直线方程公式

1/5

直线方程公式

1.斜率公式

①假设直线的倾斜角为α〔00≤α＜1800〕,那么k=tanα(α

2



)

②假设直线过点

111

(,)Pxy和

222

(,)Pxy两点.那么21

21

yy

k

xx







解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P

1

〔x

1

,y

1

〕，P

2

〔x

2

,y

2

〕的中点

P

0

〔x

0

,y

0

〕，那么x

0

=〔x

1

+x

2

〕/2，y

0

=〔y

1

+y

2

〕/2。

2.方向向量坐标：kyy

xx

xx

pp

xx

,1,

11

12

12

12

21

12









3.两条直线的平行和垂直

【1】两直线平行的判断

〔1〕假设

111

:lykxb，

222

:lykxb，那么l1

∥l

2

充要条件是k

1

=k

2

,且b

1

≠b

2

。

〔2〕假设l

1

：x=x

1

，l

2

：x=x

2

，那么l

1

∥l

2

充要条件是x

1

≠x

2

。

〔3〕不重合的两条直线l

1

、l

2

倾斜角分别为α

1

、α

2

，那么l

1

∥l

2

充要条件是α

1

=α

2

。

〔4〕l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0，l

2

：A

2

x+B

2

y+C

2

=0，且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不为零，那么l

1

∥l

2

充

要条件是A

1

B

2

-A

2

B

1

=0且B

1

C

2

-B

2

C

1

≠0〔或A

1

C

2

-A

2

C

1

≠0〕。111

12

222

||

ABC

ll

ABC



。

【2】两直线垂直的判断

〔1〕假设

111

:lykxb，

222

:lykxb，那么l1

⊥l

2

充要条件是k

1

·k

2

=-1。

〔2〕假设l

1

的斜率不存在，那么l

1

⊥l

2

充要条件是l

2

的斜率为零。

〔3〕两条直线l

1

、l

2

倾斜角分别为α

1

、α

2

，那么l

1

⊥l

2

充要条件是

21

a-a=900。

〔4〕l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0，l

2

：A

2

x+B

2

y+C

2

=0，且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不为零，那么l

1

⊥l

2

充

要条件是A

1

A

2

+B

1

B

2

=0。

【3】两直线相交的判断

〔1〕两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。

〔2〕两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。

〔3〕两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。

〔4〕直线l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0，l

2

：A

2

x+B

2

y+C

2

=0，那么A

1

B

2

-A

2

B

1

≠0是两直线相交的充要

条件。

2/5

【4】两直线重合的判断

当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A

1

B

2

-A

2

B

1

=0且B

1

C

2

-B

2

C

1

=0〔或

A

1

C

2

-A

2

C

1

=0〕时，两直线重合。

4..直线的五种方程

〔1〕点斜式

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

〔2〕斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

〔3〕两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx

)).

(4)截距式1

xy

ab

(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

〔5〕一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

5.“到角〞及“夹角〞公式：

〔1〕夹角公式〔

1

l与

2

l的角〕

(1)21

21

tan||

1

kk

kk









.

(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk

)

(2)1221

1212

tan||

ABAB

AABB









.

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB

).

直线

12

ll时，直线l1

与l

2

的夹角是

2



.

〔2〕

1

l到

2

l的角公式

(1)21

21

tan

1

kk

kk









.

(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk

)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB









.

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB

).

3/5

直线

12

ll时，直线l1

到l

2

的角是

2



.

