2sinx

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常用三角函数最值求解四法三角函数公式大全表格

三角函数最值问题是高考数学中常常涉及的问题,解这一类问题,对

三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高,一方面应充分利用三角函

数自身的特殊性(如有界性等),另一方面还要留意将求解三角函数最值问

题转化为求我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题.那么,常见的求三

角函数最值的方法有哪些呢?让我们一起看过来!

一、配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们的最高次数是2

时,一般可通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处

理.

例1求函数y=5sinx+cos2x的最值.

分析题目中的三角函数名一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和

倍角,所以可先化简,使三角函数的名和角到达统一,然后配方求最值.

解y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1

=-2(sinx-■)2+■.

∵-1≤sinx≤1,

∴当sinx=-1,即x=2kπ-■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=-6;

当sinx=1,即x=2kπ+■(k∈Z)时,y■=-2×■+■=4.

说明形如y=asin2x+bsinx+c和y=acos2x+bcosx+c的三角函数式,

都可用配方法求最值.

二、界值法

在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特

征――有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性,是求解三角函数最值

的最基本方法.

例2求函数y=■的值域.

分析此为y=■型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同

名、同角,这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性求

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解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性求解.

解原函数可变形为y=1+■.

又|cosx|≤1,可直接得到y≥3或y≤■.

说明形如y=■(或y=■)的三角函数最值问题都可用界值法来解.

三、帮助角法

当题目中的三角函数式比较冗杂时,我们可以利用倍角公式进行降幂,

先化成f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,并引进帮助角,最终化成

f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再求最值.

例3已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),求函数f(x)的最小正周期和

最大值.

分析在此题的函数表达式中,既含有正弦函数,又含有余弦函数,并

且含有它们的二次式,故需设法通过降次化二次式为一次式,再化为只含

有正弦函数或余弦函数的表达式.

解f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+■sin(2x-■).

∴f(x)的最小正周期为π,最大值为1+■.

说明解这类问题先降幂是关键,一般常用以下四个三角公式来降

幂:sin2x+cos2x=1,cos2x=■,sin2x=■,2sinxcosx=sin2x.

四、换元法

对于表达式中同时含有sinx±cosx与sinxcosx的函数,运用关系式

(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx一般都可接受换元法转化为t的二次函数

去求最值,但必需留意换元后新变量的取值范围.

例4求函数f(x)=■的值域.

分析式中有两个三角名,可通过角的变换转化为代数式求函数值域

问题.

解令sinx+cosx=t,则t=■sin(x+■),t∈[-■,■].

又因为1+sinx+cosx≠0,所以t≠-1,

于是t∈[-■,-1)∪(-1,■].

又由2sinx・cosx=t2-1得sinxcosx=■,

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所以f(x)=g(t)=■=■(t-1),t∈[-■,-1)∪(-1,■].

故f(x)的值域为[-■,-1)∪(-1,■].

说明解此题要留意换元后新变量的取值范围,否则很简单得出错误

结论[-■,■].

(编辑孙世奇)