根号下求导

对数求导法探析

张清叶

【摘要】针对现行教材在介绍对数求导法时的缺陷,遵循问题发现、问题解决、例

题验证的逻辑路线对对数求导法进行了探讨,给出了具体的方法步骤.

【期刊名称】《大学数学》

【年(卷),期】2018(034)004

【总页数】5页(P89-93)

【关键词】对数求导法;绝对值函数;导数的定义

【作者】张清叶

【作者单位】河南工学院基础部,河南新乡453003

【正文语种】中文

【中图分类】O13

1引言

微积分作为高等数学的精髓，求导(微分)占据了很大篇幅.对给定函数求导数，除了

可以利用定义计算增量比的极限外，还有四则运算法则、反函数求导法则和复合函

数求导法则等.然而，当一个函数是由乘、除、乘方、开方运算构成时，直接计算

其导数往往比较困难.此时如果对该函数取对数，便可化乘除为加减，化乘方、开

方为对数函数前的某个系数，极大地简化运算.现行教材大多对该方法进行了介绍，

并将其称为对数求导法，即对给定的函数先取自然对数再进行求导的方法.遗憾的

是，在介绍对数求导法时，教材只注意到了对数函数的性质却忽略了对数函数有意

义的条件，使得细心的同学在学习该知识点时心存疑虑，有些老师甚至直接跟学生

说不要考虑自变量的取值范围，直接取自然对数即可，这极大地损害了数学的严密

性.事实上，对于给定的函数，其可导与否与其正负没有关系，函数值为负时丝毫

不影响其可导性；但对数函数的定义域必须大于零.故在利用对数求导法时如何处

理函数值为零和负值时的导数问题是一个值得探讨的问题.鉴于此，本文将从问题

发现、问题解决、例题验证三个方面展开论述.

2问题发现

图1引例1函数的图形

引例1[1]求的导数.

分析函数的定义域为

(-∞,1]∪[2,3)∪(4,+∞),

其图形如图1所示.

现行教材跟题解大都忽略自变量的取值范围，直接在函数两边同取自然对数，此时

默认函数的定义域为(4,+∞)，缩小了函数的实际定义域，与实际不符，很难令人

信服；文献[2]在介绍本例时，对自变量增加了限制条件(x>4)，能够自圆其说；文

献[1]在介绍本例时，注意到了对数函数有意义的条件，对自变量分三个区间(-

∞,1),(2,3),(4,+∞)进行了讨论，而对于x=1和2时的情况并未提及.事实上，该题

的正确解法应为：

引例1解析分四步来求函数的导数：

(i)当x>4时，等式两边同取自然对数，得

上式两边同时对x求导，得

整理，得

(*)

(ii)当2

两边同取自然对数，然后等式两边同时对x求导并整理得(*)式；

(iii)当x<1时，对

两边同取自然对数，然后等式两边同时对x求导并整理得(*)式；

(iv)对于函数的两个零点x=1和x=2，记y=f(x)，利用导数的定义有

从而f′(1)不存在；

类似的

从而f′(2)不存在.

综上，当x∈(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)时，有

当x=1或x=2时，y′不存在.

引例2[1]求的导数.

图2引例2函数的图形

解函数的定义域为R，其图形如图2所示.

注意到x=5为函数的一个零点，同时也是尖点，而在尖点处函数往往连续不可导.

故下面分三步来求函数的导数：

(i)当x>5时，对函数两边同取自然对数，得

上式两边同时对x求导，得

整理，得

(**)

(ii)当x<5时，对函数两边同时添加负号再取自然对数，得

上式两边同时对x求导并整理，得(**)式；

(iii)对于x=5，记y=f(x)，利用函数在一点处导数的定义，有

综上，当x≠5时

当x=5时，y′不存在.

上述两个例题很有代表性，不难发现，在函数值非零的开区间内，其导数相同，与

自变量取值区间无关.纵然可以采用上面的解法，思路清晰且不失严密性，但步骤

繁琐.能否找到一个既可以得出正确结果又不失严密性且简便的方法呢？下面就来

解决这个问题.

3问题解决

注意到且即自然对数当真数大于零时的导数和真数不为零时的导数相同.将此结果

稍加推广，可得如下命题.

命题1若f(x)可导且f(x)≠0，则

证根据f(x)的正负分两种情况进行讨论.

(i)若f(x)>0，则ln|f(x)|=lnf(x).从而

(ii)若f(x)<0，则ln|f(x)|=ln(-f(x)).从而

综上，命题1得证.

命题1表明，当f(x)≠0时，对f(x)先加绝对值再取自然对数并求导，结果与f(x)的

正负无关.基于此，在使用对数求导法时，为了兼顾对数函数有意义的条件，不妨

对函数两边先取绝对值再取自然对数，从而求得其在开区间内的导数.该命题解决

了函数中含有负因式的问题，但若函数含有零点，仍需专门进行讨论.利用函数在

一点处导数的定义，可得如下定理：

定理1设f(x)=(x-x0)αg(x)，其中α为常数，f(x)在x0的邻域U(x0)内仅有x0一

个零点，g(x)在U(x0)内连续且g(x0)≠0，则

证根据函数在一点处导数定义，有

从而

4例题验证

用上面的方法对前面的两个引例重新进行求解如下：

引例1另解在函数有定义的开区间内，先将根号里面的因式写成绝对值的形式，

如下

上式两边取对数，得

上式两边同时对x求导，得

整理可得y′.

在函数的零点x=1处，将函数改写为其中根据定理此时导数不存在；类似有，当

x=2时，导数也不存在.

引例2另解在函数有定义的开区间内，对函数两边的因式取绝对值再取自然对数，

得

上式两边同时对x求导，得

整理可得y′.

在函数的零点x=5处，将函数改写成其中根据定理此时导数不存在.

例3求的导数.

解在函数有定义的开区间内，对函数两边的因式取绝对值再取自然对数，得

上式两边同时对x求导，得

整理，得

在函数的零点x=-2处，将函数改写为其中根据定理此时导数不存在；当x=3时，

将函数改写为y=(3-x)4g(x)，其中根据定理1，α=4>1，此时导数存在且y′(3)=0.

5结语

对数求导法作为一种重要的求导方法，在微积分部分占据了重要的地位，历来是教

学的重点和难点，也是考试时的一个热点，但关于该知识点在现行教辅资料中并未

见到详细的探讨.本文遵循问题发现、问题解决、例题验证的思路对该知识点进行

了详细的梳理，可给学习此知识点的大一新生解除疑虑，还数学严谨的特色.

[参考文献]

【相关文献】

[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].4版.北京：高等教育出版社，2012.