz

在点)),(,,(

0000

yxfyxP存在不平行于Z轴的切平面

的充要条件是函数

),(yxf

在点),(

000

yxP可微.

(证略)

全微分的几何意义

切平面的求法

《数学分析》下册第十七章多元函数的微分学

7

设函数

),(yxf

在点),(

000

yxP可微，则曲面

),(yxfz

在点

)),(,,(

0000

yxfyxP处的切平面方程为（其中),(

000

yxfz）

))(,())(,(

0000000

yyyxfxxyxfzz

yx

，

法线方向数为1,),(,),(

0000

yxfyxf

yx

，

法线方程为

1),(),(

0

00

0

00

0











zz

yxf

yy

yxf

xx

yx

.

例1试求抛物面22byaxz在点),,(

000

zyxM处的切平面方程和法线

方程.

作近似计算和误差估计:与一元函数对照,原理.

例2求96.308.1的近似值.

例3应用公式

CabSsin

2

1



计算某三角形面积.现测得50.12a,

50.12a

,

8.30,b

30C.若测量

ba,

的误差为

C,01.0

的误差为1.0.

求用此公式

计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.

作业教材P117：1-13.