6.对称问题

【1】关于点对称问题

〔1〕求点关于点的对称点

P〔x

1

，y

1

〕关于点Q〔x

0

，y

0

〕的对称点为〔2x

0

-x

1

，2y

0

-y

1

〕。

〔2〕直线关于点的对称直线

设l的方程为：Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕和点P〔x

0

，y

0

〕，求l关于P点的对称直线方程。

设P

1

〔x

1

，y

1

〕是对称直线l

1

任意一点，它关于P〔x

0

，y

0

〕的对称点〔2x

0

-x

1

，2y

0

-y

1

〕

在直线l上，代入得A〔2x

0

-x

1

〕+B〔2y

0

-y

1

〕+C=0，即Ax

1

+By

1

+C

1

=0为所求对称直线的方

程。与方程平行。

常见和对称结论有：设直线l：Ax+By+C=0：

※l关于x轴的对称直线是Ax+B〔-y〕+C=0

※l关于y轴的对称直线是A〔-x〕x+By+C=0

※l关于原点的对称直线是A〔-x〕x+B〔-y〕+C=0

※l关于y=x的对称直线是Bx+Ay+C=0

※l关于y=-x的对称直线是A〔-y〕+B〔-x〕+C=0

【2】关于直线对称问题

〔1〕点关于直线的对称点

※设P〔x

0

，y

0

〕，l：Ax+By+C=0〔A

2

+B

2

≠0〕，假设P关于l的对称点的坐标Q为〔x，y〕，

那么l是PQ的垂直平分线，即PQ⊥l，PQ的中点在l上，解方程组













































0

22

1

00

0

0

C

yy

B

xx

A

B

A

xx

yy

可得Q点坐标。

※点A〔x，y〕关于直线x+y+c=0的对称点A

1

的坐标为〔-y-c,-x-c〕，关于直线x-y+c=0

的对称点A

2

的坐标为〔y-c,x+c〕，曲线f〔x,y〕=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f〔-y-c,

-x-c〕=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f〔y-c,x+c〕=0。

※一般地，点A〔a,b〕关于x轴的对称点的坐标为A

1

〔a,-b〕，关于y轴的对称点的坐

标为A

2

〔-a,b〕，关于y=x轴的对称点的坐标为A

3

〔b,a〕，关于y=-x轴的对称点的坐标为A

4

〔-b,a〕，关于x=m轴的对称点的坐标为A

5

〔2m-a,b〕，关于y=n轴的对称点的坐标为A

6

〔a,2n-b〕。

4/5

〔2〕直线关于直线的对称直线

假设直线a、b关于直线l对称，它们具有以下几何性质：

※假设a、b相交，那么l是a、b夹角的平分线；

※假设点A在直线a上，那么点A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时，AB⊥

l且AB中点D在l上；

※a以l为轴旋转1800一定与b重合。

7、两点间的距离公式

假设点

y

xA

2

1

,，

y

xB

2

2

,

那么

yy

xxAB

12

12

,即终点坐标-始点坐标



yy

xxAB

12

12

2

2



假设y

xayxa2

2,

8.点到直线间的距离公式

点

y

xp

0

0

,到l:Ax+By+C=0的距离为

BA

y

xCBA

d

22

0

0







点到几种特殊直线的距离：

※点P〔x

0

，y

0

〕到x轴的距离d=

0

y，

※点P〔x

0

，y

0

〕到y轴的距离d=

0

x，

※点P〔x

0

，y

0

〕与x轴平行的直线y=a的距离d=ay

0

，

※点P〔x

0

，y

0

〕与y轴平行的直线x=b的距离d=bx

0

。

9.平行线间的距离公式

0:

11

ClByAx

与

0:

22

ClByAx

cc21

的距离为

BA

cc

d

22

21







10．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()yykxx(除直线

0

xx),

5/5

其中k是待定的系数;经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()()0AxxByy,其中,AB

是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC的交点的直

线系方程为

111222

()()0AxByCAxByC(除

2

l)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方

程．与直线0AxByC平行的直线系方程是

0AxBy

(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

0BxAy,λ是参变量．

11、求最大值与最小值

在直线l上求一点P使PBPA取得最小值时，“同侧对称异侧连〞，即两点位于直线

的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。

在直线l上求一点P使PBPA取得最大值时，“异侧对称同侧连〞。